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Sinus & Kosinus von Komplementärwinkeln

Erfahre mehr über die Beziehung zwischen dem Sinus & Kosinus von komplementären Winkeln, was Winkel sind, die zusammen zu 90° summieren.
Wir wollen beweisen, dass der Sinus eines Winkels dem Kosinus seines Komplementärwinkels entspricht.
sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, 90, degrees, minus, theta, right parenthesis
Wir beginnen mit einem rechtwinkligen Dreieck. Bemerke wie die spitzen Winkel komplementär sind und sich zu 90degrees summieren.
Nun kommt der coole Teil. Schaui, wie der Sinus eines spitzen Winkels
das start color #11accd, start text, e, x, a, k, t, space, g, l, e, i, c, h, e, space, V, e, r, h, a, with, \", on top, l, t, n, i, s, end text, end color #11accd wie der Kosinus des anderen spitzen Winkels beschreibt?
Unglaublich! Beide Funktionen sine, left parenthesis, theta, right parenthesis und cosine, left parenthesis, 90, degrees, minus, theta, right parenthesis, ergeben genau das gleiche Seitenverhältnis in einem rechtwinkligen Dreieck.
Und wir sind fertig! Wir haben gezeigt, dass sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, 90, degrees, minus, theta, right parenthesis.
In anderen Worten, der Sinus eines Winkels entspricht dem Kosinus seines Komplementärs.
Gut, technisch gesehen haben wir dies für Winkel zwischen 0degrees und 90degrees gezeigt. Damit unser Beweis für alle Winkel gilt, müssen wir uns aus der Rechter-Winkel-Trigonometrie in die Welt der Einheitskreis-Trigonometrie bewegen, das ist aber eine Aufgabe für eine andere Zeit.

Kofunktionen

Du hast vielleicht bemerkt, dass die Worte Sinus und Kosinus ähnlich klingen. Das ist so, weil sie Kofunktionen sind! Die Art wie Kofunctionen arbeiten ist genau das, was du oben gesehen hast. Algemein gilt, wenn f und g Kofunktionen sind, dann gilt
f, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, g, left parenthesis, 90, degrees, minus, theta, right parenthesis
und
g, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, 90, degrees, minus, theta, right parenthesis.
Hier ist die vollständige Liste der grundlegenden trigonometrischen Kofunktionen:
Kofunktionen
Sinus und Kosinussine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, 90, degrees, minus, theta, right parenthesis
cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, 90, degrees, minus, theta, right parenthesis
Tangens und Kotangenstangent, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, cotangent, left parenthesis, 90, degrees, minus, theta, right parenthesis
cotangent, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, tangent, left parenthesis, 90, degrees, minus, theta, right parenthesis
Arkuskosinus und Arkussinus\sec, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, \csc, left parenthesis, 90, degrees, minus, theta, right parenthesis
\csc, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, \sec, left parenthesis, 90, degrees, minus, theta, right parenthesis
Toll! Wer immer die trigonometrischen Funktionen benannt hat, muss das Verhältnis zwischen ihnen nachhaltig verstanden haben.