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Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Kurs: Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung > Lerneinheit 4

Lektion 5: Normalverteilung und die 68-95-99,7-Regel
Mathematik
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Modellierung von Datenverteilungen
Normalverteilung und die 68-95-99,7-Regel
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Normalverteilungen - Bewertung

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Normalverteilungen tauchen in der Statistik immer wieder auf. Eine Normalverteilung hat einige interessante Eigenschaften: Sie ist glockenförmig, der Mittelwert und der Median sind gleich und 68 % der Daten fallen innerhalb einer Standardabweichung.

Was ist eine Normalverteilung?

Bereits die ersten Statistiker haben bemerkt, dass viele Verteilungen die immer gleiche Form hatten—also nannten sie diese die Normalverteilung.
Normalverteilungen haben die folgenden Eigenschaften:
  • symmetrische Glockenkurve
  • arithmetisches Mittel und Median sind gleich; beide befinden sich in der Mitte der Verteilung
  • approximately equals, 68, percent der Werte liegen höchstens 1 Standardabweichung vom arithemtischen Mittel entfernt
  • approximately equals, 95, percent der Werte liegen höchstens 2 Standardabweichungen vom arithmetischen Mittel entfernt
  • approximately equals, 99, comma, 7, percent der Werte liegen höchstens 3 Standardabweichungen vom arithmetischen Mittel entfernt
Möchtest du mehr darüber lernen, was Normalverteilungen sind? Sieh dir dieses Video an.

Eine Normalverteilung zeichnen (Beispiel)

Der Stammdurchmesser einer bestimmten Kiefernart ist normalverteilt mit arithmetischem Mittel mu, equals, 150, start text, c, m, end text und einer Standardabweichung von sigma, equals, 30, start text, c, m, end text.
Skizziere eine Glockenkurve, die diese Verteilung beschreibt.
Lösung:
Schritt 1: Skizziere eine Glockenkurve.
Schritt 2: Das arithmetische Mittel 150, start text, c, m, end text kommt in die Mitte.
Schritt 3: Jede Standardabweichung bedeutet einen Abstand von 30, start text, c, m, end text.
Übungsaufgabe 1
Die Höhe der selben Kiefernart ist ebenfalls normalverteilt. Das arithmetische Mittel der Höhe ist mu, equals, 33, start text, m, end text und die Standardabweichung beträgt sigma, equals, 3, start text, m, end text.
Welche der folgenden Normalverteilungen fasst die Daten am besten zusammen?
Wähle eine Lösung.

Prozentsätze finden - Beispiel

Der Stammdurchmesser einer bestimmten Kiefernart hat ein arithmetisches Mittel von mu, equals, 150, start text, c, m, end text und eine Standardabweichung von sigma, equals, 30, start text, c, m, end text.
Ungefähr wie viel Prozent der Bäume hat einen Stammdurchmesser von mehr als 210, start text, c, m, end text?
Lösung:
Schritt 1: Skizziere eine Normalverteilung mit einem arithmetischen Mittel von mu, equals, 150, start text, c, m, end text und einer Standardabweichung von sigma, equals, 30, start text, c, m, end text.
Schritt 2: Der Stammdurchmesser von 210, start text, c, m, end text liegt zwei Standardabweichungen über dem arithmetischen Mittels. Färbe alles ab diesem Punkt.
Schritt 3: Schreibe die Prozentzahlen des gefärbten Teils auf:
2, comma, 35, percent, plus, 0, comma, 15, percent, equals, 2, comma, 5, percent
Etwa 2, comma, 5, percent der Bäume haben einen Durchmesser größer als 210, start text, c, m, end text, point
Möchtest du ein weiteres Beispiel wie dieses sehen? Schau dir dieses Video an.
Übungsaufgabe 2
Etwa wie viel Prozent der Bäume haben einen Durchmesser zwischen 90 und 210 Zentimetern?
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
percent

Möchtest du mehr Aufgaben wie diese üben? Sieh dir die Aufgabe in die empirische Regel an.

Bestimmen von Anzahlen - Beispiel

Der Stammdurchmesser einer bestimmten Kiefernart hat ein arithmetisches Mittel von mu, equals, 150, start text, c, m, end text und eine Standardabweichung von sigma, equals, 30, start text, c, m, end text.
In einem bestimmten Teil des Waldes stehen 500 dieser Bäume.
Ungefähr wie viele dieser Bäume haben einen Durchmesser von weniger als 120, start text, c, m, end text?
Lösung:
Schritt 1: Skizziere eine Normalverteilung mit einem arithmetischen Mittel von mu, equals, 150, start text, c, m, end text und einer Standardabweichung von sigma, equals, 30, start text, c, m, end text.
Schritt 2: Der Stammdurchmesser von 120, start text, c, m, end text liegt eine Standardabweichung unterhalb des arithmetischen Mittels. Färbe alles unter diesem Wert.
Schritt 3: Schreibe die Prozentzahlen des gefärbten Teils auf:
0, comma, 15, percent, plus, 2, comma, 35, percent, plus, 13, comma, 5, percent, equals, 16, percent
Etwa 16, percent dieser Bäume haben einen Durchmesser kleiner als 120, start text, c, m, end text, point
Schritt 4: Ermittle, für wie viele Bäume im Waldstück diese Prozentzahl steht.
Wir müssen herausfinden, wie viel 16, percent von 500 Bäumen sind.
16, percent, start text, space, v, o, n, space, end text, 500, equals, 0, comma, 16, dot, 500, equals, 80
Etwa 80 Bäume haben einen Durchmesser von weniger als 120, start text, c, m, end text.
Übungsaufgabe 3
Der Stammdurchmesser einer bestimmten Kiefernart hat ein arithmetisches Mittel von mu, equals, 150, start text, c, m, end text und eine Standardabweichung von sigma, equals, 30, start text, c, m, end text.
In einem bestimmten Teil des Waldes stehen 500 dieser Bäume.
Ungefähr wie viele dieser Bäume haben einen Durchmesser zwischen 120 und 180 Zentimetern?
approximately equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
Bäume

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