Zufallsvariablen

heute gibt's mal wissen jetzt was fortgeschritten dass hier nämlich wollen wir uns anschauen was seine zufalls variable ist wie die mit dem ereignis raum zusammenhängt und wie die mit der dichte zusammenhängt also wie das alles zusammenpasst der hintergrund ist dass ich in meinem studium das auch mal hatte und ich habe überhaupt nicht verstehen wie das alles zusammen passt und was jetzt auch immer omega sein sollen warum das jetzt zahlen sind und warum diese zahlen wahrscheinlichkeiten bekommen und deswegen dachte ich mir um euch vor dem gleichen leid zu bewahren oder falls sie schon drin steckt um euch wieder raus zu helfen mache ich mir dieses video damit ihr ein bisschen mehr versteht wie der zusammenhang zwischen diesen variablen ist wenn ihr ein üblicher zuschauer für diesen kanal seite wahrscheinlich nicht auf der uni also wundert euch nicht ihr müsst es nicht verstehen es ist sehr interessant mal zuzuhören wie das funktioniert mathematisch gesehen aber macht euch keine vorwürfe wenn jetzt nicht direkt auf anhieb sofort alles versteht ich mache das er für die leute die in der gleichen situation waren wie ich an der uni und es einfach nicht verstanden haben aber jetzt mal genug von ihm reden wir haben jetzt hier drei sache schon mal aufgezeichnet nämlich einmal den ereignis raum groß omega dann haben wir hier noch ein bild raum in dem fall die reellen zahlen das sind recht häufig die realen zahlen es können auch die realen zahlen quadrat sein oder ganz andere abstraktere mengen aber wir nehmen für diesen einfachen fall die reellen zahlen an und dann wollen wir hier am ende noch auf die dichte hinaus und damit einher gehen natürlich auch die verteilungs funktionen das ist dann auch ganz easy der schritt gut fangen wir mal ganz links an ich würde sagen wir machen das ganze mit einem beispiel und zwar nehmen wir als beispiel mal den zweifachen münzhof was ist ereignis raum vom zweifachen münzwurf naja in diesem ereignis raum das ist im grunde irgend ein abstrakter raum das müssen keine zahlen seien das können in unserem fall halt auch kombinationen von kopf oder zahl sein das können aber zum beispiel auch irgendwelche textdateien sein oder bilder oder sonst das sind irgendwelche abstrakten sachen drin abgehen und unserem fall wenn erst mal an wir haben münzwurf also diskreten raum hätten wir jetzt zum beispiel klein omega 1 und das wäre kopf kopf und dann haben wir hier noch omega 22 das wäre kopfzahl dann haben wir noch die möglichkeit omega-3 gleich keinem in klammer sondern normale klammer zahl kopf keine mengen kann man sonst wäre das hier die gleiche sache und das wollen wir nicht und dann haben wir zuletzt noch omega vier da kommt vielleicht noch hierhin omega vier gleichzahl zahl und damit haben wir auch schon unseren ereignis raum komplett angegeben und was passiert jetzt mit diesen ereignissen diese ereignisse transformieren wir jetzt irgendwie wir haben jetzt eine zufalls variable und die nehmen wir es mal nix und dieser zufalls variable ist wirklich nichts anderes als eine funktion es ist eine funktion die von omega nach er abbildet also grafisch gesehen nimmt die also irgendeine zahl hier raus bei irgendein ereignis hier raus muss nicht in der zahl seien also irgendwann ist von omega und das gibt uns dann irgendwas anderes irgendeine funktion zum beispiel könnte die funktion sein zählen wie oft darin kopf steht oder celle was zähle das minimum von kopf- oder von zahlen oder irgendeiner funktion die ihr irgendetwas passierte drin wird irgendwie dieses omega weiterverarbeitet sozusagen in unserem fall wird es in eine reale zahl weiter verarbeitet und dann geht wie gehen wir also in diesem bild raum hinein nehmen wir mal an dass bei uns bedeutet zähle die anzahl an zwar zähle die anzahl an köpfen damit sind sämtliche anzahl an zahlen ist ein bisschen blödes wort also zelle zähle die anzahl die anzahl an köpfen das wäre unserer zufalls variable und warum heißt das ding jetzt zufalls variable naja weil das ding was sie hinten steht dieses dieser anzahl an köpfen die hängt vom zufall abhängt nämlich von einem zufälligen ereignissen von diesem omega und das omega das ist zufällig also das noch mal klar zu machen der zufall der spielt sich in diesem raum hier ab aus diesem raum machen wir eine zufällige ziehung weil wir ein experiment durch vielen nicht aus dem raum wo wir gleich zu kommen sondern wir machen diesen diese zufalls ziehung in diesem raum und was kann jetzt bei unserer von omega rauskommen werde jetzt gesagt gute zahlen damit können wir erst mal ganz schön viel wegklatschen also dann hätten wir alle möglichen sachen drin machen was mit spezifischer effektiv können wir entweder die einst die null oder die zwei herauskommen bei einem zweifach und münster auf entweder wir haben eine ein kopf gar keinen kopf oder zwei köpfe und jetzt wissen wir was iks von omega ist nämlich eine abbildung aber wie kommen wir jetzt davon dass darauf sagen zu können zum beispiel jemand andere farbe dafür wie kommen wir darauf sagen zu können p von iks ist gleich 1 was ist die wahrscheinlichkeit davon dass ich gleich eins ist naja dafür muss man sich angucken was bedeutet das eigentlich die sachen hier die sind ja eigentlich gar nicht zufällig das heißt wir können hier schon mal nichts zufälliges sehen und damit haben können wir auch keine wahrscheinlich herausrechnen der zufall spielt sich nur in diesem raum habe und deswegen müssen wir uns anschauen p von iks gleich eins ist eigentlich die wahrscheinlichkeit davon die wahrscheinlichkeit von den omega aus omega für die gilt dass fixe von omega jetzt komme ich langsam mit den farben hier ein bisschen ins schwitzen xphone omega gleich eins ist gleich eins ist und dann noch mengen klammert zu und dann noch normale klammer zu also p von x1 ist eigentlich die wahrscheinlichkeit von denjenigen omegas für die x1 ist und was ist jetzt die wahrscheinlichkeit von den tigers naja wie können wir angehen ganz schön wir haben hier in dem fall in münzdorf das heißt wir haben das experiment oder anders gesagt alle diese einzelnen omegas diese kleinen omega das haben die gleiche wahrscheinlichkeit dass kann man sich so vorstellen wie so ein balken der hier darüber liegt der in jedem fall gleich hoch ist in unserem fall in jedem fall 0,25 ist also wir ziehen mit der wahrscheinlichkeit 0,25 jedes dieser teile und jetzt kann man mal schauen gut wie hoch müsste unsere wahrscheinlichkeit fähig 61 ländern sein naja das ist die wahrscheinlichkeit von entweder welche welche dieser beiden zahlen welche welche kleinen omega bilden denn auf 1 ab bei welchem der kleinen omega es gilt dass unsere abbildung nämlich die anzahl an köpfen gleich eins ist na ja das gilt ganz einfach für gucken wir nach dass er zwei köpfe das hat zwei zahlen für omega zweigelt es und es gilt für omega 3 und damit können wir jetzt auch schreiben das ist gleich eins ist p von omega 2 oder omega 3 von dieser menge und in unserem fall haben wir den glücklichen zufall dass wir das jetzt einfach ausradieren können wir können sagen gut dass ist 0,25 muss ich dann wird ein gelb zeichen weil diese stelle ich auch im game sind 0,25 plus 0,25 und dann kommen wir raus bei 0,5 also haben können wir jetzt sagen für die einzelnen sachen die hier im bildraum drinnen stehen obwohl in diesem raum gar keine wahrscheinlichkeit ab geht können wir die wahrscheinlichkeit sagen indem wir gucken wir nehmen uns hier so eine zahl heraus nehmen und sich diese zahl heraus und dann schauen wir in dem ereignis raum welche ereignisse bilden auf diese zahl ab und damit haben wir unsere wahrscheinlichkeit jetzt schauen wir uns an was der dichter auf sich hat die dichte ist dann eigentlich ganz easy zu verstehen die dichte ist nämlich einfach nur dass wir dieses p von iks gleich irgendetwas ausrechnen für alle möglichen zahlen die wir haben also würden wir jetzt sagen p von iks gleich null cvx gleich 1 und p von iks gleich zwei und ihr werdet mir glauben oder ihr habt es bestimmt auch schon gesehen mal als beispiel wenn wir uns erstmal hier ein bisschen mit achsen bezeichnungen aufschreiben 05 00 25 dass die wahrscheinlichkeit von iks gleich 0 025 ist warum die phonix gleich null ist gleich p von allen kleinen omega dass die auf null abbilden also alle kleinen omega deren anzahl köpfen 0 ist sprich nur was ist das hier omega viert als kein einziger kopf drin und die wahrscheinlichkeit von omega 4 ist noch immer 25 p vorn ist gleich eins haben wir uns schon ausgerechnet ist gleich die wahrscheinlichkeit derjenigen omegas die auf eins abbilden mittel six das heißt wir sind hier bei 0,5 haben wir unten ausgerechnet und pv nix gleich zwei ist die wahrscheinlichkeit derjenigen kleinen hängers die mittel 6 auf 2 abbilden also deren anzahl an köpfen 2 ist und das ist genau eins nämlich omega 1,1 ist kopf kopf das heißt hier sind wir wieder bei 0,25 gut damit hätten wir jetzt diese ganzen konzept de verknüpft und ich hoffe es hat euch hier schon ein bisschen was geholfen wir können jetzt noch eine sache ganz kurz angucken nämlich was ist denn die verteilungs funktion das ist auch ganz easy zu sehen eigentlich die verteilungs funktion ist nichts anderes als eine art kumulierte summe also in der summe die wir immer bis zu einem bestimmten punkt zählen f von xfx die müssen wir bis 1 hoch machen hier werden 05 hier werden ua 2 5 und 4 7 5 und was macht bvf von gross ist von klein xfx ist einfach gleich die wahrscheinlichkeit dass ich nicht gleich einer zahl ist also nicht dass ich gleich eine zahl ist sondern die wahrscheinlichkeit dass ich's kleiner gleich irgendeiner zahl ist und das können wir ganz einfach ausrechnen wir haben hier unten wieder die realen zahlen stehen unseren unseren bildraum die realen zahlen die oben übrigens auch stehen ganz vergessen aufzuschreiben und jetzt schauen wir mal wenn wir hier bei -1 in machen wie man von -1 über null bis eins und dann zwei und dann vielleicht noch jeden 3 oder so naja die wahrscheinlichkeit dass ich's kleiner gleiche -1 ist die ist 0 wir können wie es gibt kein omega das auf eine zahl kleiner gleich - eins abbildet also sind wir uns nicht mal bei null dann geht das ganze so weiter bis wir zu null kommen und bei der 0 müssen wir dann die wahrscheinlichkeit ausreichend p von dix kleiner gleich null und dann gibt es wieder ein omega was diese bedingungen hier erfüllt nämlich dass omega zahl zahl ist omega zahl bildet auf die zahl null ab und damit haben wir eine zahl spricht wir sind hier plötzlich nicht mehr bei null also die wahrscheinlichkeit nicht mehr 0 sondern die wahrscheinlichkeit ist jetzt 0,25 hier okay wir haben einfach quasi an der gleichen stelle wie hier jetzt diesen sprung drin der übrigens um die gleiche höhe ist wie hier oben mich 0,25 wir haben plötzlich die wahrscheinlichkeit 0,25 4 das ixs kleiner gleich diesem zahlen hier ist kleiner gleich null ist und auch kleine recht 05 ist 2007 ist 0,8 und so weiter kommt kein neues omega das zu bleiben konstant bis wir zu eins kommen und bei der 1 haben wir dann können wieder ausrechnen pv nix kleiner gleich eins ist die wahrscheinlichkeit von iks entweder 0 oder 1 und dann können wir hier oben entweder gucken oder wir können unseren omega raum gucken wir können immer mehr raum gucken welche omega erfüllen dass die anzahl an köpfen entweder null oder eins ist und ja das sind omega 52 und omega 3 und die haben zusammen die wahrscheinlichkeit 0,75 dass wir können die hoch springen oder alternativ hätten wir auch hier gucken können die wahrscheinlichkeit dass ich's gleich null oder ikz gleich eins ist das sind einfach nur 25 bis 0 5 das in 0,75 da sparen uns ein bisschen rechnen und auch das blatt wieder konstant bis jetzt so 2 kommen und beide 2 haben wir dann die wahrscheinlichkeit dass ich's kleiner gleich zwei ist also die wahrscheinlichkeit dass x0 1 oder 2 ist und das ist ganz offensichtlich einst das ist immer der fall das kann entweder wir hier gucken indem wir sagen welche dieser omega bildet auf ein nichts ab was kleiner leicht 2 ist und das gilt nur für alle - oder wir schauen hier und sagen wir summieren alle balken auf die kleider gleich zwei sind und dann kommen wir auch auf 1 und bei 1 bleiben wir auch bei der drei bleiben wir bei 110 weg gehen und damit hätten wir hier die verteilungs funktion auch noch direkt das heißt umsetzen was zusammen zu fassen wir haben hier einmal die ereignis menge dann haben wir eine zufalls variable die nur eine reine normale mathematische funktion ist die sich ein element herausnimmt und dem irgendeine zahl zugeordnet oder irgendein anderes konstrukt zuordnet meistens sind es zahlen kann ich euch beruhigen dann haben wir noch unseren bildraum und in diesem bild raum stecken sozusagen die teil in formation von omega die wir mittels xd heraus extrahieren und dann können wir uns noch angucken okay wie hoch sind die wahrscheinlich dieser einzelnen für uns interessanten teil informationen und wir können das ganze auch darstellen indem es formulieren wenn uns interessiert pv nix kleiner gleich fix am start pv nix gleich morgen hinschreiben kleine app von links ist einfach p von xfx im diskreten fall möchte ich dazu sagen im diskreten fall und dann kriegen wir unten die vertreibungs funktionen aus entweder das mit dem kleinen gleich angucken im stetigen fall oder im verallgemeinerten fall haben wir natürlich ein paar mehr komplikationen da haben wir hier keine einzelnen punkte mehr sondern wir müssen hier irgendwie bereiche sprechen und alles und die hinten hätten wir auch keine einzelnen sterben mehr sondern wir hatten so stetige funktionen die hier entlang verlaufen aber ich glaube wenn ihr das verstanden habt dieses wie wie es funktioniert wie iks die zufalls variable iks wie das funktioniert dann könnte glaube ich auch verstehen wie das mit dem stetigen funktioniert dann kann ich euch damit wieder alleine lassen ich freue mich dieses video gemacht zu haben wollte ich schon machen seitdem ich bei der kleinigkeiten mit dabei sind dabei bin und sage euch damit schau und bis zur nächsten video