Aufgaben zur Normalverteilung: Empirische Regel

wir schauen uns jetzt mal noch eine aufgabe an über normalverteilung und die stammt von ca 12 punkt org die haben ein frei verfügbares matte lehrbuch leider auf englisch rausgebracht und da stand diese aufgabe und die aufgabe lautet angenommen das durchschnittliche gewicht einjähriger mädchen in den usa ist normal verteilt mit einem magnetischen mittel von etwa 9,5 kilogramm und einer standardabweichung von ungefähr 1,1 kilogramm bestimme und das ist jetzt der trick ohne einen taschenrechner zu nutzen ohne taschenrechner zu benutzen den anteil an einjährigen mädchen in den usa auf die die folgenden aussagen zu treffen die stehen dann hier unten zeichne eine skizze und schreibt ihre pro aufgabe die entsprechenden flächen ok also wir haben jetzt die normalverteilung gegeben und soll jetzt irgendwie prozentzahlen ausrechnen und dass wir da schlechter verwenden das heißt wir müssen einen einer regel anwenden und das ist die empirische regel die frage ich mal direkt hier hin die empirische regel und die es euch vielleicht auch bekannt als mein moment als 68 95 99 7 regel und sobald ihr euch diese an dieser prozent sei die erinnert dann wisst ihr eigentlich auch schon warum die regel geht und die besagt dass wenn wir normalverteilung haben als wir haben irgendeine irgendwer hat der ist normal verteilt in dem fall wenn es ist ihr gewicht da oder vielleicht auch größen von menschen oder sonst was alles dann zeichnen wir erstmal die normalverteilung skore das ist ja diese glockenkurve die ihr bestimmt schon mal gesehen habt soll halbwegs metrisch aussehen jetzt hier wenn wir jetzt hier erstmal den des arithmetischen mittel nehmen also die den mittelwert durchschnitt dieser verteilung denen wir immer mühe wenn wir jetzt eine standardabweichung nach rechts gehen das heißt wir werden dann etwa hier vielleicht also bei musik war weil sigma ist dieses zeichen dass wir immer verstand abweichen nutzen und eine standardabweichung nach links gehen also hier in etwa einer nach links dann wenn beim mühe - sigma dann ist die fläche die jetzt hier inzwischen liegt also dieser ganze bereich hier das heißt der wäre dann ungefähr 68 prozent 68 prozent heißt das dass heißt das dass die wahrscheinlichkeit dass jemand zwischen - sigma und mips siekmann liegt also in diesem bereich liegt hier das diese wahrscheinlichkeit 68 prozent ist oder anders gesagt dass die wahrscheinlichkeit dass jemand mehr als - sieht man aber auch weniger als man gleichzeitig liegt es 68 prozent und wenn wir jetzt noch eine starke abweichung weitergehen das heißt wenn wir hier noch eine show unterbrechung weitergehen und links auch noch eine schandtat weitergehen dann haben wir natürlich eine höhere wahrscheinlichkeit dass jemand in diesem bereich reinfeldt das ist nicht ganz symmetrisch gewonnen das muss ich ein bisschen asymmetrischer zeichen damit man das vielleicht gut versteht dann haben wir natürlich eine höhere wahrscheinlichkeit dass jemand in diesem bereich der jetzt größer geworden ist fällt und diese wahrscheinlichkeit ist dann mache ich vielleicht mal in grün wahrscheinlichkeit von diesem bereich hier die natürlich auch diese anderem mit beinhaltet ist dann 95 prozent und 11 gehen wir noch weiter dann haben wir eine dritte stark nach oben gehen und eine dritte standort abweichung nach unten gehen haben wir einen noch größeren bereich und die wahrscheinlichkeit dass jemand in diesen ganz großen bereich verhält mache jetzt war ich meine blaue in diesem bereich hier ein feld die ist dann eben 99,7 99,7 prozent also wirklich der allergrößte teil der fällt in diesem bereich rein es gibt wenige die da noch drüber oder drunter liegen okay wie können wir jetzt diese empirische regeln hier in unserem unserer aufgabe anwenden wir zeichnen uns vielleicht mal einen was wir eine aufgabe haben wir haben wieder nur normalverteilung besteht hier oben wir nehmen an dass sie normal verteilt ist und dass ich mich gerade welche farbe benutzen nehmen von heute in blau mach ich weiß ein bisschen größer das heißt wir haben hier eine achse und wir haben eine normalverteilung darauf eine normalverteilung der werte sieht vielleicht so aus soll halbwegs symmetrisch aussehen derzeit ebenfalls nicht ganz symmetrisch ist und was haben wir gegeben wir wissen dass das arithmetische mittel also unser mühe das ist bei 95 kilogramm das heißt wir diese mitte diese mitte ist bei 9,5 kilogramm 95 ich schenken das kilogramm das vista oder schreibst du dran kilogramm die achse und wir wissen jetzt die standardabweichung sind 1,1 kilogramm und wenn wir jetzt eine abweichung nach rechts gehen dann wenn wir vielleicht hier also hätten wir vielleicht diese höhe hier wenn man dass man so ein zeichnet dann wären wir bei 95 plus 1,1 wir hatten mit plus sigma und mühe ist jetzt 9,5 und sigma ist 1,1 das heißt wir haben 95 plus 1,1 also 10,6 wenn wir jetzt eine nach links gehen während wir bei und ich versuche es mal halbwegs symmetrische weiterhin zu halten während wir bei 95 minus 1,1 also bei 8,4 und dann gehen wir noch mal zweimal schritte nach vorne mit 2 scheint abweichung nach vorne gehen dann werden wir eben bei 10,6 plus 1,1 das sind 11,7 und wenn wir noch einen weitergehen während wir bei 12,8 und auf der anderen seite werden wir einen nach links gehen bei 7,3 weil 804 minus 1,1 und noch ein zweiter werden wir dann bei 6,2 und damit haben jetzt alle werte die wir schon mal kennen hier eingezeichnet wenn wir uns jetzt mal der aufgabenstellung zu die erste aufgabe ist dass wir berechnen sollen wie hoch die wahrscheinlichkeit dass ein mädchen weniger als 84 kilogramm wiegt und überlegen wir mal 84 kilogramm ist er hier diese grenze und in unserer regel ist die nächste fläche daneben liegt ist die hatten wir in lila gezeichnet war diese fläche dass sie mehr als 8,4 liegt bis zu weniger als 10,6 es war diese fläche die kennen wir wir wissen dass hier jetzt 68 prozent und wie kommen wir jetzt darauf eigentlich wollen wir gar nicht diese fläche kennen was wir wissen wollen ist wie groß ist diese fläche hier bis 8,4 kleiner als 8,4 kilogramm bis 8,4 die fläche man wir haben und wie können wir das ausrechnen na ja wir wissen hier liegen 68 prozent das heißt rechts und links zusammen rechts und links zusammen von dieser fläche hier liegen dann 32 prozent weil insgesamt ist 100 prozent aller werte hier irgendwo und 68 liegen hier das heißt 32 liegen rechts und links davon und jetzt haben wir gesagt dass wir die normalverteilung rahmen und normalverteilung sind symmetrisch oder anders gesagt hier links sieht es genauso aus wie hier rechts das heißt links haben wir auch genau so viel masse liegen wie rechts also von diesen 32 prozent die müssen sich gleichmäßig auf dann auf den linken teilen auf den rechten teil das heißt wir hätten hier das ist den grünen da hätten wir 16 prozent weil das genau die hälfte von 32 prozent ist und hier hätten wir dann noch mal 16 prozent sagen ich vielleicht auch mal kurz ein das wären dann nochmal 60 prozent 16 prozent und jetzt können wir unsere frage beantworten weniger als 84 kilogramm das heißt dieser linke bereich das sind genau 16 prozent wahrscheinlichkeit 16 prozent ok dann machen wir die nächste aufgabe die lautet wie hoch ist die wahrscheinlichkeit dass ein mädchen zwischen 7 3 und 11,7 kilogramm wiegt ok dann benutze ich diesmal direkt mal grün habe ich schon mal nutzt dann nutzen wir mal orange zwischen 73 das ist hier 7,3 und 11,7 kilogramm das ist hier und wir stellen fest okay wenn hier war ja das arithmetische mittel hier war der mittelpunkt und um jetzt zu diesen beiden stellen hinzukommen müssen wir 12 schritte nach rechts gehen 2000 abweichung nach rechts gehen und 12 standardabweichung nach links gehen das heißt dass genau dieser bereich den wir in der regel drin stehen haben es sind genau sigma plus/minus zwei standardabweichungen und das haben wir hier stehen wie viel prozent das sind das haben wir auch gerade hier schon eingezeichnet das heißt das ist ganz einfach der bereich der zwischen 7,3 und 11,7 liegt sind genau 95 prozent der werte das sagt unsere empirische regel aus und die letzte aufgabe ist wie auch die wahrscheinlichkeit dass ein mädchen mehr als 12,8 kilogramm wiegt und dann nehmen wir vielleicht mal ich überlege ich überlege ich überlege wie nehmen pink nein wir nehmen rot für den rund 12,8 ist hier und wir wollen die wahrscheinlichkeit dass ein mädchen mehr als 12,8 kilogramm wiegt also genau hier liegt und das ist eigentlich ganz ähnlich wie die erste aufgabe auch schon wir können uns nämlich mal überlegen welche wahrscheinlichkeit kinder erziehen na ja wir wissen die wahrscheinlichkeit dass ein mädchen zwischen 6,2 und 12,8 liegt weil das sind genau drei schritte nach rechts und nach links das heißt eingezeichnet und ich nicht überall ist einfach mal alles jede letzte aufgabe das heißt dieser ganzen bereich hier dieser ganze bereich drei standardabweichungen nach rechts in deutschland abrechnung nach links da wissen wir wenig wie wahrscheinlichkeit masse darin liegt das war genau die 99 7 prozent und jetzt können wir die gleichen trick machen wir am anfang auch wenn zwischen 6,2 und 12,8 99,7 prozent liegen dann liegen ausserhalb dessen also hier und links davon links davon liegen dann 0,3 prozent weil das ja wieder auf 100 prozentig auf addieren muss und jetzt können wir wieder sagen es ist normal verteilt das heißt es ist auch symmetrisch oder anders gesagt hier rechts in diesem roten bereich liegen genau so viele mädchen wie hier links in diesem bereich den ich jetzt mal rot ein zeichner und wenn es genau so viele sein müssen und insgesamt 0,3 prozent in beiden bereichen liegen na ja dann liegt in jedem dieser bereiche 0,15 prozent links liegen 0,11 prozent und rechts liegen 0,15 prozent und jetzt haben wir schon unsere antwort hier ist ja genau diese ganze 12,8 kilogramm und über 12 8 kilogramm liegen 0,15 prozent der werte das heißt 0,15 prozent der mädchen wiegen mehr als 12 8 kilogramm und das ist das hilft euch vielleicht ein bisschen zu erkennen dass wir aus diesen drei werten die wir haben ganz viele aufgaben eigentlich schon lösen können weil wir uns immer überlegen können wie verhalten sich dann die anderen flächen und welche flächen brauchen wir und es ist immer sinnvoll sich diese flächen einzuzeichnen weil das macht vieles einfacher