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Den Definitionsbereich von Funktionen beschränken, um sie umkehrbar zu machen

Video-Transkript

Auf welche Intervalle könnten wir f(x) = cos(x - π/4) beschränken, damit f(x) umkehrbar ist? Und hier sehen wir den Graphen der Funktion f(x) = cos(x - π/4). Denken wir darüber nach, was es für eine Funktion bedeutet, umkehrbar zu sein. Eine Funktion ist eine Zuordnung von einer Menge an Elementen, die wir den Definitionsbereich nennen. Das hier ist unser Definitionsbereich. Und das ist unsere Zielmenge. Und eine Funktion ordnet ein Element des Definitionsbereichs einem Element unserer Zielmenge zu. Das ist es, was eine Funktion macht. Die Umkehrfunktion einer Funktion ordnet dieses Element der Zielmenge wieder dem Element des Definitionsbereichs zu. Das hier wäre also f^-1. Wenn das die Richtung der Funktion ist, ist das die Richtung von f^-1. Eine der Situationen in denen eine Funktion nicht umkehrbar ist, ist, wenn du eine Funktion hast, bei der zwei Elemente des Definitionsbereichs demselben Element der Zielmenge zugeordnet werden. Diese beiden Elemente werden denselbem Wert der Zielmenge zugeordnet, beide sind die Funktion, aber wenn das der Fall ist, kannst du keine Funktion erstellen, die zurück führt, denn wenn du das in die Umkehrfunktion einsetzt, wo kommst du dann an? Bei diesem Element des Definitionsbereich? Oder bei diesem hier? Du brauchst also eine 1-zu-1-Zuordnung. Für jedes Element des Definitionsbereichs gibt es nur ein Zielmengenelement, das dich dorthin führt. Du kannst auch versuchen eine horizontale Gerade in den Graphen der Funktion einzuzeichnen, um zu sehen, ob sie die Funktion mehr als einmal schneidet. Und du siehst, dass das für diese Funktion hier der Fall ist. Wenn ich hier eine horizontale Gerade einzeichnen würde. Warum ist das ein Problem? Ich zeichne die Gerade kurz nochmal neu. Sagen wir, ich zeichne hier eine horizontale Gerade ein. Warum ist diese horizontale Gerade ein Problem? Sie zeigt uns, dass für diesen Teil des Definitionsbereichs, der hier gezeichnet wird, es mehrere Punkte gibt, die demselben Element des Zielbereichs zugeordnet werden. Sie werden 0,5 zugeordnet. Diesem Wert hier: 0,5. Wenn du diese Stelle in f einsetzt, erhältst du 0,5, wenn du das hier in f einsetzt, ergibt es 0,5, und hier ebenfalls. Wenn du also mehrere Elemente des Definitionsbereichs hast, die demselben Element der Zielmenge zugeordnet werden, dann ist die Funktion für diesen Definitionsbereich nicht umkehrbar. Wir schränken den Definitionsbereich jetzt also so ein, dass, wenn ich diesen Test mit der horizontalen Gerade anwenden würde, diese Funktion nur einmal schneiden würde. Schauen wir uns also den Graphen der Funktion an. Das hier sind die Antwortmöglichkeiten. Die erste ist eine offene Menge von -5/4π, die ungefähr hier beginnt, und bis -1/4π geht. Das ist also dieser Definitionsbereich hier. Das ist dieser Bereich. Er beinhaltet nicht die beiden Endpunkte. In diesem Definitionsbereich kann ich die horizontale Gerade immer noch anwenden, und in diesem Bereich gibt es zwei Elemente des Definitionsbereichs, die demselben Element der Zielmenge zugeordnet werden. Wenn ich also die Umkehrfunktion davon finden will, was wäre dann f^-1(-0,6) = ? Wäre es dieser Wert hier? Oder dieser Wert hier? Diese Antwortmöglichkeit würde ich ausschließen. Hier haben wir -π bis π. Wir haben hier eckige Klammern, also sind die Grenzpunkte -π und π Teil des Definitionsbereichs. Bei diesem Intervall könnte ich hier wieder meine horizontale Gerade zeichnen, oder sogar die ursprüngliche verwenden, die ich in Blau gezeichnet habe, und sehe, dass es mehrere Elemente des Definitionsbereichs gibt, die z.B. zu 0,5 zugeordnet werden. Was wäre also f^-1(0,5)? Du kannst keine Funktion erstellen, die nur zu einem Element des Definitonsbereichs zuordnet, also können wir diese Antwort auch ausschließen. Kommen wir zu -1/2π bis 1/2π. Das ist interessant. Wenn ich die horizontale Gerade hier, hier oder hier einzeichne würde es klappen, aber wenn ich eine horizontale Gerade hier drüben zeichne, schneide ich die Funktion zweimal, also habe ich zwei Elemente des Definitionsbereichs, die demselben Element in der Zielmenge zugeordnet werden, also kann ich diese Antwort auch ausschließen. Die letzte Antwort bleibt also übrig. Ich hoffe, sie ist die richtige. Es ist eine offene Menge von 1/2π bis 5/4π. Wenn ich mir jetzt den Graphen anschaue, sieht es so aus, als würde er den Test mit der horizontalen Gerade bestehen. An jedem Punkt könnte ich hier eine horizontale Gerade über den Definitionsbereich ziehen. Ich mache es mal für den ganzen Definitionsbereich, damit du es siehst. Ich schneide die Funktion nur einmal. Also haben wir für jedes Element der Zielmenge, zu dem wir zuordnen, nur ein Element des Definitionsbereichs, das dorthin zuordnet. Sie besteht den Test mit der horizontalen Gerade, also wähle ich diese Antwort aus.