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Normalverteilungen - Bewertung

Normalverteilungen tauchen in der Statistik immer wieder auf. Eine Normalverteilung hat einige interessante Eigenschaften: Sie ist glockenförmig, der Mittelwert und der Median sind gleich und 68 % der Daten fallen innerhalb einer Standardabweichung.

Was ist eine Normalverteilung?

Bereits die ersten Statistiker haben bemerkt, dass viele Verteilungen die immer gleiche Form hatten—also nannten sie diese die Normalverteilung.
Normalverteilungen haben die folgenden Eigenschaften:
  • symmetrische Glockenkurve
  • arithmetisches Mittel und Median sind gleich; beide befinden sich in der Mitte der Verteilung
  • 68% der Werte liegen höchstens 1 Standardabweichung vom arithemtischen Mittel entfernt
  • 95% der Werte liegen höchstens 2 Standardabweichungen vom arithmetischen Mittel entfernt
  • 99,7% der Werte liegen höchstens 3 Standardabweichungen vom arithmetischen Mittel entfernt
Möchtest du mehr darüber lernen, was Normalverteilungen sind? Sieh dir dieses Video an.

Eine Normalverteilung zeichnen (Beispiel)

Der Stammdurchmesser einer bestimmten Kiefernart ist normalverteilt mit arithmetischem Mittel μ=150cm und einer Standardabweichung von σ=30cm.
Skizziere eine Glockenkurve, die diese Verteilung beschreibt.
Lösung:
Schritt 1: Skizziere eine Glockenkurve.
Schritt 2: Das arithmetische Mittel 150cm kommt in die Mitte.
Schritt 3: Jede Standardabweichung bedeutet einen Abstand von 30cm.
Übungsaufgabe 1
Die Höhe der selben Kiefernart ist ebenfalls normalverteilt. Das arithmetische Mittel der Höhe ist μ=33m und die Standardabweichung beträgt σ=3m.
Welche der folgenden Normalverteilungen fasst die Daten am besten zusammen?
Wähle eine Lösung.

Prozentsätze finden - Beispiel

Der Stammdurchmesser einer bestimmten Kiefernart hat ein arithmetisches Mittel von μ=150cm und eine Standardabweichung von σ=30cm.
Ungefähr wie viel Prozent der Bäume hat einen Stammdurchmesser von mehr als 210cm?
Lösung:
Schritt 1: Skizziere eine Normalverteilung mit einem arithmetischen Mittel von μ=150cm und einer Standardabweichung von σ=30cm.
Schritt 2: Der Stammdurchmesser von 210cm liegt zwei Standardabweichungen über dem arithmetischen Mittels. Färbe alles ab diesem Punkt.
Schritt 3: Schreibe die Prozentzahlen des gefärbten Teils auf:
2,35%+0,15%=2,5%
Etwa 2,5% der Bäume haben einen Durchmesser größer als 210cm.
Möchtest du ein weiteres Beispiel wie dieses sehen? Schau dir dieses Video an.
Übungsaufgabe 2
Etwa wie viel Prozent der Bäume haben einen Durchmesser zwischen 90 und 210 Zentimetern?
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
%

Möchtest du mehr Aufgaben wie diese üben? Sieh dir die Aufgabe in die empirische Regel an.

Bestimmen von Anzahlen - Beispiel

Der Stammdurchmesser einer bestimmten Kiefernart hat ein arithmetisches Mittel von μ=150cm und eine Standardabweichung von σ=30cm.
In einem bestimmten Teil des Waldes stehen 500 dieser Bäume.
Ungefähr wie viele dieser Bäume haben einen Durchmesser von weniger als 120cm?
Lösung:
Schritt 1: Skizziere eine Normalverteilung mit einem arithmetischen Mittel von μ=150cm und einer Standardabweichung von σ=30cm.
Schritt 2: Der Stammdurchmesser von 120cm liegt eine Standardabweichung unterhalb des arithmetischen Mittels. Färbe alles unter diesem Wert.
Schritt 3: Schreibe die Prozentzahlen des gefärbten Teils auf:
0,15%+2,35%+13,5%=16%
Etwa 16% dieser Bäume haben einen Durchmesser kleiner als 120cm.
Schritt 4: Ermittle, für wie viele Bäume im Waldstück diese Prozentzahl steht.
Wir müssen herausfinden, wie viel 16% von 500 Bäumen sind.
16% von 500=0,16500=80
Etwa 80 Bäume haben einen Durchmesser von weniger als 120cm.
Übungsaufgabe 3
Der Stammdurchmesser einer bestimmten Kiefernart hat ein arithmetisches Mittel von μ=150cm und eine Standardabweichung von σ=30cm.
In einem bestimmten Teil des Waldes stehen 500 dieser Bäume.
Ungefähr wie viele dieser Bäume haben einen Durchmesser zwischen 120 und 180 Zentimetern?
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi
Bäume

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