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Bedingte Wahrscheinlichkeit und Kombinationen

Die Wahrscheinlichkeit das ich einen normale Münze gewählt habe wenn ich 4 mal Kopf und 6 mal Zahl erhalten hab. Erstellt von Sal Khan

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wir wollen uns heute mal ein etwas komplexeres wahrscheinlichkeit problemen anschauen und das schöne an diesem problem ist dass wir da einmal im endeffekt alle konzepte mal anfassen müssen die wir fürs mathe abitur brauchen also zumindest in meinem bundesland nrw und das heißt ja nun nicht ganz mitkommen es ist nicht schlimm du kannst die einzelnen sachen noch mal sehr gerne wiederholen in den ganzen einzelnen videos die wir dazu gemacht haben aber wenn du mit kommst hast du schon mal ganz gutes zeichen dafür dass du ein gutes grundverständnis von statistik ist okay wie sieht denn dieses problem aus oder diese aufgabe wir haben einen beutel und in diesem beutel sind fünf fähre münzen also münzen wo man mit 50 50 prozent chance kopf oder zahl bekommt und zehn unfaire münzen und diese münzen sind unfair weil man bei diesem münzen mit macht aber keinen fall hin und her weil man bei diesen münzen mit einer 80 prozentigen chance kopf kriegt und mit einer 20 prozentigen chance gekriegt okay soweit zu unserem zufalls experiment wir ziehen eine münze und danach werfen wir diese münze jetzt sechsmal und schreiben uns auf wie oft wir kopf bekommen haben und wir machen dieses experiment jetzt und wir bekommen heraus dass wir bei unserem experiment vier von sechs würfen kopf bekommen haben und die frage die wir uns stellen lautet was ist die wahrscheinlichkeit davon dass unsere münze fair ist gegeben dass wir vier von sechs mal kopf bekommen haben das wollen wir ausrechnen ganz am ende ok wenn du schon eine idee hast oder ich mache selbst dann versuchen willst es gibt einige fallstricke aber du kannst mal gucken ob das hinkriegt also pause kurzes video und ansonsten schauen also ganze erstmal selbst zusammen an fangen wir an mit einer kurzen wiederholung vom satz von base und die sensation base also das interessante daran ist ja das war so rum wenn wir es andersrum fragen würden wie hoch die wahrscheinlichkeit dass wir vier mal kopf hier von sechs mal kopf bekommen wenn wir eine faire münster hatten diese wahrscheinlichkeit könnten wir sehr einfach an geben aber der trick ist hier dass wir es genau andersrum haben wollen wir wollen die wahrscheinlichkeit dass die münze fair ist gegeben dass wir hier von sechs mal kopf werfen das hat sich irgendwie falsch herum oder zumindest nicht so einfach auszurechnen und bei genau solche situationen kommt uns der satz von base zu hilfe weil was sagt er noch mal ich mache mir oben hin als kleine erinnerung die wahrscheinlichkeit dass wir ein ereignisse haben gegeben dass wir ein anderes ereignis beham kann man auch schreiben als die wahrscheinlichkeit dass wir a und b haben geteilt durch die wahrscheinlichkeit von b und der trick ist jetzt dass man das hier oben diese in oberen teil nochmal umschreiben kann nämlich die wahrscheinlichkeit von zwei ereignissen komma b kann man auch schreiben als ich es schon wieder kann man auch schreiben als die wahrscheinlichkeit von b gegeben mal die wahrscheinlichkeit von a und das ist die unten bleibt dann einfach gleich die wahrscheinlichkeit von b und warum ist das gut na ja weil wir jetzt diese komische wahrscheinlichkeit nicht mehr haben wir haben das einmal komplett umgedreht vorher wollten wir wissen wir wollen wissen was die wahrscheinlichkeit von aaa gegeben ist und können das nicht ausrechnen aber wir können vermutlich angeben was die wahrscheinlichkeit von b gegeben ist und dann haben wir noch angeben die wahrscheinlichkeit von a und die wahrscheinlichkeit von b das heißt wir umgehen hier sozusagen das problem mit dem das von base ein bisschen okay dann versuchen wir doch mal den satz von best anzuwenden auf unser problem wir wollen am ende haben die wahrscheinlichkeit von fair gegeben dass wir vier von sechs mal kopf hatten und das heißt wenn wir das hier in die formel übersetzen die wahrscheinlich das ereignis dass wir eine faire münze haben wäre schreibe ich mir hier als ist gleich fähre münze und unsere variable b würde beschreiben dass wir vier von sechs mal kopf haben also bis gleich vier von sechs mal kopf kopf werfen schreibt mir dahinter und beim auch hinschreiben wären zu ziehen natürlich das ist ein bisschen einfacher vielleicht zu verstehen ok dann können wir jetzt mal anfangen hier oben mit der wahrscheinlichkeit von b gegeben das ist übersetzt in unserer variablen auf unserem fall die wahrscheinlichkeit von b ist vier von sechs mal kopf gegeben also fähre münze und das ist schon recht einfach weil wir haben jetzt einen also wir wissen jetzt ganz sicher dass wir eine faire münze haben und müssen jetzt nur noch ausrechnen was ist die wahrscheinlichkeit mit einer fairen münze in sechs würfen viermal kopf zu haben ok und da kommen wir jetzt zu nominal verteidigung zurück oder zu kombinatorik das rechnen wir uns einmal aus du weißt vielleicht noch wenn wir jetzt sechs würfe haben wie können wir dann vier von sechs malen kopf haben na ja wir könnten zum beispiel sagen dass wir kopf kopf kopfzahl zahl kopf haben oder wir könnten das erreichen indem wir haben kopfzahl zahl kopf kopf kopf oder so weiter und die wahrscheinlichkeit von unserem sozusagen gesamte ereignis als die vier von sechs mal kopf haben setzt sich einfach zusammen durch die wahrscheinlichkeit eines kleinen ereignisse also eines ganz speziellen ereignisses mal die anzahl der möglichkeiten mit dem wir zu diesem resultat kommen können dass wir vier von sechs mal kopf haben also mal alle möglichen durch würfe lungen hier von diesen reihenfolgen kopf und zahl ok fangen mit der wahrscheinlichkeit von einem einzelnen ereignis wie hoch ist die wahrscheinlichkeit dass wir kopf kopf kopfzahl zahl kopf haben naja die wahrscheinlichkeit vom kopf bei einer fairen münze ist ein halb dann nochmal kopf mal eineinhalb mal ein halb die wahrscheinlichkeit von zahl ist auch ein halb mal eineinhalb mal ein halb genauso gut für alle anderen reihenfolgen hier weiß auch kopf ein halb mal zahl ein halb einhalb ein halb mann halb also wäre die wahrscheinlichkeit schon mal ein halb hoch 6 für jede dieser beliebigen einzelnen mini ereignisse sozusagen die auftreten können und jetzt müssen wir das nochmal nehmen mal die wasch mal die anzahl an möglichen mini ereignissen also wie viele verschiedene reihenfolgen können wir hier angeben das heißt anders gesagt wir müssen uns aus den sechs positionen die wir hier stehen haben müssen wir viel mit kopf belegen also müssen aus sechs müssen wir vier auswählen sechs über 4 d kino effizient das heißt wir haben dann dastehen ein halbhoch sechsmal und seine hässliche sechs mal und der billag effizient ist dann einfach sechs fakultät geteilt durch vier fakultät mal zwei fakultät und das ist dann einfach gleich ein halbhoch sechs schleppen wir nochmal mit x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 ist aber die fakultät ausgeschrieben geteilt durch 4 x 3 x 2 x 1 x und danach zwei fakultät zweimaleins okay da können wir ein bisschen kürzen vier mal drei mal können wir direkt kürzen mit dem 4 3 2 1 die einst können wir generell ignorieren und die zwei kann man auch mit der sechs zusammen vorstellen 3 das heißt wir haben hier stehen ein halb roh 6 x 3 x 5 x 15 und dabei ja das kann man auch ausrechnen 1 hoch 6 ist eins und zwei hoch 6 sind mit mir sie nachdenken 64 also hat man dann 1 durch 64 x 15 oder auch 15 64 okay das ist die wahrscheinlichkeit dass wir vier mal vier von sechs mal kopf werfen wenn wir eine fähre mit zu haben gut dann gehen wir weiter zu unserer nächsten wahrscheinlichkeit nämlich die wahrscheinlichkeit dass wir eine faire münze ziehen p von a naja p von aa also p von fairer münze ist als das ist jetzt wieder unabhängig von dem anderen unabhängig davon wie viele zahlen oder kopf bewerben es geht gerade nur darum in diesem experiment wie hoch die wahrscheinlichkeit dass wir eine faire münze ziehen und naja das ist einfach wir haben fünf fähre münzen 10 unfaire münzen also ist das einfach nur fünf durch 15 die anzahl der guten fälle durch die anzahl aller möglichen fälle oder auch ein drittel so weit so gut das ging recht easy und jetzt kommen wir zu dem letzten was ja ausrechnen müssen nämlich b von b und da suche ich gerade noch eine schöne farbe für die wahrscheinlichkeit dafür dass wir weber kopf werfen dass wir vier von sechs mal kopf werfen ich merke gerade hier die farben müssen anders wählen soll aber egal ihr kommt schon mit pvp also die wahrscheinlichkeit dass wir vier von sechs mal kopf werfen und das wird jetzt ein bisschen komplizierter weil wir wollen unser experiment besteht ja daraus dass wir zuerst eine faire milch zu ziehen und danach die münzen werfen und wir wollen jetzt wissen über das gesamte experiment hinweggesehen die wahrscheinlichkeit dass es hier schon sechsmal kopf werfen also inklusive dem zufall der da drin steckt welche münster gezogen haben okay das heißt wir können das zu veranschaulichen oder ich kann mal versuchen euch das zu veranschaulichen was wir jetzt machen müssen um diese wahrscheinlichkeit auszurechnen ist unser ganzes experiment einmal durchzugehen unser experiment sieht ja so aus wir fangen an und haben dann erst mal mit einer zweidrittel wahrscheinlichkeit eine unfaire münze und mit einer ein drittel wahrscheinlichkeit eine faire münze und dann können wir sagen okay wenn wir eine unfaire münster haben die uhr ist dann die wahrscheinlichkeit dass wir vier von sechs mal kopf haben also wird uns jetzt hier interessieren die wahrscheinlichkeit von vier von sechs mal kopf kopf gegeben dass wir schon die unfaire münze haben weil in diesem zustand wo wir uns gerade befinden haben wir schon die ganz sicher die unfairen zugezogen und hier unten müssen wir entsprechend angeben die wahrscheinlichkeit dass wir vier von sechs mal kopf haben gegeben weil wir schon mit dem zustand sind wir haben schon eine fähre mit zugezogen okay ganz am ende kann man jetzt sagen gut dann ist das ganze jetzt im endeffekt wie ein entscheidungsbaum das heißt die wahrscheinlichkeit über das gesamte experiment hinweg dann vier von sechs mal kopf zu haben ist einfach der erste part also zwei drittel mal die wahrscheinlichkeit was wir dann wenn wir schon die unfaire münze haben vier von sechs mal kopf kriegen vier von sechs mal kopf gegeben dass wir einen fairen zu haben + wie können wir auch noch vier von sechs mal kopf bekommen naja wenn wir über die ferien zu gehen das heißt ein drittel das für die ferien zu kriegen mal die wahrscheinlichkeit dass wir vier von sechs mal dann kopf kriegen wenn wir schon die firmen zu haben ok und dass sie hinten haben gerade schon ausgerechnet das ist einfach nur gleich gleich ich solle mal hoch jetzt nämlich auch wieder vergessen das waren hier diese 15 64 15 64 und das heißt das einzige was uns noch fehlt um das hieraus zu rechnen ist die wahrscheinlichkeit dass wir vier von sechs mal kopf haben gegeben dass wir eine unfaire münze haben dieses mal gut und die können wir jetzt auch noch mal ausrechnen also die wahrscheinlichkeit dass wir vier von sechs mal kopf gegeben dass wir eine unfaire mann zu haben und das machen wir genauso wie vorhin auch schon das heißt wir haben wieder einmal experiment wir wissen wir haben eine unfaire münze und bei dieser unfairen münze kriegen mit 80 prozentiger wahrscheinlichkeit kopf mit 20 prozentiger wahrscheinlichkeit zahl wie viele möglichkeiten haben wir vier in vier von sechs würfen kopf zu bekommen das sind dann zum beispiel wieder kopf kopf kopf kopfzahl zahl könnten wir haben oder wir könnten haben zahl kopf kopfzahl kopf kopf oder sonst was also hier wieder diese einzelnen möglichkeiten die wir haben um das ereignis zu erreichen mal die wahrscheinlichkeit jeder dieser einzelnen möglichkeiten und die wahrscheinlichkeit zum beispiel von kopf kopf kopf kopfzahl zahl wäre dann 80 prozent für kopfball 80 prozent mal 80 prozent x 80 x 20 x 20 prozent also 0,8 hoch 44 08 um mal 0,2 hoch zwei und wir können einmal kurz prüfen das ist für jedes dieser ereignisse so weil hier unten hätten wir zum beispiel jetzt 0 2 x 8 x 8 x 2 x 08 08 bekäme als auch jeder auf das ist die wahrscheinlichkeit von jedem dieser einzelne ereignisse und wie viele dieser einzelnen ereignisse haben wir also wie viele möglichkeiten gibt es dass wir solche unterschiedlichen sachen hier angeben können naja das ist genauso wie vorher wir müssen wieder auf sechs positionen vier positionen auswählen an den verkauf stehen haben also wieder sechs über 4 und das können wir jetzt das haben wir gerade schon ausgerechnet das waren diese 15 ist gerade mal noch um hier das waren diese sechs über 4 und da kamen wir darauf dass es im endeffekt 15 sind das heißt wir können hier hin schreiben das ist 0,84 mal 0,2 hoch zweimal 15 und jetzt ist der moment wo ich im taschenrechner brauche obstteller das wollte ich nicht das würde ich also ihr habt 0,8 hoch vier mal 0,2 hoch zwei und ich hoffe dass der höhepunkt verstrichen und richtig beherrscht mal 15 und das sind 0,24 576 also 24 57 6 prozent 0,2 4576 waren das projekt ja ok damit haben wir auch diese wahrscheinlichkeit hier ausgerechnet kommen wir also zurück nach oben wir wollten immer noch die wahrscheinlichkeit ausrechnen dass wir über das gesamte experiment hinweggesehen vier von sechs mal kopf haben schon jetzt können wir hierhin schreiben dass diese letzte fehlende zahl einfach eine 0,0 aber das ist die fachschaft habe eine 0,24 576 ist okay dann müssen wir jetzt nur noch hier die einzelnen zahlen zusammen rechnet nehmen wir unseren taschenrechner wir haben hier stehen zwei drittel einmal verlieren wo kann man das hier leer machen hier 2 3 2 durch drei mal 0,2 4576 plus ein drittel also 1 durch drei mal 15 durch 64 15 64 und jetzt haben wir eine wahrscheinlichkeit von 0,24 1965 ok 24 19 650 24 1965 wäre vielleicht einfacher wenn ich den taschenrechner immer offen lasse aber das wäre zu einfach ein bisschen merkt man muss man sich ja auch noch hier ok und jetzt haben wir alle einzelnen sachen zusammengerechnet die wir brauchen um unseren satz von base here auszurechnen und den kopiere ich einmal noch mal nach unten das wir mitnehmen können ich hoffe das funktioniert mit diesem programm ich bin mir nicht sicher also unser satz von base wunderbar dass wir uns als von base und den können jetzt einfach mit unseren eigenen zahlen fühlen das heißt wir haben einmal b von b gegeben also die wahrscheinlichkeit von vier von sechs mal kopf werfen gegeben wir haben eine faire münze die steht genau hierhin gelb das waren 15 64 15 64 mal die wahrscheinlichkeit von aa- also die wahrscheinlichkeit davon eine faire münze zu ziehen das waren ein drittel ein drittel geteilt durch die wahrscheinlichkeit von b also die wahrscheinlichkeit vier von sechs mal kopf zu werfen im experiment die haben wir hier ausgerechnet und das waren 0 24 1965 einmal kurz werden merken 24 1965 0,24 1965 oder waren es 91 19 alles richtig dann können wir hier noch ein bisschen kürzen die können sagen 3 und 15 werden zu 5 und dann müssen wir den taschenrechner jahr nehmen wir haben also effektiv dann noch stehen 50 64 65 ist gleich null 0 78 und nochwas geteilt durch 0.24 1965 und wir kommen raus bei und um gerundet 32 2 prozent also 32,3 prozent 32,3 prozent genau das waren 30,3 prozent das ist unsere lösung also das ist die wahrscheinlichkeit dafür dass wir eine faire münster in der hand halten gegeben dass wir vier von sechs mal kopf geworfen haben und das ist ganz interessant zu sehen weil was würden wir dann sagen wenn wir gar keine würfe gemacht hätten was würden wir sagen wie hoch die wahrscheinlichkeit ist dass wir eine faire münze haben also ganz am anfang des experimentes ohne irgendein weiteres wissen zu haben ohne irgendwie diese münze ausprobiert zu haben da wollen wir natürlich sagen ein drittel also 33 prozent 300 sich mal drei prozent und jetzt nachdem wir vier von sechs würfe durchgeführt haben um so ein bisschen informationen darüber zu kriegen was unsere münster ist eigentlich ist sind wir bei 32,3 prozent das ist also ein bisschen unwahrscheinlicher geworden dass wir eine faire münze haben aber es ist immer noch gut möglich so zu sagen und das ist intuitiv auch sinnvoll weil wir haben es ist unwahrscheinlicher geworden weil eine unfaire münze wird häufiger kopf erzeugen und wir haben ziemlich häufig kopf geworfen deswegen wird es niedriger aber es ist immer noch im bereich des möglichen dass wir auch mit einer fairen münze in sechs würfen viermal kopf kriegen deswegen das ganze nur minimal kleiner geworden okay wir können uns das ganze noch als letztes stückchen einmal versuchen zu visualisieren was ist hier eigentlich gerade alles passiert also wir haben unser zufalls experiments und ich zeichne mal den raum von allen möglichen sachen die passieren können in unserem zuvor text denn das ist hier unser unserer grundgesamtheit haben wir manchmal als omega bezeichnet das sind alle möglichen sachen die passieren können und die wahrscheinlichkeit dass wir eine faire münze kriegen die es erst mal in einem drittel dieser fälle erfüllt also hier haben wir eine faire münze und hier hätten wir eine unfaire münze und jetzt haben wir uns dafür interessiert wie die andere wahrscheinlichkeit noch aussieht nämlich vier von sechs mal kopf zu werfen und dafür haben wir einmal ausgerechnet die wahrscheinlichkeit vier von sechs mal kopf zu werfen wenn wir sicher sind dass wir eine faire münster haben die liegt bei 15 64 drin das heißt wir können einmal hier hingehen wenn wir schon affäre münster haben wir bewegen uns nur noch in diesem bereich wo eine faire münze haben dann ist die wahrscheinlichkeit dass wir vier von sechs mal kopf kriegen 15 64 also vielleicht so viel hier das ist dann vier von sechs mal kopf und auf der anderen seite wenn wir eine wenn wir uns schon sicher sind dass wir eine unfaire münze haben dann ist die wahrscheinlichkeit vier von sechs mal kopf zu bekommen 24 57 6 prozent also werden wir dann hier wir wären im bereich wo wir auf jeden fall eine unfaire münze haben und da hätten wir dann 24,57 6% oder so und das heißt die wahrscheinlichkeit insgesamt vier von sechs mal kopf zu werfen ist einfach diese beiden mengen hier zusammen okay das war dann diese 24,1 prozent dafür einfach nur wahrscheinlich dass wir nur vier von sechs mal kopf werfen unabhängig davon ob wir jetzt eine fair oder unfair events und unserem experiment vorher gezogen haben ok und jetzt wussten wir schon durch unser experiment das wir uns auf jeden fall in diesem bereich befinden wo wir vier von sechs mal kopf werfen und wir haben uns dafür interessiert ob es in diesem bereich jetzt wahrscheinlicher ist dass wir eine ferien zu haben und dass wir eine unfaire zu haben und dafür haben doch einfach geguckt okay in diesem bereich war die wahrscheinlichkeit dafür dass wir eine faire münze haben dann dieses stückchen hier also diese 32 x 3 prozent und die wahrscheinlichkeit dass wir eine unfairen zu haben war dann dieses andere stückchen hier entsprechend wären das dann natürlich 67,7 prozent damit sich das wieder auf 100 prozent auf saniert okay das ist das also grafisch im hintergrund passiert ist das video ist jetzt schon lang genug geworden wenn du es bis hierhin komplett durch gehalten hast und alles nachvollziehen konnte ist dann herzlichen glückwunsch dann bist du gut gerüstet glaube ich für den statistikteil vom abitur wenn nicht dann schau dir nochmal die einzelnen konzepte an oder überlegt wie das alles zusammen funktioniert hat ich habe das in der schule da haben uns auch nicht ganz verstanden also ist nicht schlimm wenn das noch nicht ganz verstanden hast aber wenn man es verstehen willst dann schau dir noch die ganzen einzelnen videos an die diese einzelnen konzepte erklären ok und dann viel glück bei seinem abitur oder viel spaß mit einem problem mit einer wahrscheinlichkeit wissen und wir sehen uns im nächsten video