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Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Lerneinheit 3: Lektion 7

Boxplots (Kastengrafiken)
Mathematik
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Quantitative Daten zusammenfassen
Boxplots (Kastengrafiken)
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Ausreißer mit Hilfe der 1,5*IQR-Regel bestimmen

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Ein Ausreißer ist ein Wert, der außerhalb der üblichen Struktur einer Verteilung liegt.
Die folgende Verteilung zeigt die Resultate eines Führerscheintests mit 19 Fahranfängern. Wie viele Ausreißer kannst du sehen?
Einige Leute mögen sagen, dass es 5 Ausreißer gibt, andere würden dem widersprechen und 3 oder 4 Ausreißer erkennen. Statistiker haben viele Verfahren entwickelt, um auseinanderzuhalten, was man als Ausreißer bezeichnen sollte, und was nicht.
Eine oft genutzte Regel lautet, dass ein Wert ein Ausreißer ist, falls er mehr als 1, comma, 5, dot, start text, I, Q, R, end text oberhalb des oberen Quartils left parenthesis, start text, Q, end text, start subscript, 3, end subscript, right parenthesis oder unterhalb des unteren Quartils left parenthesis, start text, Q, end text, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis liegt. Anders gesagt liegen untere Ausreißer unterhalb start text, Q, end text, start subscript, 1, end subscript, minus, 1, comma, 5, dot, start text, I, Q, R, end text und obere Ausreißer oberhalb start text, Q, end text, start subscript, 3, end subscript, plus, 1, comma, 5, dot, start text, I, Q, R, end text.
Wenden wir das doch mal auf die obige Verteilung an.

Schritt 1) Median, Quartile und Interquartilsabstand ermitteln

Hier sind die 19 Resultate aufgelistet.
5, 7, 10, 15, 19, 21, 21, 22, 22, 23, 23, 23, 23, 23, 24, 24, 24, 24, 25
Wo liegt der Median?
start text, M, e, d, i, a, n, end text, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Wo liegt das untere Quartil?
start text, Q, end text, start subscript, 1, end subscript, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Wo liegt das obere Quartil?
start text, Q, end text, start subscript, 3, end subscript, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Wie groß ist der Interquartilsabstand?
start text, I, Q, R, end text, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Schritt 2) Berechne die Stelle 1, comma, 5, dot, start text, I, Q, R, end text unterhalb des unteren Quartils und überprüfe auf untere Ausreißer

Aufgabe a
Berechne start text, Q, end text, start subscript, 1, end subscript, minus, 1, comma, 5, dot, start text, I, Q, R, end text
start text, Q, end text, start subscript, 1, end subscript, minus, 1, comma, 5, dot, start text, I, Q, R, end text, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Aufgabe b
Wie viele Werte können wir als untere Ausreißer bezeichnen?
Wähle eine Lösung.
Wähle eine Lösung.

Schritt 3) Berechne die Stelle 1, comma, 5, dot, start text, I, Q, R, end text oberhalb des oberen Quartils und überprüfe auf obere Ausreißer

Aufgabe a
Berechne start text, Q, end text, start subscript, 3, end subscript, plus, 1, comma, 5, dot, start text, I, Q, R, end text
start text, Q, end text, start subscript, 3, end subscript, plus, 1, comma, 5, dot, start text, I, Q, R, end text, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Aufgabe b
Wie viele Werte können wir als obere Ausreißer bezeichnen?
Wähle eine Lösung.
Wähle eine Lösung.

Exkurs: Ausreißer in einem Boxplot kenntlich machen

In Boxplots werden Ausreißer oft dadurch gekennzeichnet, dass sie als Punkte getrennt von der restlichen Grafik dargestellt werden.
Hier ist ein Beispiel eines Boxplots der obigen Verteilung, der Ausreißer nicht kennzeichnet.
Hier ist ein Beispiel eines Boxplots der selben Verteilung, der Ausreißer kennzeichnet.
Beachte, wie die Ausreißer als Punkte dargestellt werden und, dass die Antenne sich geändert hat. Die Antenne erstreckt sich bis zum am weitest entfernten Wert im Datensatz, der noch kein Ausreißer ist, also hier 15.
Zum Vergleich ist hier noch einmal die urspüngliche Darstellung.

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