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Trigonometrie

Kurs: Trigonometrie > Lerneinheit 1

Lesson 1: Verhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken
Mathematik
Trigonometrie
Rechtwinklige Dreiecke und Trigonometrie
Verhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken
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Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken in Abhängigkeit von den Winkeln

Google Classroom
 Die Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken sind eine Eigenschaft der Winkel im Dreieck.
Als wir die Kongruenz studiert haben, haben wir behauptet: Das Wissen um die Maße zweier Winkel und die Länge der Seite dazwischen (Kongruenzsatz Winkel-Seite-Winkel) reicht aus, um sicher zu sein, dass alle Paare entsprechender Seiten und Winkel kongruent sind.
Wie kann das sein? Selbst mit dem Satz des Pythagoras brauchen wir zwei Seitenlängen um die dritte zu berechnen. In diesem Artikel unternehmen wir erste Schritte hin zu einem Verständnis, wie uns Winkelmaße und Seitenlängen Informationen über einander vermitteln - und zwar im Spezialfall der rechtwinkligen Dreiecke.
Dies ist eine großartige Gelegenheit, mit einem oder zwei Freunden zusammenzuarbeiten. Ziel dieses Artikels ist es nämlich Muster zu entdecken und zu besprechen, aber nicht, eine Menge Zeit mit Berechnungen zu verbringen. Versucht die Arbeit aufzuteilen, damit mehr Zeit bleibt, über das zu reden, was ihr seht!

Suchen wir nach Mustern

Zuerst sammeln wir Daten über eine Reihe von Dreiecken.
Wie hängen die vier Dreiecke zusammen?
Die Dreiecke sind
nach dem Satz
.

Maßtabelle
Hier sind diese Dreiecke nochmal
Vervollständige die Tabelle in Bezug auf angle, A.
triangle, A, B, Ctriangle, A, D, Etriangle, A, F, Gtriangle, A, H, I
Länge der Gegenkathete691215
Länge der Ankathete8
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
16
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
Länge der Hyptenuse1015
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
25
Winkel A37, degree37, degree37, degree37, degree
Rechter Winkel90, degree90, degree90, degree90, degree
Letzter Winkel
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
degree
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
degree
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
degree
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
degree

Jetzt sind wir bereit, diese Daten auf Muster zu untersuchen.
Verhältnisstabelle
Vervollständige die Tabelle der Seitenverhältnisse.
Runde auf Hundertstel.
triangle, A, B, Ctriangle, A, D, Etriangle, A, F, Gtriangle, A, H, I
start fraction, start text, L, a, with, \", on top, n, g, e, space, d, e, r, space, A, n, k, a, t, h, e, t, e, end text, divided by, start text, L, a, with, \", on top, n, g, e, space, d, e, r, space, H, y, p, o, t, e, n, u, s, e, end text, end fraction
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
start fraction, start text, L, a, with, \", on top, n, g, e, space, d, e, r, space, G, e, g, e, n, k, a, t, h, e, t, e, end text, divided by, start text, L, a, with, \", on top, n, g, e, space, d, e, r, space, H, y, p, o, t, e, n, u, s, e, end text, end fraction
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
start fraction, start text, L, a, with, \", on top, n, g, e, space, d, e, r, space, G, e, g, e, n, k, a, t, h, e, t, e, end text, divided by, start text, L, a, with, \", on top, n, g, e, space, d, e, r, space, A, n, k, a, t, h, e, t, e, end text, end fraction
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Was fällt dir auf?

Beweis, dass das Muster auch bei anderen Winkelgrößen zutrifft.

Beweis
Vervollständige den Beweis zu: start fraction, A, C, divided by, B, C, end fraction, equals, start fraction, F, D, divided by, E, D, end fraction.
AussageGrund
1angle, A, \cong, angle, FAlle rechten Winkel sind kongruent.
2angle, B, \cong, angle, EGegeben
3triangle, A, B, C, \sim, triangle
Ähnlichkeit
4start fraction, A, C, divided by, F, D, end fraction, equals, start fraction, B, C, divided by, E, D, end fractionDie Längen der entsprechenden Seiten ähnlicher Dreiecke bilden gleiche Verhältnisse.
5start fraction, A, C, divided by, B, C, end fraction, equals, start fraction, F, D, divided by, E, D, end fractionMultipliziere beide Seiten mit
.

Fazit des Beweises
Was haben wir bewiesen?
Wähle eine Lösung.
Für welche Dreiecke haben wir es bewiesen?
Wähle eine Lösung.

Was schließen wir daraus?

Wenn zwei rechtwinklige Dreiecke einen spitzen Winkel gemeinsam haben, dann sind sie ähnlich nach dem Winkel-Winkel-Satz. Die Verhältnisse der Längen entsprechender Seiten in den Dreiecken sind gleich. Somit hängen die Seitenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck von dem spitzen Winkel ab.

Warum ist das nützlich?

Früher konnten wir den Satz des Pythagoras benutzen, um in einem rechtwinkligen Dreieck die Länge der fehlenden Seite herauszufinden, wenn wir die Längen der beiden anderen Seiten kannten. Jetzt können wir Winkelmaße zu den Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks in Beziehung setzen. Das erlaubt es, beide fehlenden Seitenlängen zu berechnen, wenn wir nur eine Länge und die Größe des spitzen Winkels kennen. Wir können sogar die Größe des spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck herausfinden, wenn die Längen zweier beliebiger Seiten gegeben sind.
Erweiterung 1.1
  • Aktuell
Ist die Größe eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck gegeben, können wir die Verhältnisse der Seitenlängen in diesem Dreieck in Abhängigkeit von dem spitzen Winkel angeben.
Hier sind die gerundeten Werte für die Winkelmaße 25, degree, 35, degree, und 45, degree.
Winkel25, degree35, degree45, degree
start fraction, start text, L, a, with, \", on top, n, g, e, space, d, e, r, space, A, n, k, a, t, h, e, t, e, end text, divided by, start text, L, a, with, \", on top, n, g, e, space, d, e, r, space, H, y, p, o, t, e, n, u, s, e, end text, end fraction0, comma, 910, comma, 820, comma, 71
start fraction, start text, L, a, with, \", on top, n, g, e, space, d, e, r, space, G, e, g, e, n, k, a, t, h, e, t, e, end text, divided by, start text, L, a, with, \", on top, n, g, e, space, d, e, r, space, H, y, p, o, t, e, n, u, s, e, end text, end fraction0, comma, 420, comma, 570, comma, 71
start fraction, start text, L, a, with, \", on top, n, g, e, space, d, e, r, space, G, e, g, e, n, k, a, t, h, e, t, e, end text, divided by, start text, L, a, with, \", on top, n, g, e, space, d, e, r, space, A, n, k, a, t, h, e, t, e, end text, end fraction0, comma, 470, comma, 71
Benutze die Tabelle, um m, angle, J im Dreieck unten näherungsweise zu bestimmen.
Wähle eine Lösung.

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