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Kurs: Algebra 2 > Lerneinheit 6

Lektion 3: Rationale Ausdrücke addieren und subtrahieren

Einführung in die Addition und Subtraktion von rationalen Ausdrücken

Erfahre, wie Du zwei rationale Ausdrücke zu einem einzigen Ausdruck addieren oder subtrahieren kannst.

Was du vor dem Beginn dieser Lektion kennen solltest

Ein rationaler Ausdruck ist ein Verhältnis von zwei Polynomen. Zum Beispiel ist der Ausdruck

\frac{x + 2}{x + 1}

ein rationaler Ausdruck.

Wenn du mit rationalen Ausdrücken nicht vertraut bist, solltest du unsere Einführung zu rationalen Ausdrücken anschauen.

Was du in dieser Lektion lernst

In dieser Lektion lernst du, wie du rationale Ausdrücke addierst und subtrahierst.

Rationale Ausdrücke addieren und subtrahieren (gemeinsame Nenner)

Numerische Brüche

Wir können rationale Ausdrücke auf die gleiche Weise addieren und subtrahieren, wie wir numerische Brüche addieren und subtrahieren.

Um zwei numerische Brüche mit demselben Nenner zu addieren oder zu subtrahieren, addieren oder subtrahieren wir einfach die Zähler und schreiben das Ergebnis über den gemeinsamen Nenner.

$\begin{aligned} \frac{4}{5} - \frac{1}{5} \\ = \frac{4 - 1}{5} \\ = \frac{3}{5} \end{aligned}$ ‍

Variablenausdrücke

Der Vorgang ist derselbe wie mit rationalen Ausdrücken:

$\begin{aligned} \frac{7 a + 3}{a + 2} + \frac{2 a - 1}{a + 2} \\ = \frac{(7 a + 3) + (2 a - 1)}{a + 2} & Addiere \\ = \frac{7 a + 3 + 2 a - 1}{a + 2} & Löse die Klammern auf \\ = \frac{9 a + 2}{a + 2} & Fasse gleichartige Terme zusammen \end{aligned}$ ‍

Es empfiehlt sich, die Zähler in Klammern zu setzen, besonders wenn du die rationalen Ausdrücke subtrahierst. Auf diese Weise werden wir daran erinnert, das negative Vorzeichen zu verteilen!

Beispielsweise:

$\begin{aligned} \frac{b + 1}{b^{2}} - \frac{4 - b}{b^{2}} \\ = \frac{(b + 1) - (4 - b)}{b^{2}} & Subtrahiere \\ = \frac{b + 1 - 4 + b}{b^{2}} & Löse die Klammern auf \\ = \frac{2 b - 3}{b^{2}} & Fasse gleichartige Terme zusammen \end{aligned}$ ‍

Überprüfe, ob du es verstanden hast

1) $\frac{x + 5}{x - 1} + \frac{2 x - 3}{x - 1} =$ ‍

2) $\frac{x + 1}{2 x} - \frac{5 x - 2}{2 x} =$ ‍

Rationale Ausdrücke addieren und subtrahieren (verschiedene Nenner)

Numerische Brüche

Um zu verstehen, wie du rationale Ausdrücke mit verschiedenen Nennern addierst oder subtrahierst, wollen wir zuerst untersuchen, wie dies mit numerischen Brüchen geschieht.

Zum Beispiel bestimmen wir

\frac{2}{3} + \frac{1}{2}

$\begin{aligned} \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \\ = \frac{2}{3} (\frac{2}{2}) + \frac{1}{2} (\frac{3}{3}) & Erzeuge gemeinsame Nenner \\ = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} \\ = \frac{7}{6} \end{aligned}$ ‍

Beachte, dass ein gemeinsamer Nenner von

6

benötigt wurde, um die beiden Brüche zu addieren:

Der Nenner des ersten Bruchs $(3)$ ‍ benötigt einen Faktor von $2$ ‍.
Der Nenner des zweiten Bruchs $(2)$ ‍ benötigt einen Faktor von $3$ ‍.

Jeder Bruch wurde mit einer Form von

1

multipliziert, um dies zu erhalten.

Variablenausdrücke

Wenden wir dies nun auf das folgende Beispiel an:

$\frac{1}{x - 3} + \frac{2}{x + 5}$ ‍

Damit die beiden Nenner gleich sind, benötigt der erste einen Faktor von

x + 5

und der zweite einen Faktor von

x - 3

. Wir wollen die Brüche manipulieren, um dies zu erreichen. Dann können wir wie gewohnt addieren.

\begin{aligned} \frac{1}{x - 3} + \frac{2}{x + 5} \\ = \frac{1}{x - 3} (\frac{x + 5}{x + 5}) + \frac{2}{x + 5} (\frac{x - 3}{x - 3}) & Erzeuge gemeinsame Nenner \\ = \frac{1 (x + 5)}{(x - 3) (x + 5)} + \frac{2 (x - 3)}{(x + 5) (x - 3)} \\ = \frac{1 (x + 5) + 2 (x - 3)}{(x - 3) (x + 5)} & Addiere \\ = \frac{1 x + 5 + 2 x - 6}{(x - 3) (x + 5)} \\ = \frac{3 x - 1}{(x - 3) (x + 5)} \end{aligned}

Beachte, dass der erste Schritt möglich ist, weil

\frac{x + 5}{x + 5}

und

\frac{x - 3}{x - 3}

gleich

1

sind und die Multiplikation mit

1

den Wert des Ausdrucks nicht ändert!

In den letzten beiden Schritten haben wir den Zähler vereinfacht. Während du beim Nenner auch

(x - 3)

mit

(x + 5)

multiplizieren könntest, ist es üblich, dies in einer faktorisierten Form zu belassen.

Überprüfe, ob du es verstanden hast

3) $\frac{3}{x + 4} + \frac{2}{x - 2} =$ ‍

Damit die beiden Nenner gleich sind, benötigt der erste Bruch einen Faktor von

x - 2

und der zweite Bruch einen Faktor von

x + 4

. Wir wollen die Brüche manipulieren, um dies zu erreichen. Dann können wir wie gewohnt addieren.

\begin{aligned} \frac{3}{x + 4} + \frac{2}{x - 2} \\ = \frac{3}{x + 4} (\frac{x - 2}{x - 2}) + \frac{2}{x - 2} (\frac{x + 4}{x + 4}) & Gemeinsame Nenner erzeugen \\ = \frac{3 (x - 2)}{(x + 4) (x - 2)} + \frac{2 (x + 4)}{(x - 2) (x + 4)} \\ = \frac{3 (x - 2) + 2 (x + 4)}{(x - 2) (x + 4)} & Addieren \\ = \frac{3 x - 6 + 2 x + 8}{(x - 2) (x + 4)} \\ = \frac{5 x + 2}{(x - 2) (x + 4)} \end{aligned}

4) $\frac{2}{x - 1} - \frac{5}{x} =$ ‍

Damit die beiden Nenner gleich sind, benötigt der erste Bruch einen Faktor von

x

und der zweite Bruch einen Faktor von

x - 1

. Wir wollen die Brüche manipulieren, um dies zu erreichen. Dann können wir wie gewohnt subtrahieren.

\begin{aligned} \frac{2}{x - 1} - \frac{5}{x} \\ = \frac{2}{x - 1} (\frac{x}{x}) - \frac{5}{x} (\frac{x - 1}{x - 1}) & Gemeinsame Nenner erzeugen \\ = \frac{2 x}{x (x - 1)} - \frac{5 (x - 1)}{x (x - 1)} \\ = \frac{2 x - 5 (x - 1)}{x (x - 1)} & Subtrahiere \\ = \frac{2 x - 5 x + 5}{x (x - 1)} \\ = \frac{- 3 x + 5}{x (x - 1)} \end{aligned}

Was kommt als nächstes?

Unsere nächster Artikel behandelt anspruchsvollere Beispiele für das Addieren und Subtrahieren rationaler Ausdrücke.

Du wirst etwas über den kleinsten gemeinsamen Nenner erfahren und warum es wichtig ist, diesen als gemeinsamen Nenner zu verwenden, wenn du rationale Ausdrücke addierst oder subtrahierst.

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