If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Wenn du hinter einem Webfilter bist, stelle sicher, dass die Domänen *. kastatic.org und *. kasandbox.org nicht blockiert sind.

Hauptinhalt

Trigonometrie

Kurs: Trigonometrie > Lerneinheit 3

Lesson 3: Allgemeine Dreiecke lösen
Mathematik
Trigonometrie
Trigonometrie mit allgemeinen Dreiecken
Allgemeine Dreiecke lösen
© 2023 Khan AcademyNutzungsbedingungenDatenschutzerklärungCookie-Meldung

Sinus- und Kosinussatz - Wiederholung

Google Classroom
Überprüfe den Sinussatz und den Kosinussatz, und verwende sie, um Aufgaben mit einem beliebigen Dreieck zu lösen.

Sinussatz

start fraction, a, divided by, sine, left parenthesis, alpha, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, b, divided by, sine, left parenthesis, beta, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, c, divided by, sine, left parenthesis, gamma, right parenthesis, end fraction

Kosinussatz

c, squared, equals, a, squared, plus, b, squared, minus, 2, a, b, cosine, left parenthesis, gamma, right parenthesis
Willst du mehr lernen über den Sinussatz ? Schau dir dieses Video an.
Willst du mehr lernen über den Kosinussatz? Schau dir dieses Video an.

Übungsreihe 1: Dreiecke mit Hilfe des Sinussatzes lösen

Dieser Satz ist nützlich, um einen fehlenden Winkel zu bestimmen, wenn ein Winkel und zwei Seiten gegeben sind, oder eine fehlende Seite zu bestimmen, wenn zwei Winkel und eine Seite gegeben sind.

Beispiel 1: Eine fehlende Seite bestimmen

Wir wollen in dem folgenden Dreieck A, C bestimmen:
Entsprechend dem Sinussatz gilt, start fraction, A, B, divided by, sine, left parenthesis, angle, C, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, A, C, divided by, sine, left parenthesis, angle, B, right parenthesis, end fraction. Nun können wir die Werte einsetzen auf lösen:
ABsin⁡(∠C)=ACsin⁡(∠B)5sin⁡(33∘)=ACsin⁡(67∘)5sin⁡(67∘)sin⁡(33∘)=AC8,45≈AC\begin{aligned} \dfrac{AB}{\sin(\angle C)}&=\dfrac{AC}{\sin(\angle B)} \\\\ \dfrac{5}{\sin(33^\circ)}&=\dfrac{AC}{\sin(67^\circ)}\\\\ \dfrac{5\sin(67^\circ)}{\sin(33^\circ)}&=AC \\\\ 8{,}45&\approx AC \end{aligned}

Beispiel 2: Einen fehlenden Winkel bestimmen

Wir wollen in dem folgenden Dreieck m, angle, A bestimmen:
Entsprechend dem Sinussatz gilt, start fraction, B, C, divided by, sine, left parenthesis, angle, A, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, A, B, divided by, sine, left parenthesis, angle, C, right parenthesis, end fraction. Nun können wir die Werte einsetzen auf lösen:
BCsin⁡(∠A)=ABsin⁡(∠C)11sin⁡(∠A)=5sin⁡(25∘)11sin⁡(25∘)=5sin⁡(∠A)11sin⁡(25∘)5=sin⁡(∠A)\begin{aligned} \dfrac{BC}{\sin(\angle A)}&=\dfrac{AB}{\sin(\angle C)} \\\\ \dfrac{11}{\sin(\angle A)}&=\dfrac{5}{\sin(25^\circ)} \\\\ 11\sin(25^\circ)&=5\sin(\angle A) \\\\ \dfrac{11\sin(25^\circ)}{5}&=\sin(\angle A) \end{aligned}
Wir berechnen mit Hilfe des Taschenrechners und runden:
m, angle, A, equals, sine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, 11, sine, left parenthesis, 25, degrees, right parenthesis, divided by, 5, end fraction, right parenthesis, approximately equals, 68, comma, 4, degrees
Denke daran, dass wenn der fehlende Winkel stumpf ist, wir 180, degrees nehmen müssen und von dem, was wir mit dem Taschenrechner erhalten haben, subtrahieren.
Aufgabe 1.1
  • Aktuell
B, C, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Runde auf Zehntel.

Möchtest du mehr Aufgaben wie diese lösen? Schau dir diese Übung an.

Übungsreihe 2: Dreiecke mit Hilfe des Kosinussatzes lösen

Dieser Satz ist meistens nützlich, um ein Winkelmaß zu bestimmen, wenn alle Seiten gegeben sind. Er ist auch nützlich, oder eine fehlende Seite zu bestimmen, wenn die anderen Seiten und ein Winkelmaß gegeben sind.

Beispiel 1: Einen Winkel bestimmen

Wir wollen in dem folgenden Dreieck m, angle, B bestimmen:
Entsprechend des Kosinussatzes gilt:
left parenthesis, A, C, right parenthesis, squared, equals, left parenthesis, A, B, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, B, C, right parenthesis, squared, minus, 2, left parenthesis, A, B, right parenthesis, left parenthesis, B, C, right parenthesis, cosine, left parenthesis, angle, B, right parenthesis
Nun können wir die Werte einsetzen und lösen:
(5)2=(10)2+(6)2−2(10)(6)cos⁡(∠B)25=100+36−120cos⁡(∠B)120cos⁡(∠B)=111cos⁡(∠B)=111120\begin{aligned} (5)^2&=(10)^2+(6)^2-2(10)(6)\cos(\angle B) \\\\ 25&=100+36-120\cos(\angle B) \\\\ 120\cos(\angle B)&=111 \\\\ \cos(\angle B)&=\dfrac{111}{120} \end{aligned}
Wir berechnen mit Hilfe des Taschenrechners und runden:
m, angle, B, equals, cosine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, 111, divided by, 120, end fraction, right parenthesis, approximately equals, 22, comma, 33, degrees

Beispiel 2: Eine fehlende Seite bestimmen

Wir wollen in dem folgenden Dreieck A, B bestimmen:
Entsprechend des Kosinussatzes gilt:
left parenthesis, A, B, right parenthesis, squared, equals, left parenthesis, A, C, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, B, C, right parenthesis, squared, minus, 2, left parenthesis, A, C, right parenthesis, left parenthesis, B, C, right parenthesis, cosine, left parenthesis, angle, C, right parenthesis
Nun können wir die Werte einsetzen und lösen:
(AB)2=(5)2+(16)2−2(5)(16)cos⁡(61∘)(AB)2=25+256−160cos⁡(61∘)AB=281−160cos⁡(61∘)AB≈14,3\begin{aligned} (AB)^2&=(5)^2+(16)^2-2(5)(16)\cos(61^\circ) \\\\ (AB)^2&=25+256-160\cos(61^\circ) \\\\ AB&=\sqrt{281-160\cos(61^\circ)} \\\\ AB&\approx 14{,}3 \end{aligned}
Aufgabe 2.1
  • Aktuell
m, angle, A, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
degrees
Runde auf ganze Grad.

Möchtest du mehr Aufgaben wie diese lösen? Schau dir diese Übung an.

Übungsreihe 3: Textaufgaben zu allgemeinen Dreiecken

Aufgabe 3.1
  • Aktuell
"Nur einer bleibt übrig." meldet Ryan seinem Bruder aus seinem Versteck.
Matt nickt zustimmend, als er den letzten bösen Roboter entdeckt.
"34 Grad." meldet Matt zurück, indem er Ryan über den Winkel informiert, den er zwischen Ryan und dem Roboter beobachtete.
Ryan trägt diesen Wert auf seinem Diagramm (unten gezeigt) ein und führt eine Berechnung durch. Er kalibriert seine Laserkanone auf die richtige Entfernung, er steht auf, zielt und feuert.
Auf welche Entfernung kalibriert Ryan seine Laserkanone?
Runde nicht während deiner Berechnungen. Runde erst dein Ergebnis auf ganze Meter.
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
start text, space, m, end text

Möchtest du mehr Aufgaben wie diese lösen? Schau dir diese Übung an.

Willst du an der Diskussion teilnehmen?

Anmelden
Noch keine Beiträge.
Verstehst du Englisch? Klick hier, um weitere Diskussionen auf der englischen Khan Academy Seite zu sehen.