Lineare Gleichungen in allen Formen schreiben

Eine Linie geht durch die Punkte (-3;6) und (6;0. Stelle die Gleichung für diese Linie in Punktsteigungsform, Achsenabschnittsform und Standardform auf. Dies sind lediglich 3 verschiedene Möglichkeiten, um dieselbe Gleichung zu schreiben. Wenn wir eine davon haben, können wir sie in eine der anderen umformen. Nur, um sie euch näherzubringen, Punktsteigungsform, sagen wir, der Punkt (x1;y1) sei ein Punkt auf der Linie. Hier steht dieser tiefgestellte Index, schreiben wir einfach x, kann die Variable jeden beliebigen Wert annehmen. Schreibt jemand ein x mit Index 1 und ein y mit Index 1, nimmt sowohl x als auch y einen bestimmten Wert an bzw. die Koordinate. Das seht ihr in einem Beispiel. Die Punktsteigungsform sagt jedoch, dass wenn man einen speziellen Punkt und die Steigung dessen Linie kennt, dann würde das Einfügen dieser Linie in Punktsteigungsform y - y1 = m*(x -x1) ergeben. Folgendes Beispiel (machen wir in diesem Video): Punkt (-3;6) liegt auf der Linie, wir sagen y - 6 = m*(x - (-3)), also erhalten wir am Ende x + 3. y - 6 = m*(x - (-3)), also erhalten wir am Ende x + 3. Also ist das ein spezielles x und y. Es könnte eine -3 oder 6 sein. Das ist also Punktsteigungsform. Achsenabschnittsform ist y = mx + b, wobei hier m wieder die Steigung und b der y-Achsenabschnitt sind -- wo schneidet die Linie die x-Achse -- welchen Wert nimmt y an, wenn x = 0 ist? Und Standardform ist die Form ax + by = c, wo diese hier im Grunde einfach zwei Zahlen sind. Sie haben nicht wirklich eine direkte Deutung für den Graphen. Nun lasst uns all diese Formen verstehen. Zuerst möchten wir die Steigung ermitteln. Haben wir die Steigung, dann ist die Punktsteigungsform eigentlich sehr geradlinig zu berechnen. Erinnern wir uns: Steigung = m = yVeränderung/xVeränderung. = yVeränderung/xVeränderung. Wie hoch ist die Veränderung in y? Wenn wir dies als unseren Endpunkt sehen, gehen wir von hier zu diesem Punkt, was ist die Veränderung in y? Nun, wir haben unseren Endpunkt, 0, y wird 0, und y war bei 6. Also ist unser y-Endpunkt 0, unser y-Startpunkt 6. Was war unser x-Endpunkt bzw. unsere x-Koordinate? Unsere x-Endkoordinate war 6. Lasst mich das deutlich machen. Wir haben also diese 0, diese 0 ist diese hier. Und dann haben wir diese 6, das war unser y-Startpunkt, das ist dieser 6 hier. Nun benötigen wir unseren x-Wert, diese 6 hier, davon ziehen wir unseren x-Startwert ab. Unser x-Startwert ist dieser hier drüben, diese -3. Um es deutlich zu machen, was wir tun: diese -3 ist diese hier. Wir gehen von diesem zu diesem Punkt, unser y geht um 6 runter. Wir sind von 6 nach 0 gegangen. Unser y ist um 6 heruntergegangen. Wir erhalten also 0 - 6 = -6. Macht Sinn. y ist um 6 heruntergegangen. Wenn wir zum anderen Punkt gehen, was wird aus x? Wir gehen von -3 nach 6, also eine Erhöhung um 9. Beim Berechnen nehmen wir 6 - (-3), dieselbe Sache wie 6 + 3, das ist 9. Was ist -6/9. Vereinfacht ist es -2/3. Man dividiert Zähler und Nenner durch 3. -2/3 ist also unsere Steigung. Wir können also jetzt Punktsteigungsform anwenden. Wir haben einen Punkt, wir wählen den Punkt (-3,6) aus. Und wir haben unsere Steigung. Setzten wir es also Punktsteigungsform ein. Setzten wir es also Punktsteigungsform ein. Wir nehmen einfach y minus -- wir könnten beide Punkte nehmen, ich nehme diesen hier -- also y minus den y-Wert hier, also y minus 6 ist gleich unsere Steigung, also -2/3 mal (x minus x Koordinate). Unsere x-Koordinate, also x - xKoordinate ist -3. (x - (-3)) Wir können hier vereinfachen. Dies wird zu y-6 = -2/3*x. (x - (-3)) ist das Gleiche wie (x + 3). Dies ist unsere Punktsteigungsform. Jetzt können wir diesen Term hier einfach algebraisch umformen, um ihn in Achsenabschnittsform zu bringen. Lasst uns das tun. Dafür nehmen wir orange. Achsenabschnittsform. Wie können wir das vereinfachen? Wir können -2/3 ausmultiplizieren, also erhält man: y - 6 = -2/3x. Wir haben einfach -2/3 ausmultipliziert. Und -2/3*3 = -2. Um jetzt in Punktsteigungsform zu kommen, addieren wir 6 auf beiden Seiten, also fällt sie links weg, also addieren wir 6 auf beiden Seiten dieser Gleichung. Links bleibt nur noch y übrig, das hier fällt raus. Wir erhalten: y = -2/3x. -2 + 6 = 4. Hier haben wir´s, das ist unsere Achsenabschnittsform, mx + b, unser y-Abschnitt. Zuletzt müssen wir es noch in Standardform bringen. Hier müssen wir wieder umformen, sodass die x´s und die y´s beide auf dieser Seite der Gleichung stehen. Addieren wir 2/3x zu beiden Seiten dieser Gleichung hinzu. Ich beginne hier. y = -2/3x + 4, das ist die Achsenabschnittsform. Addieren wir 2/3x, also + 2/3x auf beiden Seiten dieser Gleichung. Das mache ich, um keine 2/3x auf der rechten Seite zu haben, -2/3x. Also, die linke Seite dieser Gleichung, was steht hier? was steht hier? Es ist 2/3x + y, das ist die linke Seite, ist gleich -- das hier hebt sich auf -- ist gleich 4. So sieht also die Standardform dieser Gleichung aus. Wenn wir das hier sauberer haben wollen, teilen wir beiden Seiten dieser Gleichung durch 3. Was bringt uns das? 2/3x*3 ergibt einfach nur 2x. y*3 = 3y. Und 4*3 = 12. Das sind dieselben Gleichungen, ich teile einfach jeden Term durch 3. Das müssen wir sowohl links als auch rechts machen und wir sind in Standardform.