Untersuchen von vertikalen Asymptoten rationaler Funktionen

Wir sollen das Verhalten der Funktion q in der Nähe ihrer vertikalen Asymptote an der Stelle x = -3 beschreiben. Ich möchte dich wie immer ermutigen, das Video zu pausieren, und zu versuchen, die Aufgabe selbst zu lösen. Jetzt machen wir das gemeinsam. q(x) wird von einem rationalen Ausdruck definiert, und immer, wenn es um Asymptoten geht, möchte ich die Zähler und Nenner in Faktoren zerlegen, damit der Ausdruck mehr Sinn ergibt. Im Zähler suchen wir zwei Zahlen, die multipliziert 2 und addiert 3 ergeben. Diese Zahlen sind 2 und 1, also kann ich das als (x + 1)(x + 2) schreiben. Falls dir das nicht bekannt vorkommt, empfehle ich dir, die Videos auf Khan Academy anzuschauen, die das Faktorisieren von quadratischen Termen behandeln. Im Nenner haben wir x + 3. Wenn x = -1 oder x = -2 ist, würde der Zähler gleich 0 werden, ohne dass der Nenner 0 werden würde, das sind also Punkte, an denen die Funktion gleich 0 werden würde, aber wenn x = -3 wäre, würde der Nenner 0 ergeben, während der Zähler nicht 0 werden würde, also würden wir durch 0 dividieren. Das ist also ein sehr gutes Zeichen dafür, dass es sich um eine vertikale Asymptote handelt. Wenn wir uns dem Wert nähern, wird unsere Funktion entweder so ansteigen, oder ungefähr so abfallen oder sie könnte so ansteigen, oder ungefähr so abfallen, aber wir werden eine vertikale Asymptote haben. Wenn die Funktion sich x = -3 nähert, strebt sie entweder gegen +∞ oder -∞. Sie kann auch aus einer Richtung gegen +∞, und aus der anderen Richtung gegen -∞ streben. Wenn diese Vorstellung von Richtung etwas verwirrend für dich ist, dann werde ich genau das in diesem Video erklären. Ich zeichne jetzt einen Zahlenstrahl, der sich auf diese interessanten Zahlen konzentriert. Zuerst ist uns x = -3 wichtig, dann vielleicht -2, -1, wir zeichnen sie alle ein. Was bedeutet es, wenn x sich -3 aus negativer Richtung nähert? Dieser kleine Exponent hier oben bedeutet, dass wir uns aus der negativen Richtung nähern. Das bedeutet, dass wir uns von Werten nähern, die negativer als -3 sind, also diese Werte hier drüben. Wir nähern uns aus dieser Richtung. Anders betrachtet nähern wir uns aus der negativen Richtung, bei der das Intervall x < -3 ist. Wir denken also darüber nach, welches Vorzeichen q(x) haben wird, wenn wir uns -3 aus der negativen Richtung, also von links, nähern. Wenn wir etwas haben, das kleiner als -3 ist, und wir 1 addieren, dann ist das negativ. Wenn du etwas hast, das kleiner als -3 ist, und du 2 addierst, dann ist das ebenfalls negativ. Und wenn du etwas hast, das kleiner als -3 ist, und du 3 addierst, dann ist das auch negativ. Negativ ⋅ negativ = positiv, aber dann dividierst du durch etwas Negatives, also erhältst du als Ergebnis etwas Negatives. q(x) ist also in diesem Intervall negativ. Wir haben unsere vertikale Asymptote, und wenn wir uns -3 von links nähern, ist q(x) negativ und strebt gegen -∞. Wenn sich x -3 aus der negativen Richtung nähert, strebt q(x) gegen -∞. Dieser Teil hier stimmt, und dieser hier auch. Und das kannst du überprüfen, indem du einige Werte ausprobierst. Wir können z.B. q(-3,1) ausprobieren, ein Wert, der auf der linken Seite ist. -3,1 befindet sich ungefähr an dieser Stelle. Wenn ich q(-3,1) überprüfen will, rechne ich -3,1 + 1, was -2,1 ergibt. Dann rechne ich -3,1 + 2, was -1,1 ergibt. Ich setze es in Klammern, damit es eindeutiger wird. Im Nenner rechnen wir -3,1 + 3, was -0,1 ergibt. Du siehst, dass wir im Zähler einen positiven Wert erhalten, den wir dann durch -0,1 dividieren, was dasselbe ist, wie mit -10 zu multiplizieren, also erhalten wir einen stark negativen Wert. Wenn wir anstatt -3,1 z.B. -3,01 hätten, dann hätten wir dort überall auch 01 hinter dem Komma stehen. Also würden wir im Nenner durch -0,01 teilen, dadurch erhalten wir einen noch größeren negativen Wert, also strebt die Funktion nach -∞. Also ist es eine dieser zwei Möglichkeiten. Jetzt denken wir darüber nach, was passiert, wenn wir uns x aus der positiven Richtung nähern. Das bedeutet nämlich diese Notation. Dieser Exponent auf der rechten Seite steht für die positive Richtung, also nähern wir uns x aus der positiven Richtung. Ich konzentriere mich besonders auf das Intervall zwischen -2 und -3, denn dann wissen wir, dass wir keine komische Vorzeichenänderung im Zähler haben werden. Ich schaue mir also das Intervall -3 < x < -2 an. Ich zeichne hier einen offenen Kreis, um zu sagen, dass wir -2 nicht mit einbeziehen, und -3 natürlich nicht dazugehört, da unsere Funktion dort nicht definiert ist. Aber in diesem Intervall wird x + 1 immer noch negativ sein. Bei -2,5 + 1 hättest du -1,5. x + 2 ist immer noch negativ, da du Werte nimmst, die negativer als -2 sind, also kleiner als -2 sind, du addierst 2 dazu und bist immer noch im Negativen. Wenn du 3 zu diesen Werten addierst, denk daran, dass sie größer als -3 sind, bzw. sie sind weniger negativ als -3, dann erhältst du hier einen positiven Wert. Du erhältst hier einen positiven Wert. Wenn du z.B. q(-2,99) hast, was ergibt das? Wenn du 1 addierst, erhältst du -1,99. Wenn du 2 addierst, erhältst du -0,99. Im Nenner haben wir -2,99 + 3, was 0,01 ergibt. Du erhältst also einen positiven Wert im Zähler, den du dann durch 0,01 dividierst, was dasselbe ist, wie mit 100 zu multiplizieren, also erhältst du immer größere Werte. Du strebst gegen ∞, während du von der rechten Seite aus immer näher kommst. q(x) strebt also gegen +∞. Das ist also die korrekte Antwortmöglichkeit. Diese hier ist falsch, sie sagt, dass wir gegen -∞ streben, was nicht stimmt, also wähle ich die andere Antwortmöglichkeit.