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Trigonometrie
Kurs: Trigonometrie > Lerneinheit 1
Lektion 7: Die reziproken trigonometrischen VerhältnisseSinus & Kosinus von Komplementärwinkeln
Erfahre mehr über die Beziehung zwischen dem Sinus & Kosinus von komplementären Winkeln, was Winkel sind, die zusammen zu 90° summieren.
Wir wollen beweisen, dass der Sinus eines Winkels dem Kosinus seines Komplementärwinkels entspricht.
Wir beginnen mit einem rechtwinkligen Dreieck. Bemerke wie die spitzen Winkel komplementär sind und sich zu 90 summieren.
Nun kommt der coole Teil. Schaui, wie der Sinus eines spitzen Winkels
das wie der Kosinus des anderen spitzen Winkels beschreibt?
Unglaublich! Beide Funktionen und , ergeben genau das gleiche Seitenverhältnis in einem rechtwinkligen Dreieck.
Und wir sind fertig! Wir haben gezeigt, dass .
In anderen Worten, der Sinus eines Winkels entspricht dem Kosinus seines Komplementärs.
Gut, technisch gesehen haben wir dies für Winkel zwischen 0 und 90 gezeigt. Damit unser Beweis für alle Winkel gilt, müssen wir uns aus der Rechter-Winkel-Trigonometrie in die Welt der Einheitskreis-Trigonometrie bewegen, das ist aber eine Aufgabe für eine andere Zeit.
Kofunktionen
Du hast vielleicht bemerkt, dass die Worte Sinus und Kosinus ähnlich klingen. Das ist so, weil sie Kofunktionen sind! Die Art wie Kofunctionen arbeiten ist genau das, was du oben gesehen hast. Algemein gilt, wenn und Kofunktionen sind, dann gilt
und
Hier ist die vollständige Liste der grundlegenden trigonometrischen Kofunktionen:
Kofunktionen | ||
---|---|---|
Sinus und Kosinus | ||
Tangens und Kotangens | ||
Arkuskosinus und Arkussinus | ||
Toll! Wer immer die trigonometrischen Funktionen benannt hat, muss das Verhältnis zwischen ihnen nachhaltig verstanden haben.
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