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Kurs: Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung > Lerneinheit 3

Lektion 7: Boxplots (Kastengrafiken)
Mathematik
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Quantitative Daten zusammenfassen
Boxplots (Kastengrafiken)
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Ausreißer mit Hilfe der 1,5*IQR-Regel bestimmen

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Ein Ausreißer ist ein Wert, der außerhalb der üblichen Struktur einer Verteilung liegt.
Die folgende Verteilung zeigt die Resultate eines Führerscheintests mit 19 Fahranfängern. Wie viele Ausreißer kannst du sehen?
Einige Leute mögen sagen, dass es 5 Ausreißer gibt, andere würden dem widersprechen und 3 oder 4 Ausreißer erkennen. Statistiker haben viele Verfahren entwickelt, um auseinanderzuhalten, was man als Ausreißer bezeichnen sollte, und was nicht.
Eine oft genutzte Regel lautet, dass ein Wert ein Ausreißer ist, falls er mehr als 1,5⋅IQR oberhalb des oberen Quartils (Q3) oder unterhalb des unteren Quartils (Q1) liegt. Anders gesagt liegen untere Ausreißer unterhalb Q1−1,5⋅IQR und obere Ausreißer oberhalb Q3+1,5⋅IQR.
Wenden wir das doch mal auf die obige Verteilung an.

Schritt 1) Median, Quartile und Interquartilsabstand ermitteln

Hier sind die 19 Resultate aufgelistet.
5, 7, 10, 15, 19, 21, 21, 22, 22, 23, 23, 23, 23, 23, 24, 24, 24, 24, 25
Wo liegt der Median?
Median=
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

Wo liegt das untere Quartil?
Q1=
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

Wo liegt das obere Quartil?
Q3=
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

Wie groß ist der Interquartilsabstand?
IQR=
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

Schritt 2) Berechne die Stelle 1,5⋅IQR unterhalb des unteren Quartils und überprüfe auf untere Ausreißer

Aufgabe a
Berechne Q1−1,5⋅IQR
Q1−1,5⋅IQR=
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

Aufgabe b
Wie viele Werte können wir als untere Ausreißer bezeichnen?
Wähle eine Lösung.

Schritt 3) Berechne die Stelle 1,5⋅IQR oberhalb des oberen Quartils und überprüfe auf obere Ausreißer

Aufgabe a
Berechne Q3+1,5⋅IQR
Q3+1,5⋅IQR=
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

Aufgabe b
Wie viele Werte können wir als obere Ausreißer bezeichnen?
Wähle eine Lösung.

Exkurs: Ausreißer in einem Boxplot kenntlich machen

In Boxplots werden Ausreißer oft dadurch gekennzeichnet, dass sie als Punkte getrennt von der restlichen Grafik dargestellt werden.
Hier ist ein Beispiel eines Boxplots der obigen Verteilung, der Ausreißer nicht kennzeichnet.
Hier ist ein Beispiel eines Boxplots der selben Verteilung, der Ausreißer kennzeichnet.
Beachte, wie die Ausreißer als Punkte dargestellt werden und, dass die Antenne sich geändert hat. Die Antenne erstreckt sich bis zum am weitest entfernten Wert im Datensatz, der noch kein Ausreißer ist, also hier 15.
Zum Vergleich ist hier noch einmal die urspüngliche Darstellung.

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