Umformung von gemischten Wurzel- und Exponentialausdrücken

Wir sollen den Ausdruck r hoch 2/3 mal s hoch 3 in Klammern zum Quadrat, mal Wurzel 20 mal r hoch 4 mal s hoch fünf, vereinfachen. Nun, das sieht etwas abschreckend aus, aber wenn wir es Schritt für Schritt machen, wird es nicht so schlimm. Wir können uns zunächst den ersten Ausdruck hier anschauen, wo wir dieses Produkt quadrieren. Wir wissen, dass wir stattdessen auch die Terme des Produktes einzeln quadrieren, und dann das Produkt ziehen können. Damit ist dies gleich r hoch 2/3 zum Quadrat mal s hoch 3 zum Quadrat. Damit ist dies gleich r hoch 2/3 zum Quadrat mal s hoch 3 zum Quadrat. Nun schauen wir uns die Wurzel hier an. Wir haben die Wurzel, aber das ist das Gleiche, wie wenn man etwas hoch 1/2 nimmt. Damit ist das-- Ich mache das in einer anderen Farbe. Dieser Teil hier, das ist das Gleiche wie 20. Anstatt 20 zu schreiben, zerlege ich 20 in das Produkt einer Quadratzahl und einer Zahl, die kein perfektes Quadrat bildet. 20 ist damit gleich 4 mal 5. Das ist 20. Mal r hoch 4 mal s hoch 5. Ich zerlege s hoch 5 auch in eine Quadratzahl und eine Zahl die kein reines Quadrat bildet. r hoch 4 ist offensichtlich eine Quadratzahl. Ihre Wurzel ist r Quadrat. Aber s hoch 5 schreibe ich um. Statt 'hoch 5' kann man auch s hoch 4 mal s schreiben. Statt 'hoch 5' kann man auch s hoch 4 mal s schreiben. Nicht wahr? S hoch 4 mal s ist gleich s hoch 5. Und das alles müssen wir natürlich hoch 1/2 nehmen. Lass uns das weiter vereinfachen. Wenn wir etwas hoch 2/3 nehmen, und dann hoch 2, können wir einfach auch die Exponenten multiplizieren. Damit können wir das vereinfachen und r hoch 4/3 schreiben. Damit können wir das vereinfachen und r hoch 4/3 schreiben. Nur zur Erinnerung: Wenn man etwas hoch 4/3 nimmt, dann kannst du es auch so sehen, als ob du die dritte Wurzel findest und hoch 1/3 nimmst, und dann die dritte Wurzel hoch 4 nimmst. Oder du stellst dir vor, dass du es hoch 4 nimmst und dann die dritte Wurzel ziehst. Das kann man beides machen. Das kann man beides machen, um etwas hoch 4/3 zu nehmen. Nun haben wir r hoch 4/3 mal s hoch 3 mal 2. Das ist gleich s hoch 6. Und diese Terme hier drüben können wir alle hoch 1/2 nehmen. Und diese Terme hier drüben können wir alle hoch 1/2 nehmen. Ich mache das wieder farbig. Damit bauchen wir die Klammer nicht mehr. Damit bauchen wir die Klammer nicht mehr. Mal 4 hoch 1/2 mal 5 hoch 1/2. Dieser Term hier. Mal r hoch 4 hoch 1/2. Mal --gleich habe ich keine Farben mehr-- mal s hoch 4 mal 1/2. mal s hoch 4 mal 1/2. Wir nehmen jeden dieser Terme hoch 1/2. Mal s hoch 1/2. Wir können dies nun auf unterschiedliche Weise lösen. Aber eine Möglichkeit springt sofort ins Auge. Es gibt hier einige Quadratzahlen und wir berechnen diese hoch 1/2. Wir nehmen also ihre Wurzel. Lass uns diese vereinfachen. Damit ist 4 hoch 1/2 gleich Wurzel vier, also 2. Wir nehmen die Wurzel von 4. Und 5 hoch 1/2? Hier können wir auch die Wurzel nehmen, also schreiben wir einfach Wurzel 5. r hoch 4 hoch 1/2. Hier gibt es zwei Möglichkeiten. 4 hoch 1/2 ist 2 Damit ist dies r zum Quadrat. Du könntest auch sagen, dass die Wurzel von r hoch 4 gleich r Quadrat ist. Du könntest auch sagen, dass die Wurzel von r hoch 4 gleich r Quadrat ist. Somit ist das hier r Quadrat. Ebenso ist Wurzel aus s hoch 4 auch s Quadrat. Ebenso ist Wurzel aus s hoch 4 auch s Quadrat. Und dies hier ist s hoch 1/2, also Wurzel s. Und dies hier ist s hoch 1/2, also Wurzel s. Das finde ich Klasse. Lass uns schauen, was wir hier noch machen können. Wir nehmen noch die anderen Terme hinzu. r hoch 4/3 mal s hoch 6 mal 2 mal Wurzel 5 mal r Quadrat mal s Quadrat mal Wurzel s. Hier können wir noch einiges zusammenfassen. Wir können die s-Terme zusammenfassen. Die 2 stellen wir zunächst an den Anfang. Die 2 stellen wir zunächst an den Anfang. Dann schauen wir uns diese beiden s-Terme hier an. Wir haben s hoch 6 mal s Quadrat. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, dies zu vereinfachen. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, dies zu vereinfachen. Aber wir sagen einfach s hoch 6 mal s Quadrat, und das ist gleich s hoch 8. 6 plus 2. Also mal s hoch 8. Mal--nun das hier ist interessant und wir sollten kurz überlegen. Wir haben r hoch 4/3 mal r Quadrat. Wir haben r hoch 4/3 mal r Quadrat. r hoch 4/3 ist das Gleiche wie r hoch 1 und 1/3. Das ist 4/3. 1 plus 1/3 plus 2 ist 3 1/3. Damit könnten wir das auch als r hoch 3 1/3 zusammenfassen. Das ist allerdings nicht ganz konsistent. Hier drüben habe ich die Brüche addiert. Hier drüben habe ich s hoch 1/2 von der Addition ausgenommen. Wir probieren noch etwas herum, aber das wäre alles möglich. Ok, wir haben uns bereits um die 2 gekümmert. Und um die zwei s-Terme hier drüben. Und um die r-Terme hier. Jetzt bleiben noch Wurzel 5 mal Wurzel s. Jetzt bleiben noch Wurzel 5 mal Wurzel s. Das könnten wir zusammenfassen, aber das mache ich jetzt noch nicht. Wurzel 5 mal Wurzel s. Es gibt wieder zwei Möglichkeiten. Vielleicht wollen wir hier keinen Bruch im Exponenten haben. Oder wir könnten den hier nehmen und ihn mit s hoch 8 zusammenführen. Oder wir könnten den hier nehmen und ihn mit s hoch 8 zusammenführen. Denn wie du weißt, ist dies das Gleiche wie 'hoch 1/2'. Denn wie du weißt, ist dies das Gleiche wie 'hoch 1/2'. Wir machen mal beides. Wenn wir alle Exponenten zusammenführen wollen, dann könnten wir schreiben: 2 mal s hoch 8 mal s hoch 1/2. Also s hoch 8 und s hoch 1/2. Das wären dann 2 mal s hoch -- ich schreibe das als Dezimalzahl, Das wären dann 2 mal s hoch -- ich schreibe das als Dezimalzahl, 8,5. 8 plus-- s hoch 1/2 ist gleich s hoch 0,5. Also das hier ist s hoch 8,5 mal r hoch 3 1/3. Ich vermische hier die Schreibweise etwas. Ich habe hier eine Dezimalzahl, einen Bruch, und einen unechten Bruch. Und das mal Wurzel 5. Dies wäre die Vereinfachung. Ich scheine so die geringste Anzahl an Termen zu erhalten. Wenn wir die Brüche nicht in den Exponenten haben wollen, gäbe es da noch andere Möglichkeiten der Vereinfachung. Du könntest-- Ich nehme eine andere Farbe. Du könntest schreiben-- und das sind jetzt alles äquivalente Aussagen. Du könntest schreiben-- und das sind jetzt alles äquivalente Aussagen. Es lässt sich darüber streiten, was Vereinfachung wirklich meint. Du könntest auch 2 mal s hoch 8 schreiben. Statt r hoch 3 1/3, könntest du auch r hoch 3 mal dritte Wurzel aus r schreiben. Das ist das Gleiche wie r hoch 1/3 Wir könnten scheiben r hoch 3 mal r hoch 1/3. r hoch 1/3 ist das Gleiche wie dritte Wurzel aus r. Und dann haben wir hier noch zwei Wurzeln. Beide Terme wurden hoch 1/2 genommen. Damit könntest du sagen, mal Wurzel 5s. Das Linke hier finde ich etwas besser. Das ist für mich vereinfacht. Wir haben alle Terme mit der gleichen Basis zusammengefasst. Wir haben hier die Zahlen und wir haben alle s-Terme und alle r-Terme zusammengefasst. Dies hier ist etwas komplizierter. Wir haben hier eine Wurzel. Wir haben die s-Terme und die r-Terme nicht voneinander getrennt. Damit würde ich das hier nehmen, wenn jemand sagen würde, hey Sal, vereinfache das wie du magst.