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Kurs: Trigonometrie > Lerneinheit 3

Lektion 3: Allgemeine Dreiecke lösen

Sinus- und Kosinussatz - Wiederholung

Überprüfe den Sinussatz und den Kosinussatz, und verwende sie, um Aufgaben mit einem beliebigen Dreieck zu lösen.

Sinussatz

\frac{a}{\sin (α)} = \frac{b}{\sin (β)} = \frac{c}{\sin (γ)}

Kosinussatz

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (γ)

Willst du mehr lernen über den Sinussatz ? Schau dir dieses Video an.
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Übungsreihe 1: Dreiecke mit Hilfe des Sinussatzes lösen

Dieser Satz ist nützlich, um einen fehlenden Winkel zu bestimmen, wenn ein Winkel und zwei Seiten gegeben sind, oder eine fehlende Seite zu bestimmen, wenn zwei Winkel und eine Seite gegeben sind.

Beispiel 1: Eine fehlende Seite bestimmen

Wir wollen in dem folgenden Dreieck

A C

bestimmen:

Entsprechend dem Sinussatz gilt,

\frac{A B}{\sin (∠ C)} = \frac{A C}{\sin (∠ B)}

. Nun können wir die Werte einsetzen auf lösen:

\begin{aligned} \frac{A B}{\sin (∠ C)} & = \frac{A C}{\sin (∠ B)} \\ \frac{5}{\sin (33^{\circ})} & = \frac{A C}{\sin (67^{\circ})} \\ \frac{5 \sin (67^{\circ})}{\sin (33^{\circ})} & = A C \\ 8, 45 & \approx A C \end{aligned}

Beispiel 2: Einen fehlenden Winkel bestimmen

Wir wollen in dem folgenden Dreieck

m ∠ A

bestimmen:

Entsprechend dem Sinussatz gilt,

\frac{B C}{\sin (∠ A)} = \frac{A B}{\sin (∠ C)}

. Nun können wir die Werte einsetzen auf lösen:

\begin{aligned} \frac{B C}{\sin (∠ A)} & = \frac{A B}{\sin (∠ C)} \\ \frac{11}{\sin (∠ A)} & = \frac{5}{\sin (25^{\circ})} \\ 11 \sin (25^{\circ}) & = 5 \sin (∠ A) \\ \frac{11 \sin (25^{\circ})}{5} & = \sin (∠ A) \end{aligned}

Wir berechnen mit Hilfe des Taschenrechners und runden:

m ∠ A = \sin^{- 1} (\frac{11 \sin (25^{\circ})}{5}) \approx 68, 4^{\circ}

Denke daran, dass wenn der fehlende Winkel stumpf ist, wir

180^{\circ}

nehmen müssen und von dem, was wir mit dem Taschenrechner erhalten haben, subtrahieren.

Aufgabe 1.1

B C =

Runde auf Zehntel.

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Übungsreihe 2: Dreiecke mit Hilfe des Kosinussatzes lösen

Dieser Satz ist meistens nützlich, um ein Winkelmaß zu bestimmen, wenn alle Seiten gegeben sind. Er ist auch nützlich, oder eine fehlende Seite zu bestimmen, wenn die anderen Seiten und ein Winkelmaß gegeben sind.

Beispiel 1: Einen Winkel bestimmen

Wir wollen in dem folgenden Dreieck

m ∠ B

bestimmen:

Entsprechend des Kosinussatzes gilt:

(A C)^{2} = (A B)^{2} + (B C)^{2} - 2 (A B) (B C) \cos (∠ B)

Nun können wir die Werte einsetzen und lösen:

\begin{aligned} (5)^{2} & = (10)^{2} + (6)^{2} - 2 (10) (6) \cos (∠ B) \\ 25 & = 100 + 36 - 120 \cos (∠ B) \\ 120 \cos (∠ B) & = 111 \\ \cos (∠ B) & = \frac{111}{120} \end{aligned}

Wir berechnen mit Hilfe des Taschenrechners und runden:

m ∠ B = \cos^{- 1} (\frac{111}{120}) \approx 22, 33^{\circ}

Beispiel 2: Eine fehlende Seite bestimmen

Wir wollen in dem folgenden Dreieck

A B

bestimmen:

Entsprechend des Kosinussatzes gilt:

(A B)^{2} = (A C)^{2} + (B C)^{2} - 2 (A C) (B C) \cos (∠ C)

Nun können wir die Werte einsetzen und lösen:

\begin{aligned} (A B)^{2} & = (5)^{2} + (16)^{2} - 2 (5) (16) \cos (61^{\circ}) \\ (A B)^{2} & = 25 + 256 - 160 \cos (61^{\circ}) \\ A B & = \sqrt{281 - 160 \cos (61^{\circ})} \\ A B & \approx 14, 3 \end{aligned}

Aufgabe 2.1

m ∠ A =

^{\circ}

Runde auf ganze Grad.

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Übungsreihe 3: Textaufgaben zu allgemeinen Dreiecken

Aufgabe 3.1

"Nur einer bleibt übrig." meldet Ryan seinem Bruder aus seinem Versteck.

Matt nickt zustimmend, als er den letzten bösen Roboter entdeckt.

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Grad." meldet Matt zurück, indem er Ryan über den Winkel informiert, den er zwischen Ryan und dem Roboter beobachtete.

Ryan trägt diesen Wert auf seinem Diagramm (unten gezeigt) ein und führt eine Berechnung durch. Er kalibriert seine Laserkanone auf die richtige Entfernung, er steht auf, zielt und feuert.

Auf welche Entfernung kalibriert Ryan seine Laserkanone?
Runde nicht während deiner Berechnungen. Runde erst dein Ergebnis auf ganze Meter.

m

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