Einführung in Umkehrfunktionen

Denken wir darüber nach, was eine Funktion macht, und dann denken wir über das Konzept einer Umkehrfunktion nach. Fangen wir mit einer einfachen Funktion an. f(x) = 2x + 4. Wenn ich also 2 einsetze, ergibt f(2) = 2 mal 2 + 4, was 4 + 4, also 8 ergibt. Ich könnte f(3) nehmen, was 2 mal 3 + 4 ergibt, also 10. 6 + 4. Denken wir also etwas abstrakter darüber nach. Es gibt eine Reihe von Dingen, die ich in diese Funktion einsetzen kann. Das weißt du wahrscheinlich schon. Das ist der Definitionsbereich. Alles, was ich in diese Funktion einsetzen kann, das ist der Defintionsbereich. In diesem Definitionsbereich hast du da die 2, hier die 3, du kannst quasi jede reelle Zahl in diese Funktion einsetzen. Das sind also alle reelle Zahlen, aber ich schreibe nur ein paar hinein, damit du es besser visualisieren kannst. Wenn du jetzt die Funktion anwendest, denk darüber nach, was f(2) bedeutet. Wir setzen die Zahl 2 ein und die Funktion gibt uns als Ergebnis die Zahl 8. Sie bringt uns also von 2 zu 8. Wir erstellen also eine weitere Reihe aller möglichen Werte, die meine Funktion haben kann. Das nennen wir die Zielmenge. Es gibt formellere Wege, darüber zu sprechen, und es gibt später eine sehr viel gründlichere Diskussion hiervon, speziell in den Videos zur linearen Algebra, aber das sind all die Werte, die meine Funktion haben kann. Wenn ich also die Zahl 2 vom Definitionsbereich nehme und sie in die Funktion einsetze, erhalten wir die Zahl 8. Ich zeichne das mal. Wir kommen von 2 zur Zahl 8 hier drüben. Und das macht die Funktion. Die Funktion führt diese Zuordnung durch. Diese Funktion führt uns von 2 zur 8. Das hier ist gleich f(2). Genau dasselbe. Du beginnst bei 3, und die Funktion ordnet sie der 10 zu. Sie bildet eine Zuordnung. Die Funktion führt uns von 3 zu 10. Dadurch stellt sich eine interessante Frage. Gibt es einen Weg zurück von der 8 zur 2, oder von der 10 zur 3? Oder gibt es irgendeine andere Funktion? Gibt es eine andere Funktion, die wir die Umkehrfunktion von f nennen können, die uns zurückbringt? Gibt es eine andere Funktion, die uns von 10 zurück zur 3 bringt? Wir nennen sie die Umkehrfunktion von f und wir stellen sie so dar, und sie bringt uns von 10 zurück zur 3. Gibt es eine Möglichkeit, das zu tun? Würde diese Umkehrfunktion von f, wenn wir 8 einsetzen, uns auch zurück zu 2 bringen? Das alles scheint sehr abstrakt und schwierig zu sein. Es ist aber eigentlich sehr einfach, diese Umkehrfunktion von f zu finden, und sobald wir das getan haben, wirst du verstehen, was ich meine. Die Funktion bringt uns von 2 zu 8 und die Umkehrfunktion bringt uns von 8 zurück zur 2. Sagen wir einfach mal, dass y = f(x) ist. y = f(x) = 2x + 4. Ich kann also schreiben: y = 2x + 4. Das ist unsere Funktion. Du setzt ein x ein und erhältst ein y. Aber wir wollen es andersherum. Wir wollen ein y einsetzen und ein x erhalten. Also müssen wir einfach nur nach x mit Bezug auf y auflösen. Wenn wir 4 von beiden Seiten dieser Gleichung subtrahieren, erhalten wir y - 4 = 2x. Wenn wir dann beide Seiten dieser Gleichung durch 2 dividieren, erhalten wir y/2 - 2 = x. Wenn wir es andersherum schreiben wollen, können wir einfach die Seiten tauschen, und erhalten x = 1/2 y - 2, was dasselbe wie x = y/2 - 2 ist. Wir haben hier also eine Funktion von y, die uns ein x gibt, genau das, was wir wollen. Wir wollen eine Funktion dieser Werte, die zurück zu einem x-Wert führt. Das ist also gleich der Umkehrfunktion von f als eine Funktion von y. Ich schreibe es nochmal. f hoch -1 (y). Die Zielmenge ist jetzt also der Definitionsbereich für die Umkehrfunktion von f. Die Umkehrfunktion von f(y) = 1/2 y - 2. Wir haben mit unserer ursprünglichen Funktion angefangen: y = 2x + 4. Hier drüben haben wir nach y in Bezug auf x aufgelöst, dann haben wir etwas Algebra angewandt, nach x in Bezug auf y aufgelöst, und das ist unsere Umkehrfunktion als eine Funktion von y. Sie ist genau hier. Du könntest das y mit einem a, b, x, was auch immer ersetzen, also können wir das y einfach in x umbenennen. Wenn du also ein x in diese Funktion einsetzt, erhältst du die Umkehrfunktion f hoch -1 (x) = 1/2x - 2. Du löst also nach x auf und dann tauscht du das y und das x, wenn du möchtest. Das ist der einfachste Weg. Ich möchte noch darauf hinweisen, was passiert, wenn du die Funktion und die Umkehrfunktion zeichnest. Ich zeichne also kurz einen groben Graphen. Danach werde ich ein paar Beispiele durchführen, in denen wir die Umkehrfunktion anwenden, aber ich wollte dir erst einmal eine kurze Einführung geben. Eine Funktion bringt dich vom Definitionsbereich zur Zielmenge, die Umkehrfunktion bringt dich von diesen Punkt zurück zum ursprünglichen Wert, falls er existiert. Ich zeichne also ein kleines Koordinatensystem. Ich zeichne die erste Funktion ein, 2x + 4. Sie hat ihren y-Achsenabschnitt bei 4. Sie hat eine Steigung von 2 also sieht ihr Graph ungefähr so aus. So sieht diese Funktion aus. Wie sieht die andere Funktion aus? Wie sieht die Umkehrfunktion aus, als eine Funktion von x? Denk dran: Wir haben nach x aufgelöst, und dann x und y getauscht. Wir können jetzt sagen, dass y = f hoch -1(x) ist, Wir haben also einen y-Achsenabschnitt von -2. Und die Steigung ist 1/2. Die Steigung sieht so aus. Die Steigung bzw. die Gerade sieht ungefähr so aus. Welcher Bezug besteht zwischen den beiden? Sie sehen sich etwas ähnlich, als wären sie an etwas gespiegelt. Es ist etwas offensichtlicher, woran sie gespiegelt sind, wenn wir die Gerade y = x einzeichnen. Die Gerade y = x sieht ungefähr so aus, ich zeichne sie als gestrichelte Linie. Du hast also die Funktion und ihre Umkehrfunktion und sie werden ungefähr entlang der Gerade y = x gespiegelt. Ich hoffe, das ergibt Sinn. Machen wir ein einfaches Beispiel. Wenn wir 0 in unsere Funktion einsetzen, erhalten wir f(0) = 4. Unsere Funktion ordnet die 0 der 4 zu. Wenn du 4 in die Umkehrfunktion einsetzt, erhältst du 0. Die Umkehrfunktion ordnet die 4 der 0 zu. Das ist genau das, was wir erwartet haben. Die Funktion bringt uns von den x-Werten zu den y-Werten, dann haben wir x und y getauscht. Wir haben die Umkehrfunktion. Und deshalb wird es entlang y = x gespiegelt. In diesem Beispiel, das ich dir gerade gezeigt habe, bringt uns die Funktion von 0 zur 4, f(0)= 4, das kannst du genau hier sehen. Von 0 zur 4. Und die Umkehrfunktion bringt uns von 4 zurück zur 0. Das siehst du genau hier. Wenn du die 4 hier untersuchst, 1/2 mal 4 - 2 = 0. In den nächsten Videos werden wir uns weitere Beispiele anschauen, damit du wirklich verstehst, wie sie zu lösen sind und du die Übungen auf unserer Webseite bearbeiten kannst.