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Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Kurs: Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung > Lerneinheit 9

Lektion 3: Binomiale Zufallsvariablen
Mathematik
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Zufallsvariablen
Binomiale Zufallsvariablen
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Binomiale Wahrscheinlichkeit (Grundlagen)

Google Classroom

Aufgabe 1: Zusammenhänge verstehen mittels Freiwürfen

Stephanie trifft bei 90, percent der Freiwürfe, die sie wirft. Sie wird 3 Freiwürfe werfen. Wir nehmen an, dass die Ausgänge der Freiwürfe voneinander unabhängig sind.
Sie ist an der Wahrscheinlichkeit interessiert, dass sie bei genau 2 der 3 Freiwürfe trifft.
Um über diese Aufgabe nachzudenken, zerlegen wir sie in kleinere Teile.
Aufgabe A
Wenn sie bei 2 der Freiwürfe trifft, bei wie vielen Freiwürfen muss sie dann daneben werfen?
Wähle eine Lösung.

Aufgabe b
Ermittele die Wahrscheinlichkeit, dass sie bei ihren ersten 2 Freiwürfe trifft und ihren dritten verfehlt.
Wenn nötig, runde deine Antwort auf das nächste Hundertstel.
P, left parenthesis, start text, T, r, e, f, f, e, r, comma, space, T, r, e, f, f, e, r, comma, space, d, a, n, e, b, e, n, end text, right parenthesis, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Aufgabe c
"Treffer, Treffer, daneben" ist nicht der einzige Weg, bei dem Stephanie bei 2 der 3 Freiwürfe trifft.
Ermittele die Wahrscheinlichkeit, dass sie bei ihrem ersten Freiwurf trifft, ihren zweiten verfehlt, und den dritten wieder trifft.
Wenn nötig, runde deine Antwort auf das nächste Hundertstel.
P, left parenthesis, start text, T, r, e, f, f, e, r, comma, space, d, a, n, e, b, e, n, comma, space, T, r, e, f, f, e, r, end text, right parenthesis, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Aufgabe d
Stephanie könnte auch bei 2 Freiwürfen treffen, indem ihre Ergebnisse "daneben, Treffer, Treffer" sind.
Ermittele die Wahrscheinlichkeit, dass sie ihren ersten Freiwurf verfehlt, aber ihre nächsten 2 Freiwürfe wieder trifft.
Wenn nötig, runde deine Antwort auf das nächste Hundertstel.
P, left parenthesis, start text, d, a, n, e, b, e, n, comma, space, T, r, e, f, f, e, r, comma, space, T, r, e, f, f, e, r, end text, right parenthesis, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Aufgabe E
Verwende die Kombinationsformel, um sicherzustellen, dass diese 3 Wege alle möglichen Wege von 2 Treffern bei 3 Versuchen darstellen.
start subscript, n, end subscript, start text, C, end text, start subscript, k, end subscript, equals, start fraction, n, !, divided by, left parenthesis, n, minus, k, right parenthesis, !, dot, k, !, end fraction
start subscript, 3, end subscript, start text, C, end text, start subscript, 2, end subscript, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
Wege

Aufgabe f
Setze jetzt alles zusammen, um die Wahrscheinlichkeit von genau 2 Treffern bei 3 Freiwürfen zu bestimmen.
Wenn nötig, runde deine Antwort auf das nächste Hundertstel.
P, left parenthesis, start text, t, r, i, f, f, t, space, 2, space, d, e, r, space, 3, space, F, r, e, i, w, u, with, \", on top, r, f, e, end text, right parenthesis, equals, P, left parenthesis, start text, T, space, end text, start text, T, space, end text, start text, F, end text, right parenthesis, plus, P, left parenthesis, start text, T, space, end text, start text, F, space, end text, start text, T, end text, right parenthesis, plus, P, left parenthesis, start text, F, space, end text, start text, T, space, end text, start text, T, end text, right parenthesis
P, left parenthesis, start text, t, r, i, f, f, t, space, 2, space, d, e, r, space, 3, space, F, r, e, i, w, u, with, \", on top, r, f, e, end text, right parenthesis, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Verallgemeinerung von Aufgabe 1: Erstellen einer Formel für zukünftige Probleme

Wie haben in Aufgabe 1 gemerkt, dass unterschiedliche Anordnungen des selben Ergebnisses die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.
Wir können für diese Art von Aufgabe, die auch binomiale Aufgabe heißt, eine Formel angeben. Eine solche Aufgabe hat die folgenden Eigenschaften:
  • eine feste Anzahl an Versuchen left parenthesis, start color #11accd, n, end color #11accd, right parenthesis
  • jeder Versuch ist entweder ein "Erfolg" oder ein "Misserfolg"
  • Die Wahrscheinlichkeit eines Erfolges left parenthesis, start color #1fab54, p, end color #1fab54, right parenthesis ist bei jedem Versuch gleich
  • die Ergebnisse der einzelnen Versuche sind unabhängig voneinander
Hier ist eine Zusammenfassung unserer allgemeinen Strategie für die Binomialwahrscheinlichkeit:
P(# an Erfolgeneine genaue)=(Anordnungen# an)⋅(eines ErfolgesWahrscheinlichkeit)(Erfolgen# an)⋅(eines MisserfolgsWahrscheinlichkeit)(Misserfolgen# an)
Nutzen wir Aufgabe 1 als Beispiel:
  • n, equals, 3 Freiwürfe
  • jeder Wurf ist ein "Treffer" (Erfolg) oder ein "Fehlwurf" (MIsserfolg)
  • die Wahrscheinlichkeit, dass sie bei einem Freiwurf trifft, ist start color #1fab54, p, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 0, comma, 90, end color #1fab54
  • wir nehmen an, dass die Freiwürfe unabhängig sind
P(trifft 2 der 3 Freiwu¨rfe)= 3C2⋅(0,90)2⋅(0,10)1=3⋅0,81⋅0,10=3⋅0,081=0,243\begin{aligned}P(\text{trifft 2 der 3 Freiwürfe}) &= \, _3\text{C}_2 \cdot(\greenD{0{,}90})^{2} \cdot (\maroonD{0{,}10})^1 \\ \\ &=3\cdot0{,}81\cdot0{,}10 \\ \\ &=3\cdot0{,}081 \\ \\ &=0{,}243\end{aligned}

Im Allgemeinen ...

P, left parenthesis, start text, g, e, n, a, u, space, end text, k, start text, space, E, r, f, o, l, g, e, end text, right parenthesis, equals, start subscript, n, end subscript, start text, C, end text, start subscript, k, end subscript, dot, p, start superscript, k, end superscript, dot, left parenthesis, 1, minus, p, right parenthesis, start superscript, n, minus, k, end superscript
Versuche, mittels dieser Formel eine weitere Aufgabe zu lösen.

Aufgabe 2

Stephanies kleiner Bruder Luke hat nur eine 20, percent Chance, bei einem Freiwurf zu treffen. Er wird 4 Freiwürfe werfen.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bei genau 2 der 4 Freiwürfe trifft?
P, left parenthesis, start text, g, e, n, a, u, space, 2, space, T, r, e, f, f, e, r, end text, right parenthesis, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Challenge Aufgabe

Stephanie verspricht, Luke ein Eis zu kaufen, wenn er bei 3 oder mehr seiner 4 Freiwürfe trifft.
Wir hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bei 4 Freiwürfen 3 mal oder öfter trifft?
P, left parenthesis, start text, 3, space, o, d, e, r, space, m, e, h, r, space, T, r, e, f, f, e, r, end text, right parenthesis, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

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