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Bearbeitetes Beispiel: Arithmetische Reihe (Sigma-Schreibweise)

Video-Transkript

Ich habe hier eine finite Reihe in der Sigma-Notation ausgedrückt. Ich ermutige dich, das Video zu pausieren, und das Ergebnis davon herauszufinden. Das Ergebnis ist eine Zahl. Ich nehme mal an, du hast es probiert. Jetzt machen wir es gemeinsam. Das ist eine Summe von k = 1 bis k = 550, also haben wir 550 Terme. Es ist die Summe von k = 1 bis k = 550 mit der Funktion (2k + 50). Immer wenn ich eine Reihe untersuche, erweitere ich die Summe ein bisschen, damit ich ein Gefühl dafür bekomme, wie sie aussieht. Wenn k = 1 ist, dann haben wir 2(1) + 50, wenn k = 2 ist, dann haben wir 2(2) + 50, wenn k = 3 ist, dann haben wir 2(3) + 50. Und so machen wir weiter, bis wir zum letzten Term kommen, bei dem k = 550 ist und wir 2(550) + 50 haben. Der erste Term ergibt 52. Der nächste Term ist 2(2) + 50, was 54 ergibt, der nächste Term ist 2(3) + 50, was 56 ergibt, und das machen wir bis zu unserem letzten Term, 2(550) + 50, was 1150 ergibt. Jetzt haben wir ein besseres Verständnis für diese Summe und diese Reihe. Wir beginnen bei 52 und addieren 2 für jeden folgenden Term, bis wir bei 1150 ankommen, und wir nehmen die Summe von allen Termen, und da wir bei jedem folgenden Term um dieselbe Menge, nämlich 2, erhöhen, erkennen wir, dass es sich um eine arithmetische Reihe handelt. Wir erhöhen jedes Mal um dieselbe Menge. Und es gibt eine Formel für die Summe einer arithmetischen Reihe. Zuerst wenden wir diese Formel einfach an, aber dann werden wir eine Intuition dafür bekommen, warum diese Formel funktioniert. In anderen Videos haben wir diese Formel bewiesen, aber es ist immer gut, zu sehen, dass diese Formel nicht einfach aus dem Nichts auftaucht. Die Formel für die Summe einer arithmetischen Reihe, also die Summe der ersten n Terme ist die Summe des ersten und n-ten Terms geteilt durch 2. Es ist eigentlich das arithmetische Mittel des erstes und letzten Terms, man kann auch Durchschnitt dazu sagen, der Durchschnitt des ersten und letzten Terms, multipliziert mit der Anzahl der Terme. Wenn wir die Formel also auf dieses Beispiel anwenden, nehmen wir die Summe unserer ersten 550 Terme. Wir nehmen also die Summe unserer ersten 550 Terme, und nehmen den ersten Term, also 52, und addieren den letzten bzw. n-ten Term 1150. Wir nehmen den Durchschnitt des ersten und letzten Terms, und multiplizieren ihn mit der Anzahl unserer Terme, also 550. Was ergibt das? Wir könnten es etwas vereinfachen. Ich addiere zuerst. Das ergibt (1202 / 2) ⋅ 550. 1202 / 2 = 601, also ergibt das 601 ⋅ 550. Das kann ich ausmultiplizieren. Ich rechne also 550 ⋅ 601. 1 ⋅ 550 = 550. Dann habe ich hier eine 0, 0 ⋅ 550 ergibt also eine Reihe von Nullen, und dann komme ich zur Hunderterstelle. 6 ⋅ 0 = 0. 6 ⋅ 5 = 30. 6 ⋅ 5 = 30, 30 + 3 = 33. Ich addiere es und erhalte eine 0, eine 5, eine 5, eine 0, eine 3 und eine 3. Wir erhalten 330.550. Das ist diese ganze Summe. Ich habe gesagt, dass wir eine Intuition dafür bekommen, warum wir diese Formel anwenden konnten. Wir denken jetzt also darüber nach, was die Summe der ersten 550 Terme ist, und ich habe sie hier oben aufgeschrieben. Wir haben also die Summe der ersten 550 Terme, die wir hier aufgeschrieben haben. Wir haben bereits gesagt, dass das 52 + 54 + 56 .... bis hin zu 1150 ist. Ich schreibe die Summe der ersten 550 Terme nochmal auf, aber diesmal in umgekehrter Reihenfolge. Wir können die Reihenfolge der Addition natürlich ändern. Dann haben wir 1150 + 1150 - 2, also + 1148, + 1148 - 2, also + 1146, und wir gehen bis hin zum ersten Term 52. Ich möchte diese beiden Summen addieren, damit ich das Zweifache der Summe der ersten 550 Terme erhalte. Auf der linken Seite erhalte ich also 2S_550. Wir beweisen diese Formel in allgemeiner Form in vorherigen Videos, aber ich weiß gern, woher sie kommt. Was erhalte ich also, wenn ich rechts diese beiden Terme addiere? Ich erhalte 1202. Diese Zahl sollte dir bekannt vorkommen. Was erhalte ich, wenn ich diese beiden addiere? Ich erhalte 1202. Ich glaube, du erkennst ein Muster. Und was erhalte ich, wenn ich diese beiden addiere? Ich erhalte 1202 durchgehend bis hin zu den letzten beiden Termen. Was erhalte ich, wenn ich sie addiere? Ich erhalte 1202. Wie viele Male erhalte ich also 1202? Die Antwort lautet 550-mal, da wir 550 Terme haben. Das ergibt also 550 ⋅ 1202. Wenn du also nur diese Summe ausrechnen willst, dividierst du einfach beide Seiten durch 2. Und genau das haben wir hier gemacht. (550 ⋅ 1202) / 2. Ich hoffe, das gibt dir ein besseres Verständnis.