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Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Kurs: Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung > Lerneinheit 4

Lektion 2: Z-Scores
Mathematik
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Modellierung von Datenverteilungen
Z-Scores
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Z-Scores - Bewertung

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Was sind z-Werte?

Ein z-Wert gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Punkt oberhalb oder unterhalb des arithmetischen Mittels liegt.
Mit dieser Formel kannst du einen z-Wert ermitteln:
z, equals, start fraction, start text, P, u, n, k, t, end text, minus, start text, a, r, i, t, h, m, e, t, i, s, c, h, e, s, space, M, i, t, t, e, l, end text, divided by, start text, S, t, a, n, d, a, r, d, a, b, w, e, i, c, h, u, n, g, end text, end fraction
Hier ist die gleiche Formel, nur durch Symbole ausgedrückt:
z, equals, start fraction, x, minus, mu, divided by, sigma, end fraction
Hier sind einige wichtige Fakten über z-Werte:
  • Ein positiver z-Wert bedeutet, dass der Punkt über dem Durchschnitt liegt.
  • Ein negativer z-Wert bedeutet, dass ein Punkt unter dem Durchschnitt liegt.
  • Ein z-Wert nah bei 0 bedeutet, dass der Punkt nah am arithmetischen Mittel liegt.
  • Ein Punkt kann als unüblich bezeichnet werden, wenn sein z-Wert größer als 3 oder kleiner als minus, 3 ist.
Möchtest du mehr über z-Werte lernen? Sieh dir dieses Video an.

Beispiel 1

Die Punktzahlen einer Zwischenprüfung in Geschichte an der Max-Planck-Schule haben ein arithmetisches Mittel von mu, equals, 85 und eine Standardabweichung von sigma, equals, 2.
Michael hat bei der Prüfung 86 Punkte erreicht.
Bestimme den z-Wert von Michaels Prüfungspunktzahl.
z=seine Punktzahl−arithmetisches Mittel der PunktzahlenStandardabweichungz=86−852z=12=0,5\begin{aligned}z&=\dfrac{\text{seine Punktzahl}-\text{arithmetisches Mittel der Punktzahlen}}{\text{Standardabweichung}}\\ \\ z&=\dfrac{86-85}{2}\\ \\ z&=\dfrac{1}{2}=0{,}5\end{aligned}
Michaels z-Wert lautet 0, comma, 5. Seine Punktzahl lag eine halbe Standardabweichung oberhalb des arithmetischen Mittels.

Beispiel 2

Die Punktzahlen einer Zwischenprüfung in Geometrie an der Max-Planck-Schule haben ein arithmetisches Mittel von mu, equals, 82 und eine Standardabweichung von sigma, equals, 4.
Michael hat bei der Prüfung 74 Punkte erreicht.
Bestimme den z-Wert von Michaels Prüfungspunktzahl.
z=seine Punktzahl−arithmetisches Mittel der PunktzahlenStandardabweichungz=74−824z=−84=−2\begin{aligned}z&=\dfrac{\text{seine Punktzahl}-\text{arithmetisches Mittel der Punktzahlen}}{\text{Standardabweichung}}\\ \\ z&=\dfrac{74-82}{4}\\ \\ z&=\dfrac{-8}{4}=-2\end{aligned}
Michaels z-Wert lautet minus, 2. Siene Punktzahl liegt zwei Standardabweichungen unter dem arithmetischen Mittel.

Übungsaufgaben

Aufgabe 4
  • Aktuell
Die Punktzahlen einer Zwischenprüfung in Geometrie am Droste-Hülshoff-Gymnasium haben ein arithmetisches Mittel von mu, equals, 74, comma, 0 und eine Standardabweichung von sigma, equals, 4.
Nadine hat 70 Punkte erreicht.
Bestimme den z-Wert von Nadines Prüfungsergebnis. Runde auf zwei Dezimalstellen.
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

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