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Trigonometrische Gleichungen - Wiederholung

Wiederhole deine Kenntnisse zu trigonometrischen Gleichungen, indem du eine Folge von Gleichungen in zunehmender Komplexität löst.

Übungsreihe 1: Einfache Gleichungen

Beispiel: sine, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0, comma, 55 lösen

Wir benutzen den Taschenrechner und runden auf Hundertstel.
sine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 0, comma, 55, right parenthesis, equals, 0, comma, 58
(Wir verwenden das Bogenmaß.)
Wir können die Identität sine, left parenthesis, pi, minus, theta, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis verwenden, um die zweite Lösung innerhalb von open bracket, 0, comma, 2, pi, close bracket zu bestimmen.
pi, minus, 0, comma, 58, equals, 2, comma, 56
Wir verwenden die Identität sine, left parenthesis, theta, plus, 2, pi, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, um die beiden gefundenen Lösungen auf alle Lösungen zu erweitern.
x, equals, 0, comma, 58, plus, n, dot, 2, pi
x, equals, 2, comma, 56, plus, n, dot, 2, pi
Hier ist n eine beliebige ganze Zahl.

Überprüfe, ob du es verstanden hast

Aufgabe 1.1
Wähle einen oder mehrere Ausdrücke aus, die zusammen alle Lösungen für die Gleichung darstellen.
Die Antworten sind in Bogenmaß angegeben. n ist eine beliebige ganze Zahl.
cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0, comma, 15
Wähle alle zutreffenden Lösungen:
Wähle alle zutreffenden Lösungen:

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Übungsreihe 2: Fortgeschrittene Gleichungen

Beispiel: 16, cosine, left parenthesis, 15, x, right parenthesis, plus, 8, equals, 2 lösen

Zuerst isolieren wir den trigonometrischen Ausdruck:
16cos(15x)+8=216cos(15x)=6cos(15x)=0,375\begin{aligned}16\cos(15x)+8&=2\\\\ 16\cos(15x)&=-6\\\\ \cos(15x)&=-0{,}375\end{aligned}
Benutze den Rechner und runde auf Tausendstel:
cosine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 0, comma, 375, right parenthesis, equals, 1, comma, 955
Verwende die Identität cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, minus, theta, right parenthesis, um festzustellen, dass die zweite Lösung innerhalb open bracket, minus, pi, comma, pi, close bracket gleich minus, 1, comma, 955 ist.
Benutze die Identität cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, theta, plus, 2, pi, right parenthesis um alle Lösungen zu unserer Gleichung mit den zwei oben ermittelten Winkeln zu bestimmen. Danach lösen wir nach x auf (denke daran, dass unser Argument 15, x ist):
15x=1,955+n2πx=1,955+n2π15x=0,130+n2π15\begin{aligned} 15x&=1{,}955+n\cdot2\pi \\\\ x&=\dfrac{1{,}955+n\cdot2\pi}{15} \\\\ x&=0{,}130+n\cdot\dfrac{2\pi}{15} \end{aligned}
Vergleichbar ist die zweite Lösung: x, equals, minus, 0, comma, 130, plus, n, dot, start fraction, 2, pi, divided by, 15, end fraction .

Überprüfe, ob du es verstanden hast

Aufgabe 2.1
Wähle einen oder mehrere Ausdrücke aus, die zusammen alle Lösungen für die Gleichung darstellen.
Die Antworten sind in Bogenmaß angegeben. n ist eine beliebige ganze Zahl.
20, sine, left parenthesis, 10, x, right parenthesis, minus, 10, equals, 5
Wähle alle zutreffenden Lösungen:
Wähle alle zutreffenden Lösungen:

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Übungsreihe 3: Textaufgaben

Aufgabe 3.1
L, left parenthesis, t, right parenthesis stellt die Länge jedes Tages (in Minuten) in Manila, auf den Philippinen, t Tage nach der Frühlings-Tagundnachtgleiche dar. Hier wird t in Bogenmaß eingegeben.
L, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 52, sine, left parenthesis, start fraction, 2, pi, divided by, 365, end fraction, t, right parenthesis, plus, 728
Welcher ist der erste Tag nach der Frühlings-Tagundnachtgleiche, bei dem die Tageslänge 750 Minuten beträgt?
Runde deine endgültige Lösung auf ganze Tage.
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
Tage

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