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Trigonometrie

Kurs: Trigonometrie > Lerneinheit 1

Lektion 1: Verhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken
Mathematik
Trigonometrie
Rechtwinklige Dreiecke und Trigonometrie
Verhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken
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Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken in Abhängigkeit von den Winkeln

Google Classroom
 Die Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken sind eine Eigenschaft der Winkel im Dreieck.
Als wir die Kongruenz studiert haben, haben wir behauptet: Das Wissen um die Maße zweier Winkel und die Länge der Seite dazwischen (Kongruenzsatz Winkel-Seite-Winkel) reicht aus, um sicher zu sein, dass alle Paare entsprechender Seiten und Winkel kongruent sind.
Wie kann das sein? Selbst mit dem Satz des Pythagoras brauchen wir zwei Seitenlängen um die dritte zu berechnen. In diesem Artikel unternehmen wir erste Schritte hin zu einem Verständnis, wie uns Winkelmaße und Seitenlängen Informationen über einander vermitteln - und zwar im Spezialfall der rechtwinkligen Dreiecke.
Dies ist eine großartige Gelegenheit, mit einem oder zwei Freunden zusammenzuarbeiten. Ziel dieses Artikels ist es nämlich Muster zu entdecken und zu besprechen, aber nicht, eine Menge Zeit mit Berechnungen zu verbringen. Versucht die Arbeit aufzuteilen, damit mehr Zeit bleibt, über das zu reden, was ihr seht!

Suchen wir nach Mustern

Zuerst sammeln wir Daten über eine Reihe von Dreiecken.
Wie hängen die vier Dreiecke zusammen?
Die Dreiecke sind
nach dem Satz
.

Maßtabelle
Hier sind diese Dreiecke nochmal
Vervollständige die Tabelle in Bezug auf ∠A.
△ABC△ADE△AFG△AHI
Länge der Gegenkathete691215
Länge der Ankathete8
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
16
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
Länge der Hyptenuse1015
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
25
Winkel A37°37°37°37°
Rechter Winkel90°90°90°90°
Letzter Winkel
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
°
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
°
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
°
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
°

Jetzt sind wir bereit, diese Daten auf Muster zu untersuchen.
Verhältnisstabelle
Vervollständige die Tabelle der Seitenverhältnisse.
Runde auf Hundertstel.
△ABC△ADE△AFG△AHI
Länge der AnkatheteLänge der Hypotenuse
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
Länge der GegenkatheteLänge der Hypotenuse
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
Länge der GegenkatheteLänge der Ankathete
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

Was fällt dir auf?

Beweis, dass das Muster auch bei anderen Winkelgrößen zutrifft.

Beweis
Vervollständige den Beweis zu: ACBC=FDED.
AussageGrund
1∠A≅∠FAlle rechten Winkel sind kongruent.
2∠B≅∠EGegeben
3△ABC∼△
Ähnlichkeit
4ACFD=BCEDDie Längen der entsprechenden Seiten ähnlicher Dreiecke bilden gleiche Verhältnisse.
5ACBC=FDEDMultipliziere beide Seiten mit
.

Fazit des Beweises
Was haben wir bewiesen?
Wähle eine Lösung.
Für welche Dreiecke haben wir es bewiesen?
Wähle eine Lösung.

Was schließen wir daraus?

Wenn zwei rechtwinklige Dreiecke einen spitzen Winkel gemeinsam haben, dann sind sie ähnlich nach dem Winkel-Winkel-Satz. Die Verhältnisse der Längen entsprechender Seiten in den Dreiecken sind gleich. Somit hängen die Seitenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck von dem spitzen Winkel ab.

Warum ist das nützlich?

Früher konnten wir den Satz des Pythagoras benutzen, um in einem rechtwinkligen Dreieck die Länge der fehlenden Seite herauszufinden, wenn wir die Längen der beiden anderen Seiten kannten. Jetzt können wir Winkelmaße zu den Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks in Beziehung setzen. Das erlaubt es, beide fehlenden Seitenlängen zu berechnen, wenn wir nur eine Länge und die Größe des spitzen Winkels kennen. Wir können sogar die Größe des spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck herausfinden, wenn die Längen zweier beliebiger Seiten gegeben sind.
Erweiterung 1.1
Ist die Größe eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck gegeben, können wir die Verhältnisse der Seitenlängen in diesem Dreieck in Abhängigkeit von dem spitzen Winkel angeben.
Hier sind die gerundeten Werte für die Winkelmaße 25°, 35°, und 45°.
Winkel25°35°45°
Länge der AnkatheteLänge der Hypotenuse0,910,820,71
Länge der GegenkatheteLänge der Hypotenuse0,420,570,71
Länge der GegenkatheteLänge der Ankathete0,470,71
Benutze die Tabelle, um m∠J im Dreieck unten näherungsweise zu bestimmen.
Wähle eine Lösung.

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