Beweis des Sinussatzes

Ich werde nun den Sinussatz beweisen. Ich werde nun den Sinussatz beweisen. Hier zeichne ich ein willkürliches Dreieck. Hier zeichne ich ein willkürliches Dreieck. Hier zeichne ich ein willkürliches Dreieck. Es soll ein wenig fremdartig aussehen, so dass du siehst, dass es wirklich für jedes Dreieck gilt. Der Sinussatz ist ein Verhältnis zwischen Winkel und Seiten. Der Sinussatz ist ein Verhältnis zwischen Winkel und Seiten. Der Sinussatz ist ein Verhältnis zwischen Winkel und Seiten. Der Sinussatz ist ein Verhältnis zwischen Winkel und Seiten. Dieser Winkel hier ist Alpha. Diese Seite ist A. Diese Seite ist A. Dieser Winkel ist Beta und die Seite ist B. Dieser Winkel ist Beta und die Seite ist B. Dieser Winkel ist Beta und die Seite ist B. Finden wir also ein Verhältnis, das A mit B, und Alpha mit Beta verbindet. Finden wir also ein Verhältnis, das A mit B, und Alpha mit Beta verbindet. Wie machen wir das? Hier sollte natürlich der Sinussatz rauskommen. Hier sollte natürlich der Sinussatz rauskommen. Hier sollte natürlich der Sinussatz rauskommen. Zeichen wir hier die Höhe ein. Zeichen wir hier die Höhe ein. Die Höhe komm hier von diesem Eck herunter auf diese Seite, zu der sie senkrecht steht. Die Höhe komm hier von diesem Eck herunter auf diese Seite, zu der sie senkrecht steht. Diese Seite würde dann C heißen. Diese Seite würde dann C heißen. Der Winkel hier ist also 90 Grad. Der Winkel hier ist also 90 Grad. Wir kennen die Höhe nicht. Wir kennen die Höhe nicht. Alles, was wir darüber wissen, ist, dass sie senkrecht auf C steht. Alles, was wir darüber wissen, ist, dass sie senkrecht auf C steht. Was können wir damit nun machen? Die Höhe nennen wir x. Die Höhe nennen wir x. Finden wir ein Verhältnis zwischen A, der Länge von x und Beta? Finden wir ein Verhältnis zwischen A, der Länge von x und Beta? Finden wir ein Verhältnis zwischen A, der Länge von x und Beta? Finden wir ein Verhältnis zwischen A, der Länge von x und Beta? Finden wir ein Verhältnis zwischen A, der Länge von x und Beta? Finden wir ein Verhältnis zwischen A, der Länge von x und Beta? Finden wir ein Verhältnis zwischen A, der Länge von x und beta? Finden wir ein Verhältnis zwischen A, der Länge von x und Beta? Wenn wir uns beta ansehen, liegt x gleich gegenüber und A ist die Hypotenuse. Wenn wir uns beta ansehen, liegt x gleich gegenüber und A ist die Hypotenuse. Wenn wir uns beta ansehen, liegt x gleich gegenüber und A ist die Hypotenuse. Wenn wir uns beta ansehen, liegt x gleich gegenüber und A ist die Hypotenuse. Schreiben wir uns "soh cah toa" auf den Zettel. Schreiben wir uns "soh cah toa" auf den Zettel. Schreiben wir uns "soh cah toa" auf den Zettel. Um die Gegenkathete zu erhalten, brauchen wir den sinus. Um die Gegenkathete zu erhalten, brauchen wir den Sinus. Das hast du wahrscheinlich schon erraten, weil wir ja hier den Sinussatz beweisen. Das hast du wahrscheinlich schon erraten, weil wir ja hier den Sinussatz beweisen. Der sinus von beta ist also die Gegenkathete durch die Hypotenuse. Der sinus von beta ist also die Gegenkathete durch die Hypotenuse. Das ist gleich x durch A. Das ist gleich x durch A. Wenn wir die Gleichung also nach x lösen, multiplizieren wir auf beiden Seiten A. Wenn wir die Gleichung also nach x lösen, multiplizieren wir auf beiden Seiten A. Dabei erhalten wir Sinus von beta mal A gleich x. Dabei erhalten wir Sinus von beta mal A gleich x. Dabei erhalten wir sinus von beta mal A gleich x. Dabei erhalten wir sinus von beta mal A gleich x. Finden wir jetzt ein Verhältnis zwischen alpha, B und x. Finden wir jetzt ein Verhältnis zwischen alpha, B und x. Dafür sehen wir uns das andere Dreieck an, das ja auch rechtwinklig ist. Hier ist x relativ zu alpha gesehen die Gegenkathete und B die Hypotenuse. Hier ist x relativ zu alpha gesehen die Gegenkathete und B die Hypotenuse. Hier ist x relativ zu alpha gesehen die Gegenkathete und B die Hypotenuse. Wir können also auch schreiben, dass der sinus von alpha gleich der Gegenkathete durch die Hypotenuse ist. Wir können also auch schreiben, dass der sinus von alpha gleich der Gegenkathete durch die Hypotenuse ist. Wir können also auch schreiben, dass der sinus von alpha gleich der Gegenkathete durch die Hypotenuse ist. Die Gegenkathete ist x und die Hypotenuse B. Die Gegenkathete ist x und die Hypotenuse B. Lösen wir die Gleichung wieder nach x. Multipliziere beide Seiten mit B und du erhältst B mal sinus alpha gleich x. Multipliziere beide Seiten mit B und du erhältst B mal sinus alpha gleich x. Was haben wir hier also? Wir haben zwei verschiedene Arten, diese Linie x zu berechnen. Wir haben zwei verschiedene Arten, diese Linie x zu berechnen. Wir haben A mal sinus beta gleich x und B mal sinus alpha gleich x Die beiden Gleichungen haben also dasselbe Ergebnis. Die beiden Gleichungen haben also dasselbe Ergebnis. Die beiden Gleichungen haben also dasselbe Ergebnis. Die beiden Gleichungen haben also dasselbe Ergebnis. Wir wissen jetzt, dass A mal sinus beta gleich B mal sinus alpha ist. Wir wissen jetzt, dass A mal sinus beta gleich B mal sinus alpha ist. Wir wissen jetzt, dass A mal sinus beta gleich B mal sinus alpha ist. Wenn wir diese Gleichung auf beiden Seiten durch A teilen, erhalten wir sinus beta gleich B mal sinus alpha durch A. Wenn wir diese Gleichung auf beiden Seiten durch A teilen, erhalten wir sinus beta gleich B mal sinus alpha durch A. Wenn wir diese Gleichung auf beiden Seiten durch A teilen, erhalten wir sinus beta gleich B mal sinus alpha durch A. Wenn wir dann beide Seiten durch B dividieren, erhalten wir sinus beta durch B gleich sinus alpha durch A. Wenn wir dann beide Seiten durch B dividieren, erhalten wir sinus beta durch B gleich sinus alpha durch A. Das ist der Sinussatz. Das Verhältnis zwischen dem sinus von beta und der gegenüberliegenden Seite B Das Verhältnis zwischen dem sinus von beta und der gegenüberliegenden Seite B gleich dem Verhältnis von sinus alpha und der gegenüberliegenden Seite. In vielen Büchern steht auch, wäre das das theta und das C, dass der Sinussatz gleich sinus theta durch C ist. In vielen Büchern steht auch, wäre das das theta und das C, dass der Sinussatz gleich sinus theta durch C ist. In vielen Büchern steht auch, wäre das das theta und das C, dass der Sinussatz gleich sinus theta durch C ist. Der Beweis wäre derselbe. Wir haben B willkürlich gewählt und dasselbe mit theta und C machen können, und wir hätten die Höhe woanders zeichnen können. und wir hätten die Höhe woanders zeichnen können. und wir hätten die Höhe woanders zeichnen können. und wir hätten die Höhe woanders zeichnen können. Das Wichtigste ist, dass wir das Verhältnis haben. Und, da es ein Verhältnis ist, könnte man natürlich die Seiten vertauschen. Man könnte B durch den sinus beta gleich A durch sinus alpha schreiben. Man könnte B durch den sinus beta gleich A durch sinus alpha schreiben. Man könnte B durch den sinus beta gleich A durch sinus alpha schreiben. Das ist deswegen nützlich, weil man, wenn man eine Seite und den dazugehörigen Winkel kennt, den Anderen mit Hilfe der anderen Seite ausrechnen kann. den Anderen mit Hilfe der anderen Seite ausrechnen kann. den Anderen mit Hilfe der anderen Seite ausrechnen kann. Wenn man drei Größen kennt, kann man die Vierte ausrechnen. Wenn man drei Größen kennt, kann man die Vierte ausrechnen. Dafür braucht man den Sinussatz. Dafür braucht man den Sinussatz. Bis zum nächsten Video! Bis zum nächsten Video!