Identitäten zur Addition von Trigonometrie-Winkeln

Hallo! Ich habe schon einige Videos gemacht, in denen ich über trigonometrische Formel erzählt habe. Nun will ich die wiederholen. Warum mache ich das? Ich habe jetzt ein besseres Aufnahmeprogramm, und da dachte ich mir, ob ich vielleicht zwei Fliegen mit einer Klappe schlagen kann. Ich kann ein neues Video aufnehmen und zu gleicher Zeit meine Kenntnisse auffrischen. Es ist ein bisschen schwierig trigonometrische Formel zu merken und zu beweisen: sin(a + b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a). Das ist der erste Satz für Heute. Ich glaube, wir kennen das. Und wenn wir den Sinus herausfinden möchten... Ich schreibe ein bisschen anders. Ich schreibe sin(a + (-c)) Das ist dasselbe wie (a – c), stimmt es? Wenn wir diese Formel anwenden, dann erhalten wir sin(a)cos(-c) + sin(-c)cos(a). Und wir wissen (so machen wir noch eine Annahme), dass cos(-c) = cos(c) ist, weil der Kosinus eine gerade Funktion ist. Wir wissen auch, dass der Sinus eine ungerade Funktion ist, d.h. dass sin(-c) = - sin(c). Wir können das benutzen, um die zweite Zeile umzuschreiben: sin(a-c) = sin(a)cos(c)… weil cos(-c) derselbe wie cos(с) ist. Also, mal cos(с)…dann minus sin(c). Statt das zu schreiben, kann ich das schreiben. Minus sin(c) mal cos(a). Ich anwende das alles, um eine Reihe anderen trigonometrischen Formeln zu beweisen, ...die ich brauchen werde. Also, eine andere Gleichung lautet: cos(a + b) = cos(a)... In diesem Fall sollt ihr die Sinus- und Kosinusfunktionen nicht mischen... ...ist gleich cos(a) mal sin(b) minus... Oh, Entschuldigung! Ich habe gesagt, ihr sollt die Funktionen nicht mischen, und habe sie selber durcheinander gebracht. Also, mal cos(b) - sin(a) sin(b). Wenn ihr den Wert von cos(a – b) wissen wollt, verwendet dieselben Eigenschaften. cos(-b) = cos(b). Also das ist gleich cos(a) mal cos(b) cos(-b) = cos(b), Und hier habt ihr dann sin(-b)=- sin(b). Diese zwei Minuszeichen werden weggekürzt. Und wir haben hier plus sin(a) mal sin(b). Das ist etwas kompliziert. Wenn hier das Pluszeichen ist, dann ist hier das Minuszeichen. Und umgekehrt. Aber das ist ganz logisch. Ich will nun nicht in die Einzelheiten eingehen, denn ich habe euch noch viele Formeln zu zeigen. Also, wenn ich, sagen wir, den Wert von cos(2a) rausfinden will. cos(2a). Na, das ist das Gleiche wie cos(a + a). Dann könnten wir diese Formel anwenden. Wenn hier das zweite a b gleich ist, so erhalten wir cos(a)cos(a)-sin(a)sin(a), weil b in diesem Fall gleich a ist. Wir können das als cos²(a) umschreiben... Ich habe so cos(a) mit sich selbst multipliziert geschrieben... minus sin²(a). Ich glaube, dass das bereits eine Gleichung ist. cos(2а) = cos²(a) – sin²(a). Ich werde die Gleichungen nachziehen, die wir in diesem Video beweisen. Und wenn das mir so nicht recht wäre? Wenn ich diesen Term durch den Kosinus ausdrücken will... Die Definition des Einheitskreises kann für unsere Winkelfunktionen ergänzt werden. Das ist fast die wichtigste Gleichung sin²(a) + cos²(a) = 1. Oder man kann schreiben... Ich denke darüber nach, wie ich das am besten machen kann. Ich kann schreiben, dass sin²(a) = 1 – cos²(a). Und ich kann das nehmen und hierher einsetzen. Dann kann ich das als cos²(a) – sin²(a) umschreiben. sin²(a) haben wir hier. Also minus (ich schreibe es mit einer anderen Farbe) minus (1 – cos²(a)). Ich habe dadurch sin²(a) ersetzt. Das ist gleich cos²(a) -1 + cos²(a). Wenn man es addiert, ist es gleich... Ich schreibe weiter auf der rechten Seite. Da wir einen cos²(a) plus noch einen cos²(a) haben, ist das gleich 2cos²(a) – 1. Und das alles ist gleich cos(2а). Wenn ich eine Gleichung nach cos²(a) auflösen möchte.. Das lässt sich aus dieser Gleichung berechnen. Wenn ich 1 auf beiden Seiten addiere... Lasst mich das aufschreiben. Das ist also eine weitere Gleichung. Wenn wir 1 auf beiden Seiten addieren, erhalten wir 2cos²(a) = cos(2a) + 1. Und wenn wir beide Seiten durch 2 dividieren, erhalten wir cos²(a) ist gleich ½ (wir können das umformen) mal (1 + cos (2а)). Fertig! Nun haben wir noch eine Gleichung. Manchmal wird diese Formel auch Potenz der Winkelfunktion genannt. Wenn ich eine Gleichung nach sin²(a) auflösen möchte... Vielleich können wir zu Gleichung sin²(a) = 1 - cos²(a)zurückkehren. Oder wir können es anders machen. Wir können sin²(a) von beiden Seiten subtrahieren, und erhalten... Ich schreibe das hier, unten. cos²(a)=1 – sin²(a) Wenn wir zur Formel cos(2a) zurückkehren, dann… …ich schreibe das in Hellblau... dann kann man schreiben, dass cos(2a)... …statt cos²(a) setze ich das ein... cos(2a) = (1 – sin²(a)) – sin²(a). Wie ist der Wert von cos(2a)? Mal sehen. Wir haben minus sin²(a) minus sin²(a). Wir erhalten also 1 – 2 sin²(a). Das ist eine weitere Gleichung und das ist noch ein Weg, um cos(2a) zu schreiben. Wir entdeckten viele Möglichkeiten, um cos(2a) zu schreiben. Nun, wenn wir diese Gleichung nach 2 sin²(a) auflösen wollen, können wir es auf beiden Seiten addieren. Ich schreibe hier, um Platz zu sparen. Wenn wir 2 sin²(a) beiderseits addieren, erhalten wir dann 2 sin²(a) + cos(2а) = 1. Wenn wir dann cos(2а) beiderseits subtrahieren, erhalten wir 2 sin²(a) = 1 – cos(2а) Dann dividieren wir beide Seiten durch 2 und erhalten sin²(a)= ½ (1 – cos(2а)). Da haben wir sozusagen noch eine Entdeckung gemacht. Unsere Erfindung. Und das ist interessant. Es ist immer interessant, auf die Symmetrie zu schauen. Sie sind identisch, außer dass hier wir plus cos(2a) und hier minus cos(2a) haben. Also, wir haben viele interessante Dinge festgestellt. Schauen wir mal, ob wir etwas mit sin(2a) machen können. Ich wähle eine neue Farbe. Hm, ich habe schon fast alle Farben benutzt. Also, wenn ich sin(2a) berechnen will… der ist gleich sin(а + а). Und das ist sin(a) mal cos … oh, ich will nicht so dick schreiben... mal cos(a) plus... und das ist cos(a), das zweite a. Ihr könnt es so erklären. Plus sin…ich verwende die Gleichung sin(а + b). Plus sin vom zweiten a mal cos vom ersten a. Ich habe eben den ersten Term zweimal geschrieben, und das ist gleich 2 sin(a) mal cos(a). So ist es etwas einfacher. Also, sin(2a) ist dem gleich. Das ist ein anderes Ergebnis. Ich fühle mich schon etwas müde von diesen Experimenten mit den Sinus- und Kosinusfunktionen. Hoffentlich war das eine gute Review für euch, weil die auch für mich gut war. Ihr könnt alle diese Formeln aufschreiben. Ihr könnt sie auch auswendig lernen, wenn ihr Lust dazu habt. Tatsächlich wichtig ist aber festzustellen, dass ihr all diese Formel ableiten könnt, wenn ihr die Ausgangsformeln habt. Bis zum nächsten Mal!