√2 ist irrational - Beweis

In diesem Video möchte ich dir beweisen, dass die Quadratwurzel von 2 eine irrationale Zahl ist. Diesen Beweis werde ich durch einen Widerspruch führen (indirekter Beweis). Bei einem Beweis durch Widerspruch nimmt man das Gegenteil dessen an, was man beweisen möchte. Das ist also unser Ziel, aber um das zu beweisen, nehmen wir das Gegenteil an. Wir nehmen an, dass Wurzel 2 eine rationale Zahl ist. Wenn uns diese Annahme zu einem Widerspruch führt, dann kannn diese nicht wahr sein. Wenn wir einen Widerspruch bei der Annahme erhalten, dass die Quadratwurzel von 2 eine rationale Zahl ist, dann müssen wir davon ableiten, dass die Quadratwurzel von 2 irrational sein muss. Gut, also lass uns hier das Gegenteil annehmen. Die Wurzel von 2 ist rational. Gut, wenn die Quadratwurzel von 2 rational ist, bedeutet dies, dass wir Wurzel 2 als den Quotienten von zwei ganzen Zahlen, a und b aufschreiben können. Und wir können auch annehmen, dass diese keine gemeinsame Teiler haben. Selbst wenn sie einige gemeinsame Teiler haben, können wir Zähler und Nenner zwar durch diese Faktoren teilen, erhalten irgendwann aber Zahlenwerte, die keinen gemeinsamen Teiler haben. erhalten irgendwann aber Zahlenwerte, die keinen gemeinsamen Teiler haben. Man kann auch sagen: a und b sind teilerfremd. Das bedeutet, wir können a durch b als Quotient zweier Zahlen schreiben, die nicht mehr gekürzt werden können, da sie keine gemeinsamen Teiler mehr haben. die nicht mehr gekürzt werden können, da sie keine gemeinsamen Teiler mehr haben. die nicht mehr gekürzt werden können, da sie keine gemeinsamen Teiler mehr haben. Wenn du alles als Quotient zweier ganzer Zahlen schreiben kannst, dann könntest du den Ausdruck weiter vereinfachen, indem du gemeinsame Teiler ausklammerst, bis zu einem Punkt, an dem man nicht weiter kürzen kann. Daher nehme ich an, dass mein a durch b nicht weiter gekürzt werden kann. Daher nehme ich an, dass mein a durch b nicht weiter gekürzt werden kann. Das ist sehr wichtig für unseren Widerspruch. Ich nehme hier also an, dass er nicht weiter gekürzt werden kann. Ich nehme hier also an, dass er nicht weiter gekürzt werden kann. a und b haben keinen gemeinsamen Teiler. Ich schreibe das hier noch mal hin. Das ist wirklich wichtig für den Beweis. a und-- ich nehme die gleiche Farbe-- a und b haben bis auf die 1, keinen gemeinamen Teiler. a und b haben bis auf die 1, keinen gemeinamen Teiler. Das kann man nicht weiter zerlegen. Diese beiden Zahlen sind teilerfremd. Was heißt das nun für uns? Lass uns das noch etwas umformulieren. Lass uns beide Seiten der Gleichung quadrieren. Wenn du Wurzel 2 quadrierst, erhälst du 2, Wenn du Wurzel 2 quadrierst, erhälst du 2, Und das müsste dann gleich a Quadrat duch b Quadrat sein. Und das müsste dann gleich a Quadrat duch b Quadrat sein. Denn a geteilt durch b zum Quadrat ist das Gleiche wie a Quadrat geteilt durch b Quadrat. Wir können nun beide Seiten mit b Quadrat multiplizieren. Dann erhalten wir 2 mal b Quadrat = a Quadrat. Nun, was sagt uns das über a Quadrat? Nun, a Quadrat ist die Zahl, die b Quadrat mal 2 ergibt. Und diese Zahl muss eine ganze Zahl sein. Wenn wir annehmen, dass b eine ganze Zahl ist, dann muss b Quadrat auch eine ganze Zahl sein, also steht hier eine ganze Zahl mal 2, das muss als Ergebnis eine gerade Zahl sein. das muss als Ergebnis eine gerade Zahl sein. Damit muss also a Quadrat eine gerade Zahl sein. Damit muss also a Quadrat eine gerade Zahl sein. Nun, warum ist das spannend? Nun, ein Quadrat ist das Produkt aus zweimal der selben Zahl. Nun, ein Quadrat ist das Produkt aus zweimal der selben Zahl. In unserem Fall a mal a. Wir können also ebenso behaupten, a mal a muss eine gerade Zahl sein. Was wissen wir damit jetzt über a? Wir erinnern und kurz. Wir nehmen an, dass a eine ganze Zahl ist. a ist dann entweder eine gerade oder eine ungerade Zahl. Wenn wir eine gerade Zahl mit einer geraden Zahl multiplizieren, erhalten wir eine gerade Zahl. Wenn wir eine ungerade Zahl mit einer ungeraden Zahl multiplizieren, erhalten wir eine ungerade Zahl. Hier haben wir eine Zahl, die mit sich selber mal genommen wird, und als Ergebnis eine gerade Zahl ergeben muss. Also muss diese Zahl ebenfalls gerade sein. Das bedeutet, dass das hier eine gerade Zahl ist. Um zu sagen, dass a eine gerade Zahl ist kann man auch sagen, dass a 2 x eine gerade Zahl sein muss. kann man auch sagen, dass a 2 x eine gerade Zahl sein muss. Sagen wir a = 2 mal k. Wohin führt das alles? Nun, wir können damit zeigen, dass b ebenfalls gerade sein muss. Lass uns darüber etwas nachdenken. Wir gehen zu diesem Schritt hier zurück. Wenn wir sagen können, dass a als 2 mal k geschrieben werden kann, Wenn wir sagen können, dass a als 2 mal k geschrieben werden kann, da a eine gerade Zahl ist, dann können wir auch 2b zum Quadrat umschreiben. 2b zum Quadrat ist also gleich 2k zum Quadrat. 2b zum Quadrat ist also gleich 2k zum Quadrat. Statt a Quadrat schreibe ich 2k Quadrat. Aus unseren vorherigen Überlegungen leiten wir ab, Aus unseren vorherigen Überlegungen leiten wir ab, dass ich, da a eine gerade Zahl sein muss, für a auch 2k schreiben kann. a ist gleich 2 mal k, wobei k eine ganze Zahl darstellt. Und dann können wir schreiben, dass 2 mal b Quadrat gleich 4k zum Quadrat ist. gleich 4k zum Quadrat ist. Dann kannst du beide Seiten durch 2 teilen. Du erhältst b Quadrat gleich 2k Quadrat. Du erhältst b Quadrat gleich 2k Quadrat. Und das heißt, k Quadrat ist eine ganze Zahl, Und das heißt, k Quadrat ist eine ganze Zahl, denn wenn du irgendeine ganze Zahl mal 2 nimmst, dann erhältst du eine gerade Zahl. Also wissen wir, dass b Quadrat eine gerade Zahl sein muss. Also wissen wir, dass b Quadrat eine gerade Zahl sein muss. Also wissen wir, dass b Quadrat eine gerade Zahl sein muss. Also wissen wir nun, dass b Quadrat eine gerade Zahl sein muss. Und genauso wie eben bei a Quadrat, muss auch b eine gerade Zahl sein. Und genauso wie eben bei a Quadrat, muss auch b eine gerade Zahl sein. Hier ist unser Widerspruch. Wir haben zu Beginn angenommen, dass a und b, außer 1, keinen gemeisamen Teiler haben. Wir haben angenommen, dass dieser Bruch hier, a durch b, nicht mehr gekürzt werden kann. Aus dieser Annahme und der Tasache, dass a durch b gleich Wurzel 2 ist, Aus dieser Annahme und der Tasache, dass a durch b gleich Wurzel 2 ist, haben wir abgeleitet, dass a und b gerade Zahlen sind. Wenn a und b gerade Zahlen sind, und sie beide 2 als Faktor haben, Wenn a und b gerade Zahlen sind, und sie beide 2 als Faktor haben, dann müssste der Bruch aber kürzbar sein. Wir könnten dann Zähler und Nenner durch 2 kürzen. a und b hätten dann den gemeinsamen Teiler 2. Ich schreibe das hier auf, um das nochmal deutlich zu machen. Ich schreibe das hier auf, um das nochmal deutlich zu machen. Hiervon haben wir abgeleitet, dass a und b den gemeinsamen Teiler 2 haben. a durch b könntest du also kürzen. Und das ist der Widerspruch. Und das ist der Widerspruch. Hier hast du anngenommen, dass Wurzel 2 als ein Bruch aus a und b dargestellt werden kann, den du nicht mehr kürzen kannst. aus a und b dargestellt werden kann, den du nicht mehr kürzen kannst. Das führt zu dem Widerspruch, denn tatsächlich muss man den Bruch kürzen können. Daher kannst du hier diese Annahme nicht treffen. Sie führt zu einem Widerspruch. Die Quadratwurzel aus 2 muss eine irrationale Zahl sein.