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Kurs: Trigonometrie > Lerneinheit 1

Lektion 7: Die reziproken trigonometrischen Verhältnisse

Sinus & Kosinus von Komplementärwinkeln

Erfahre mehr über die Beziehung zwischen dem Sinus & Kosinus von komplementären Winkeln, was Winkel sind, die zusammen zu 90° summieren.

Wir wollen beweisen, dass der Sinus eines Winkels dem Kosinus seines Komplementärwinkels entspricht.

\sin (θ) = \cos (90^{\circ} - θ)

Wir beginnen mit einem rechtwinkligen Dreieck. Bemerke wie die spitzen Winkel komplementär sind und sich zu 90

^{\circ}

summieren.

Die Winkel in einem Dreieck ergeben summiert 180

^{\circ}

. Da ein Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck 90

^{\circ}

ist, müssen die übrigen Winkel zusammen 180

^{\circ}

minus 90

^{\circ}

, oder 90

^{\circ}

sein.

Daher muss, wenn wir einen der Winkel

θ

bezeichnen, der andere 90

^{\circ}

minus

θ

sein. Dies stellt sicher, dass die zwei Winkel summiert 90

^{\circ}

ergeben.

Wenn zwei Winkel zusammen 90

^{\circ}

ergeben, nennen wir sie Komplmentärwinkel.

Nun kommt der coole Teil. Schaui, wie der Sinus eines spitzen Winkels

das

exakt gleiche Verhältnis

wie der Kosinus des anderen spitzen Winkels beschreibt?

Unglaublich! Beide Funktionen

\sin (θ)

und

\cos (90^{\circ} - θ)

, ergeben genau das gleiche Seitenverhältnis in einem rechtwinkligen Dreieck.

Und wir sind fertig! Wir haben gezeigt, dass

\sin (θ) = \cos (90^{\circ} - θ)

In anderen Worten, der Sinus eines Winkels entspricht dem Kosinus seines Komplementärs.

Gut, technisch gesehen haben wir dies für Winkel zwischen 0

^{\circ}

und 90

^{\circ}

gezeigt. Damit unser Beweis für alle Winkel gilt, müssen wir uns aus der Rechter-Winkel-Trigonometrie in die Welt der Einheitskreis-Trigonometrie bewegen, das ist aber eine Aufgabe für eine andere Zeit.

Kofunktionen

Du hast vielleicht bemerkt, dass die Worte Sinus und Kosinus ähnlich klingen. Das ist so, weil sie Kofunktionen sind! Die Art wie Kofunctionen arbeiten ist genau das, was du oben gesehen hast. Algemein gilt, wenn

f

und

g

Kofunktionen sind, dann gilt

f (θ) = g (90^{\circ} - θ)

und

g (θ) = f (90^{\circ} - θ)

Hier ist die vollständige Liste der grundlegenden trigonometrischen Kofunktionen:

Kofunktionen
Sinus und Kosinus	$\sin (θ) = \cos (90^{\circ} - θ)$ ‍
	$\cos (θ) = \sin (90^{\circ} - θ)$ ‍
Tangens und Kotangens	$\tan (θ) = \cot (90^{\circ} - θ)$ ‍
	$\cot (θ) = \tan (90^{\circ} - θ)$ ‍
Arkuskosinus und Arkussinus	$\sec (θ) = \csc (90^{\circ} - θ)$ ‍
	$\csc (θ) = \sec (90^{\circ} - θ)$ ‍

Toll! Wer immer die trigonometrischen Funktionen benannt hat, muss das Verhältnis zwischen ihnen nachhaltig verstanden haben.

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