Sinus & Kosinus von Komplementärwinkeln

Wir wollen beweisen, dass der Sinus eines Winkels dem Kosinus seines Komplementärwinkels entspricht.

Wir beginnen mit einem rechtwinkligen Dreieck. Bemerke wie die spitzen Winkel komplementär sind und sich zu 90$^\circ$degrees summieren.

Nun kommt der coole Teil. Schaui, wie der Sinus eines spitzen Winkels

das $\blueD{\text{exakt gleiche Verhältnis}}$start color #11accd, start text, e, x, a, k, t, space, g, l, e, i, c, h, e, space, V, e, r, h, a, with, \", on top, l, t, n, i, s, end text, end color #11accd wie der Kosinus des anderen spitzen Winkels beschreibt?

Unglaublich! Beide Funktionen $\sin(\theta)$sine, left parenthesis, theta, right parenthesis und $\cos(90^\circ-\theta)$cosine, left parenthesis, 90, degrees, minus, theta, right parenthesis, ergeben genau das gleiche Seitenverhältnis in einem rechtwinkligen Dreieck.

Und wir sind fertig! Wir haben gezeigt, dass $\sin(\theta) = \cos(90^\circ-\theta)$sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, 90, degrees, minus, theta, right parenthesis.

In anderen Worten, der Sinus eines Winkels entspricht dem Kosinus seines Komplementärs.

Gut, technisch gesehen haben wir dies für Winkel zwischen 0$^\circ$degrees und 90$^\circ$degrees gezeigt. Damit unser Beweis für alle Winkel gilt, müssen wir uns aus der Rechter-Winkel-Trigonometrie in die Welt der Einheitskreis-Trigonometrie bewegen, das ist aber eine Aufgabe für eine andere Zeit.

Du hast vielleicht bemerkt, dass die Worte Sinus und Kosinus ähnlich klingen. Das ist so, weil sie Kofunktionen sind! Die Art wie Kofunctionen arbeiten ist genau das, was du oben gesehen hast. Algemein gilt, wenn $f$f und $g$g Kofunktionen sind, dann gilt

und

$g(\theta) = f(90^\circ-\theta)$g, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, 90, degrees, minus, theta, right parenthesis.

Hier ist die vollständige Liste der grundlegenden trigonometrischen Kofunktionen:

Toll! Wer immer die trigonometrischen Funktionen benannt hat, muss das Verhältnis zwischen ihnen nachhaltig verstanden haben.