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Analysis - Vorkenntnisse

Kurs: Analysis - Vorkenntnisse > Lerneinheit 3

Lektion 7: Komponentendarstellung von Vektoren
Mathematik
Analysis - Vorkenntnisse
Vektoren
Komponentendarstellung von Vektoren
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Vektorbetrag und -richtung - Wiederholung

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Wiederhole dein Wissen über Vektorbetrag und -richtung und verwende diese, um Aufgaben zu lösen.
Betrag von left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis
\mid, \mid, left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis, \mid, \mid, equals, square root of, a, squared, plus, b, squared, end square root
Richtung von left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis
theta, equals, tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, b, divided by, a, end fraction, right parenthesis
Komponenten von Betrag \mid, \mid, u, with, vector, on top, \mid, \mid und Richtung theta
left parenthesis, \mid, \mid, u, with, vector, on top, \mid, \mid, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, comma, \mid, \mid, u, with, vector, on top, \mid, \mid, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, right parenthesis

Was sind Vektorbetrag und -richtung?

Wir sind es gewohnt, Vektoren in Komponentenform zu beschreiben. Zum Beispiel left parenthesis, 3, vertical bar, 4, right parenthesis. Wir können Vektoren in der Koordinatenebene zeichnen, indem wir eine gerichtete Strecke vom Ursprung bis zu dem Punkt zeichnen, der dem Komponenten des Vektors entspricht:
Grafisch betrachtet gibt es eine weitere Möglichkeit, Vektoren eindeutig zu beschreiben - deren start color #11accd, start text, B, e, t, r, a, g, end text, end color #11accd und start color #1fab54, start text, R, i, c, h, t, u, n, g, end text, end color #1fab54:
Der start color #11accd, start text, B, e, t, r, a, g, end text, end color #11accd eines Vektors gibt die Länge der Strecke an, während die start color #1fab54, start text, R, i, c, h, t, u, n, g, end text, end color #1fab54 den Winkel angibt, den die Gerade mit der positiven x-Achse bildet.
Der Betrag des Vektors v, with, vector, on top wird normalerweise als vertical bar, vertical bar, v, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar geschrieben.
Möchtest du mehr über die Größe des Vektors erfahren? Schau dir dieses Video an.
Möchtest du mehr über die Vektorrichtung erfahren? Schau dir dieses Video an.

Übungsreihe 1: Betrag von Komponenten

Um den Betrag eines Vektors aus seinen Komponenten zu bestimmen, ziehen wir die Quadratwurzel der Summe der Quadrate der Komponenten (dies ist ein direktes Ergebnis des Satzes des Pythagoras):
vertical bar, vertical bar, left parenthesis, a, vertical bar, b, right parenthesis, vertical bar, vertical bar, equals, square root of, a, squared, plus, b, squared, end square root
Der Betrag von left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis lautet beispielsweise square root of, 3, squared, plus, 4, squared, end square root, equals, square root of, 25, end square root, equals, 5.
Aufgabe 1.1
  • Aktuell
u, with, vector, on top, equals, left parenthesis, 1, vertical bar, 7, right parenthesis
vertical bar, vertical bar, u, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar, equals

Gib entweder einen Ausdruck mit einem Quadratwurzelsymbol oder eine Dezimalzahl ein, die auf Hundertstel gerundet ist.

Möchtest du mehr Aufgaben wie diese versuchen? Schau dir diese Übung an.

Übungsreihe 2: Richtung von Komponenten

Um die Richtung eines Vektors aus seinen Komponenten zu bestimmen, nehmen wir den Arkustangens des Verhältnisses der Komponenten:
theta, equals, tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, b, divided by, a, end fraction, right parenthesis
Dies ergibt sich aus der Verwendung der Trigonometrie in dem rechtwinkligen Dreieck, das durch den Vektor und die x-Achse gebildet wird.

Beispiel 1: Quadrant start text, I, end text

Wir wollen wir die Richtung von left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesisbestimmen:
tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, 4, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, approximately equals, 53, degrees

Beispiel 2: Quadrant start text, I, V, end text

Wir wollen die Richtung von left parenthesis, 3, comma, minus, 4, right parenthesis bestimmen:
tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, minus, 4, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, approximately equals, minus, 53, degrees
Der Taschenrechner hat einen negativen Winkel zurückgegeben, aber es ist üblich, positive Werte für die Richtung eines Vektors zu verwenden, also müssen wir 360, degrees addieren:
minus, 53, degrees, plus, 360, degrees, equals, 307, degrees

Beispiel 3: Quadrant start text, I, I, end text

Wir wollen die Richtung von left parenthesis, minus, 3, comma, 4, right parenthesis bestimmen. Beachte zunächst, dass sich left parenthesis, minus, 3, comma, 4, right parenthesis in Quadrant start text, I, I, end text befindet.
tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, 4, divided by, minus, 3, end fraction, right parenthesis, approximately equals, minus, 53, degrees
minus, 53, degrees ist in Quadrant start text, I, V, end text, nicht in start text, I, I, end text. Wir müssen 180, degrees addieren, um den Gegenwinkel zu erhalten:
minus, 53, degrees, plus, 180, degrees, equals, 127, degrees
Aufgabe 2.1
  • Aktuell
u, with, vector, on top, equals, 5, i, with, hat, on top, plus, 8, j, with, hat, on top
theta, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
degrees
Gib deine Antwort als Winkel in Grad zwischen 0, degrees und 360, degrees ein, gerundet Hundertstel.

Möchtest du mehr Aufgaben wie diese versuchen? Schau dir diese Übung an.

Übungsreihe 3: Komponenten aus Betrag und Richtung

Um die Komponenten eines Vektors aus seinem Betrag und Richtung zu bestimmen, multiplizieren wir den Betrag mit dem Sinus oder Kosinus des Winkels:
u, with, vector, on top, equals, left parenthesis, vertical bar, vertical bar, u, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, vertical bar, vertical bar, vertical bar, u, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, right parenthesis
Dies ergibt sich aus der Verwendung der Trigonometrie in dem rechtwinkligen Dreieck, das durch den Vektor und die x-Achse gebildet wird.
Dies ist beispielsweise die Komponentenform des Vektors mit dem Betrag start color #11accd, 2, end color #11accd und dem Winkel start color #1fab54, 30, degrees, end color #1fab54:
left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, cosine, left parenthesis, start color #1fab54, 30, degrees, end color #1fab54, right parenthesis, vertical bar, start color #11accd, 2, end color #11accd, sine, left parenthesis, start color #1fab54, 30, degrees, end color #1fab54, right parenthesis, right parenthesis, equals, left parenthesis, square root of, 3, end square root, vertical bar, 1, right parenthesis
Aufgabe 3.1
  • Aktuell
u, with, vector, on top, approximately equals, left parenthesis, space
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
space, vertical bar
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
right parenthesis
Runde deine endgültigen Antworten auf Hundertstel.

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