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Trigonometrie
Kurs: Trigonometrie > Lerneinheit 1
Lesson 4: Ermitteln eines Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck mit Hilfe der trigonometrischen BeziehungenEinführung in inverse trigonometrische Funktionen
Lerne über Arkussinus, Arkuskosinus und Arkustangens und wie sie genutzt werden können um nach einem fehlenden Winkel in rechtwinkligen Dreiecken aufzulösen.
Wir schauen uns jetzt eine neue Art von trigonometrischen Aufgaben an. Interessanterweise können diese Aufgaben nicht mit Sinus, Kosinus oder Tangens gelöst werden.
Eine Aufgabe: Wie groß ist in dem folgenden Dreieck der Winkel L?
Was wir wissen: In Bezug zu angle, L kennen wir die Längen der Gegenkathete und der Ankathete. Also können wir schreiben:
Aber das hilft uns nicht dabei, die Größe von angle, L herauszufinden. Wir stecken fest!
Was wir benötigen: Wir benötigen ein neues mathematisches Tool, um Aufgaben wie diese zu lösen. Unsere alten Freunde Sinus, Kosinus und Tangens sind für diese Aufgabe nicht geeignet. Sie berechnen anhand von Winkeln Seitenverhältnisse, aber wir benötigen Funktionen, die aus Seitenverhältnissen Winkel berechnen. Wir benötigen die inversen trigonometrischen Funktionen!
Die inversen trigonometrischen Funktionen
Wir kennen bereits inverse (umgekehrte) Rechenvorgänge. Addition und Subtraktion sind zum Beispiel inverse Rechenvorgänge, genau wie Multiplikation und Division. Jeder Rechenvorgang macht das Gegenteil seiner Umkehrung.
Der gleiche Gedanke steckt in der Trigonometrie dahinter. Inverse trigonometrische Funktionen machen das Gegenteil der “normalen” trigonometrischen Funktionen. Zum Beispiel:
- Die inverse Funktion des Sinus, der Arkussinus left parenthesis, sine, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis, macht das Gegenteil des Sinus.
- Die inverse Funktion des Kosinus, der Arkuskosinus left parenthesis, cosine, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis, macht das Gegenteil des Kosinus.
- Die inverse Funktion des Tangens, der Arkustangens left parenthesis, tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis, macht das Gegenteil des Tangens.
Wenn du das trigonometrische Verhältnis, aber nicht den Winkel weißt, kannst du die entsprechende inverse trigonometrische Funktion verwenden, um den Winkel zu berechnen. Dies wird in den folgenden Aussagen mathematisch ausgedrückt.
Trigonometrische Funktionen berechnen Seitenverhältnis aus Winkeln | Inverse trigonometrische Funktionen berechnen Winkel aus Seitenverhältnissen | |
---|---|---|
sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, G, e, g, e, n, k, a, t, h, e, t, e, end text, divided by, start text, H, y, p, o, t, e, n, u, s, e, end text, end fraction | right arrow | sine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, G, e, g, e, n, k, a, t, h, e, t, h, e, end text, divided by, start text, H, y, p, o, t, e, n, u, s, e, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta |
cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, A, n, k, a, t, h, e, t, e, end text, divided by, start text, H, y, p, o, t, e, n, u, s, e, end text, end fraction | right arrow | cosine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, A, n, k, a, t, h, e, t, e, end text, divided by, start text, H, y, p, o, t, e, n, u, s, e, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta |
tangent, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, G, e, g, e, n, k, a, t, h, e, t, e, end text, divided by, start text, A, n, k, a, t, h, e, t, e, end text, end fraction | right arrow | tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, G, e, g, e, n, k, a, t, h, e, t, e, end text, divided by, start text, A, n, k, a, t, h, e, t, e, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta |
Warnung vor einem Missverständnis!
Der Ausdruck sine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis ist nicht das gleiche wie start fraction, 1, divided by, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction. Anders ausgedrückt: Die minus, 1 ist kein Exponent. Stattdessen bedeutet sie einfach nur inverse Funktion.
Es gibt jedoch eine alternative Schreibweise, die diese Falle umgeht! Der Arkussinus kann auch als \arcsin geschrieben werden, der Arkuskosinus als \arccos und der Arkustangens als \arctan. Diese Schreibweise ist in Programmiersprachen üblich, aber nicht in der Mathematik.
Lösung der einleitenden Aufgabe
In der einleitenden Aufgabe hatten wir die Längen der Gegenkathete und der Ankathete gegeben. Wir können also den Arkustangens verwenden, um den Winkel zu berechnen.
Lass uns nun einige Übungsaufgaben in Angriff nehmen.
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