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Video-Transkript

In diesem Video möchte ich euch die Mathematik einer Hypothek erklären. Es ist aber kein Video über Finanzen. Es ist sehr viel mathematischer. Aber es behandelt eine der grundlegendsten Fragen, die ich seit langem im Kopf habe. Wir nehmen Kredite auf, um Häuser zu kaufen. Nehmen wir an, du nimmst eine Hypothek von 200.000€ auf. Sie ist durch dein Haus abgesichert. Du bezahlst sie 30 Jahre bzw. 360 Monate lang ab. Wenn du jeden Monat abbezahlst, werden die Zinsen normalerweise monatlich aufgezinst. Nehmen wir an, du bezahlst 6% Zinsen. Das sind jährliche Zinsen, und normalerweise wird monatlich aufgezinst, also 6% dividiert durch 12. Also haben wir 0,5% pro Monat. Wenn du normalerweise so einen Kredit aufnimmst, wird dein Bankberater diese Zahlen in ein Programm eingeben, und sehen, dass deine Zahlung 1200€ pro Monat beträgt. Und wenn du diese 1200€ pro Monat über 360 Monate hinweg bezahlst, dann hast du am Ende der 360 Monate die 200.000€ und alle Zinsen abbezahlt, die aufgelaufen sind. Aber diese Zahl ist nicht so einfach herauszufinden. Ich zeige dir ein Beispiel, wie die eigentliche Hypothek funktioniert. An Tag 0 hast du einen Kredit von 200.000€. Du bezahlst keine Hypothekenrate. Du bezahlst deine erste Hypothekenrate in einem Monat. Diese Summe wird also mit den 0,5% aufgezinst. Als Dezimal ergibt das 0,005. In einem Monat zahlst du also Zinsen und diese Zahl wird auf 200.000(1 + 0.005) angewachsen sein. Dann bezahlst du die 1200€. Also subtrahieren wir 1200. Im nächsten Monat wird der Betrag, der übrig bleibt, wieder mit 5% bzw. 0,005 aufgezinst. Und im nächsten Monat bezahlst du wieder diese 1200€. Wir subtrahieren also 1200€. Und das passiert 360 Mal. Du machst also immer so weiter. Am Ende hast du diesen riesigen Ausdruck, der 360 Klammern hat und schließlich 0 ergibt. Denn nach deiner letzten Zahlung hast du das Haus komplett abbezahlt. Aber wie ist diese monatliche Zahlung entstanden? Wir nennen Sie P. Gibt es einen mathematischen Weg, sie herauszufinden? Um das zu tun, denken wir etwas abstrakter. Nehmen wir an, dass L die Kreditsumme ist. i ist unser monatlicher Zinssatz. n ist die Anzahl der Monate. Und P ist unsere monatliche Hypothekenzahlung. Ein Teil davon besteht aus Zinsen, ein Teil besteht aus der eigentlichen Zahlung, aber es ist jeden Monat derselbe Betrag, mit dem du Kredit + Zinsen abbezahlst. Das ist deine monatliche Zahlung. Wenn ich also denselben Ausdruck hier in abstrakter Form aufschreibe, beginne ich mit der Kreditsumme L. Nach 1 Monat wird sie als (1 + i) aufgezinst. Du multiplizierst also mit (1 + i). In diesem Beispiel war i = 0,005. Dann bezahlst du deine monatliche Zahlung P, also subtrahierst du P. Das ist am Ende eines Monats. Jetzt hast du noch einen Betrag deines Kredits übrig. Dieser wird im nächsten Monat aufgezinst. Dann zahlst du wieder deine Zahlung P. Und dieser Prozess wiederholt sich n-mal. Du hast also n Klammern. Und nachdem du das n-mal gemacht hast, ergibt das alles 0. Jetzt stellt sich die Frage: Wie finde ich P heraus? Wenn wir die Kreditsumme, den monatlichen Zinssatz, und die Anzahl der Monate kennen, wie finden wir dann P heraus? Es sieht nicht so aus, als wäre das eine einfach zu lösende algebraische Gleichung. Mal sehen, ob wir es auf eine allgemeine Art umordnen können. Wir beginnen mit einem Beispiel, bei dem n = 1 ist. Wenn n = 1 ist, dann sieht unsere Situation so aus: Du nimmst deinen Kredit auf, er wird für 1 Monat aufgezinst, also 1 + i, und dann bezahlst du deine monatliche Zahlung. Das war eine Hypothek, die in 1 Monat abbezahlt wird, also bist du nach einer Zahlung fertig mit dem Kredit, und es bleibt nichts übrig. Wenn wir jetzt nach P auflösen und die Seiten tauschen, erhalten wir P = L(1 + i). Wenn du beide Seiten durch (1 + i) dividierst, erhältst du P / (1 + i) = L. Warum mache ich das, wenn ich bereits nach P aufgelöst habe? Ich mache es, weil ich dir ein Muster zeigen will. Schauen wir, was passiert, wenn n = 2 ist. Du beginnst mit deiner Kreditsumme. Sie wird für 1 Monat aufgezinst. Du machst deine Zahlung. Es bleibt ein Betrag übrig, der für 1 Monat aufgezinst wird. Du machst deine zweite Zahlung. Diese Hypothek benötigt nur 2 Zahlungen, also bist du jetzt fertig. Du hast keinen Kredit mehr, da du Kreditsumme und Zinsen abbezahlt hast. Jetzt lösen wir nach P auf. Ich markiere die Ps. Ich mache dieses P pink. Ich addiere P auf beiden Seiten und tausche die Seiten. Dieses grüne P steht dann links, rechts haben wir (L(1 + i) - P), das pinke und grüne P sind gleich, ich will nur zeigen, was algebraisch passiert. (L(1 + i) - P)(1 + i). Wenn du jetzt beide Seiten durch (1 + i) dividierst, erhältst du P / (1 + i) = L(1 + i) - P. Jetzt addieren wir das pinke P zu beiden Seiten dieser Gleichung. Du erhältst das pinke P + P / (1 + i ) = L(1 + i). Jetzt dividiere ich beide Seiten durch (1 + i). Ich erhalte das pinke P / (1 + i) + das grüne P, was dasselbe P ist, es wird bereits durch (1 + i) dividiert, also dividieren wir es nochmal durch (1 + i), also wird es jetzt durch (1 + i)² dividiert. Und rechts haben wir die Kreditsumme. Etwas Interessantes passiert. Du solltest dir die Videos zum Barwert anschauen. In dieser Situation nimmst du deine Zahlung, reduzierst sie um deine monatliche Zinsrate und erhältst die Kreditsumme. Hier nimmst du jede deiner Zahlungen, und reduzierst sie, indem du sie durch (1 + i)^n dividierst, wobei i = monatlicher Zinssatz und n = Anzahl der Monate ist. Du nimmst im Grunde den Barwert deiner Zahlungen und erhältst wieder deine Kreditsumme. Du kannst das gerne selbst überprüfen, wenn du etwas Übung in Algebra brauchst. Du kannst es mit n = 3 ausprobieren. Ich mache es aus Zeitgründen nicht. Bei n = 3 hast du L = P/(1 + i) + P/(1 + i)² + P/(1 + i)³. Wenn du Zeit hast, ermutige ich dich dazu, das mit dem Prozess zu beweisen, den wir hier verwenden. Du wirst sehen, das es ein bisschen knifflig wird. Du musst einige Dinge verändern, aber es dauert nicht sehr lange. Aber hoffentlich habe ich dir gezeigt, dass wir die Kreditsumme als den Barwert aller Zahlungen schreiben können. Wenn wir also verallgemeinern, und n anstatt einer Zahl benutzen, und ich P aus der Gleichung herausnehme, habe ich P(1/(1 + i) + 1/(1 + i)^2 + usw. bis + 1/(1 + i)^n). Du erkennst das vielleicht. Es handelt sich um eine geometrische Reihe. Und es gibt Wege, die Summen von geometrischen Reihen mit beliebigen n-Werten herauszufinden. Wie ich am Anfang versprochen habe, geht es um die Anwendung einer geometrischen Reihe. Sie ist die Summe von 1/(1 + i)^j von j = 1. Dieser Term hat quasi eine 1 als Exponenten. Unsere Summe geht von j = 1 bis j = n. Mal sehen, ob wir diese Summe einfach lösen können. Wir wollen das nicht 360-mal machen. Wir könnten es, wir haben eine Zahl und dividieren dann L durch diese Zahl, und dann hätten wir nach P aufgelöst. Aber es muss einen einfacheren Weg geben. Lass uns also vereinfachen. Um das Rechnen zu vereinfachen, erstelle ich eine Definition. Sagen wir, dass r = 1 / (1 + i) ist. Und ich nenne diese ganze Summe S. Diese Summe hier ist gleich S. Wenn wir dann sagen, dass r gleich dieser Terme ist, dann ist S = r^1. Ich scheibe r^1, denn wenn du den Zähler quadrierst, erhältst du einfach wieder eine 1. Das ist also + r^2 + r^3 .... und so weiter bis + r^n. Und ich zeige dir einen kleinen Trick. Das ist ein guter Weg, die Summe einer geometrischen Reihe herauszufinden, wenn man die Formel vergisst. Man könnte es auch verwenden, um die Summe einer unendlichen geometrischen Reihe herauszufinden, aber wir haben hier eine endliche. Jetzt multiplizieren wir S mit r. Was ergibt r ⋅ S? Du multiplizierst jeden dieser Terme mit r. r^1 ⋅ r = r^2. r^2 ⋅ r = r^3. Und du machst immer so weiter, hier hast du ein r^(n - 1), das du mit r multiplizierst, und du erhältst r^n. Dann multiplizierst du r^n ⋅ r und erhältst + r^(n + 1). Das sind all diese Terme mit r multipliziert, ich habe sie einfach nur unter denselben Exponenten geschrieben. Jetzt kannst du die grüne Reihe von der lilanen Reihe subtrahieren. Was ergibt S - rS? Ich subtrahiere diese Reihe von dieser Reihe. Wir rechnen r^1 - 0, also erhalten wir r^1. Dann haben wir r^2 - r^2, was sich wegkürzt. r^3 - r^3 kürzen sich auch weg. Sie kürzen sich alle weg, bis hin zu r^n - r^n, und dann bleibt nur noch dieser letzte Term hier übrig. Deswegen ist es ein praktischer Trick. Es bleibt r^1 - r^(n + 1) übrig. Jetzt klammere ich ein S aus. Wir erhalten S(1 - r) = r^1 - r^(n + 1). Wenn du jetzt beide Seiten durch (1 - r) dividierst, erhältst du deine Summe. Deine Summe ist r - r^(n + 1) / (1 - r). Das ist unsere Summe, mit unserer Definition für r. Jetzt können wir diese ganze verrückte Formel umschreiben. Wir können sagen, dass unsere Kreditsumme gleich der monatlichen Zahlung multipliziert mit diesem Term ist. Ich schreibe es in grün auf. Ich multipliziere mit r - r^(n + 1) / (1 - r). Um für P zu lösen, multiplizieren wir beide Seiten mit dem Kehrwert hiervon, und erhalten P = L ⋅ dem Kehrwert hiervon. Ich schreibe es in pink, da es der Kehrwert ist. (1 - r) / r - r^(n + 1). Und r ist dieser Term hier drüben. Und wir sind fertig. So kannst du deine tatsächliche Hypothekenzahlung berechnen. Jetzt wenden wir die Formel an. Sagen wir, unsere Kreditsumme ist 200.000€. Unser Zinssatz ist 6% jährlich, also 0,5% bzw. 0,005 monatlich. Das ist unser monatlicher Zinssatz. Wir haben einen Kredit, der über 30 Jahre läuft, also ist n = 360 Monate. Mal schauen, was herauskommt. Zuerst wollen wir herausfinden, was unser r ist. r = 1 / (1 + i). Wir haben also 1 / (1 + 0,005). Unser monatlicher Zinssatz ist nämlich 0,5%. Unser r ergibt also 0,995. Wir haben das hier verwendet. Wir verlieren etwas Genauigkeit, aber ich denke, das ist okay. Ich möchte dir zeigen, worum es geht. Was ist also unsere Zahlung? Wir multiplizieren unsere Kreditsumme 200.000€ mit (1 - r), also (1 - 0,995) / (0,995 - 0,995^361), da n = 360 Monate ist und wir n + 1 rechnen. Ich schließe meine Klammer und mein Endergebnis ist ungefähr 1200€. Wenn wir die exakte Zahl einsetzen, erhalten wir einen etwas kleineren Wert, aber es ergibt ungefähr 1200€. Wir haben also unsere tatsächliche Hypothekenzahlung herausgefunden. P = 1200€. Das war eine relativ komplizierte Rechnung, um etwas herauszufinden, womit die meisten Leute jeden Tag zu tun haben. Aber jetzt kennst du die eigentliche Rechnung dahinter. Du musst dich nicht mit Tabellen befassen, um die Zahl irgendwie herauszubekommen.