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Verallgemeinerung mit Binomialkoeffizienten (ein bisschen fortgeschrittener)

Video-Transkript

los geht's schon einige videos zum thema werfen von münzen vielleicht sagen manche von euch es gab schon zu viele videos zum thema werfen wir müssen trotzdem hier noch ein weiteres dazu und zwar was wir bis jetzt anhand von einzelnen beispielen gemacht haben soll in diesem video ein bisschen verallgemeinert werden das heißt wir reden nicht mehr von vier köpfe in acht würfen oder sowas sondern wir reden hier von der wahrscheinlichkeit hier geht es um die wahrscheinlichkeit im entwürfen köpfe zu bekommen also kamal k x kopf in entwürfen wir wollen also auf eine allgemeine formel hinaus ja da brauchen wir die gesamtzahl der möglichkeiten in entwürfen wie viele ergebnisse gibt es denn da und dann brauchen wir die ergebnisse die jetzt diese bedingungen hier entsprechen also da gehen wir ganz normal vor den wir reden hier von einer fairen münze werden von gleich wahrscheinlichen ergebnissen wie viele mögliche ergebnisse gibt es denn ich habe einen ersten wurf von dem ersten wurf gibt es zwei ergebnis ich habe einen zweiten wurf da gibt es auch wieder zwei ergebnisse beim dritten wurf und dann irgendwie ab habe ich mein enten worauf dann und da gibt es eben auch zwei ergebnisse das heißt insgesamt insgesamt habe ich eben 2 x 2 x 2 und 22 hoch n ergebnisse denn ich werfe er die münze in wales 2 hoch wenngleich wahrscheinliche ergebnisse gibt es die gesamtzahl aller möglichen ergebnisse ja was mich jetzt aber genauso brenne interessiert ist wie viel von diesen zwei hohen ergebnissen enthalten den kanal kopf ja und dazu gebe ich den cupfinal unterschiedlichen namen ich sage also ich habe einen kopf denn wenn ich mal kopf einen anderen koch nämlich kopf wie ein dritter kopf nämlich kopf c usw also wirklich meine kappe die ich haben will dass jeder von diesen köpfen unterschiedlichen namen hat dadurch kann ich die unterscheiden der kopf war der muss es nicht beim ersten wurf kommen sie eine bekannte irgendeinem dieser entwürfe kommen können auch beim nur auf kommen genauso der kopf b oder der kopf c ja wie viele möglichkeiten gibt es dann für den kopf dazu kommen für den kopf da gibt es möglichkeiten kann in einem dieser würfel kommen es gibt möglichkeiten wo der kopf auftauchen könnte das gilt aber dann nicht für den kopf wenn der kopf nicht dort kommen oder kopf kommt in der kopf im dritten wurf kommt dann kann der kopf weh nicht auch im dritten wurf kommen sondern er muss im zweiten oder im vierten oder im ersten oder im entwurf combo auch immer auf jeden fall nicht auf dem platz vorm kopf das heißt er hat noch in minus 1 möglichkeiten und so weiter bei kopfweh gegen berlin gibt es dann noch ein - zwei möglichkeiten also äh - zwei freie würfe woher kommen könnte um genau zu sein und bis hin zu nsn - was eine erste kopf in dieser reihe der hatte er freie auswahl der zweite kopf frei hat - 1 2 und 1 der dritte kopf hatte 1 - 2 3 und 2 das heißt diese zahl ist immer um eins kleiner wenn ich es diesen karten kopf den letzten kopf in dieser reihe an bringe dann ist die zahlung 1 kleiner haben dass wir eben kam - 1 also kam - 1 müsste ich hier abziehen und dass wir sagen die zahl der plätze die zahl der würfe die dieser karte kopf zur verfügung hat wer eben nsk -1 verschiedene plätze hätte der zur auswahl orientiert aus mittelplatz ihre kirche ist eine relativ große zahl an möglichkeiten wie ich jetzt diese köpfe auf die plätze hier auf die entwürfe verteile nur ist es eher so dass ich da ziemlich viel doppelzelle erzählt nämlich mit dass zum beispiel die auswahl k b also der kopf b als erstes dann der kopf als zweites der kopf c als drittes und so weiter dahinter kommen noch einige köpfe das würde ich hier mit zellen in diesem produkt und dann wird er auch mit zählen das k als erstes kommt um danach gc und danach kb und der rest der wieder gleich also das würde hier unterschieden werden jedes von dem zelt hiermit auf der anderen seite für uns bedeutet das aber das gleiche das bedeutet nur dass im ersten wurf wenn das hier der erste wurf ist im ersten wurf einmal kopf gekommen und zweiten wurf einmal kopf und im dritten wurf einmal kopf ob das jetzt der kopf wie oder kopf aber ist mir eigentlich wurscht hauptsache ich weiß da kommt einmal kopf also für uns während das hier identisch ereignisse hier sind sie getrennt aufgezählt und zählen hier mit deshalb habe ich eine zu große summe und ich muss das noch teilen und zwar muss ich das teil durch die zahl der möglichkeiten die ich habe um diese köpfe eben um zu sortieren und wie viele möglichkeiten gibt es da nun hier habe ich eine menge von köpfen und der erste kopf der könnte jetzt ankara schäden entstehen der zweite kopf könnte ankam - 1 verschiedenen stellen entstehen und der dritte kopf könnten kamen aus zwei verschiedenen stellen entstehen und der letzte kopf bei dem bleibt dann nur noch eine position frei also das geht runter bis auf 1 es gibt also kamal k - 1 x kam - 2 x x x x 1 möglichkeiten jetzt diese köpfe auf verschiedene weise um zu sortieren und dieses umsortieren hat für mich die gleiche bedeutung deshalb will ich das nicht unterscheiden deshalb teile ich das nochmal durch dieses produkt hier also ich teile das durch kamal k - 1 x h minus zwei bis plus x 1 und dafür gibt es eine schöne abkürzung dieses kamal k - 1 bis 1 das kann ich schreiben als fakultät also zum beispiel vier fakultät das ist eben 4 x 3 x 2 x 1 oder 2 fakultät nur zweimal 1 also dafür gibt es eben diese abkürzung fakultät das heißt das ganze das ganze kann ich ersetzen hier durch den ausdruck k fakultät habe ich also eine schöne abkürzung wie sieht es mit dem zähler aus kann ich das auch irgendwie abkürzen und schreibe ich mal auf n pacult elbers ist dement hotel in fakultät ist 1 1 - 2 x ja bis bis eins runter und das sieht doch schon mal ziemlich ähnlich aus zu dem was hier oben steht das fängt ja auch an mit n allein - 12 nur kurz dann irgendwann auf es geht nicht runter bis zu 1 hier geht es ganz unter jahren dann mache ich mal einen trick ich möchte also irgendwie hier das ende abschneiden und teile ich das doch mal durch oskar fakultät da muss ich das hier auch durch teilen das habe ich auch durch ein - kv gilt schreibe ich gleich auch was heißt denn das das heißt dass hier steht ein - k dann steht hier in - k -1 dann steht der nsk -2 und so weiter bis runter zur 1 ja und irgendwo hier zwischen der l - 2 und der 1 steht ja auch irgendwo das bekommt - k + 1 dann kommt ja dann steht dann die zweite mit 1 - klar - 1 und so weiter das ist hier irgendwo dazwischen drin und dann sehe ich dass ich da kürzen kann hier habe ich alles faktoren von - kate 1 alle faktoren zwischenahn - karlburg und 1 die kürzlich hier also alles was hier hinter kommt das kürzlich weg und das ganze hört auf dann mit plus 1 ja was ist ein endoskop plus 1 wenn ich diese klammer hier auflösen - dann steht ist hier das minuszeichen in die klamme rein da steht er im plus 1 ja das ist genau dasselbe und das haben jetzt hier auch stehen das heißt tatsächlich alles geschafft also durch diese division durch ein - k fakultät dadurch verkürze ich hier diese diese reihe der faktoren und bringe sie genau auf diese länge hier wie sie hier oben in der berechnung angegeben ist das heißt ich kann diesen diesen ausdruck diese erste zeile hier die kann ich ersetzen hier durch diesen ausdruck durch ein paket durch ein - k fakultät kommt das selber raus also lasst euch nicht hier von diesem buch strich ins bockshorn jagen dass es gar kein buch das ist eigentlich nur eine abkürzen die schreibweise für diese folge von faktoren ja und damit beträgt die zahl der ergebnisse zwar der ergebnisse mit mit k mal kopf mit k mal kopf in entwürfen das war das was wir hier eigentlich ausrechnen wollten zahl der ergebnisse mit kammern kopf den entwürfen der beträgt damit also fakultät durch fakultät das ist irgendwie zahl der die zahl der möglichkeiten die ich habe k köpfe auf entwürfe zu verteilen wobei ich allerdings da noch jeden einzelnen kopf unterscheide ich will aber nicht jeden einzelnen kopf unterscheiden mir ist das egal ob es der kopf war der korb zum zweiten wurf kommen die bilder wissen im zweiten wurf kommt überhaupt keinen kopf deshalb muss ich noch das teilen durch die zahl der kombinationsmöglichkeiten die ich habe diese köpfe hier verschieden auszutauschen also wie viel tausend möglichkeiten besitze ich denn bei diesen bei diesen köpfen und da gibt es eben genau k fakultät tausend möglichkeiten das heißt ich teile das sie noch mal durch k fakultät durch das heißt die zahl der für mich wirklich unterscheidbaren ergebnisse mit karma kopf in entwürfen beträgt eben and akut durch kvk fakultät und wenn ich das noch wissen will wie groß die wahrscheinlichkeit davon ist wahrscheinlichkeit dass sie eben kamerakopf mit entwürfen habe also die die die wahrscheinlichkeit die wahrscheinlichkeit kahlkopf in entwürfen da muss ich diese zahl der ergebnisse wo eben kammer kopf auftaucht die muss ich noch mal teil durch die zahl der ergebnisse die sie insgesamt gibt also da habe ich hier diese durch körperkult durch ein - fakultät das muss ich noch mal teilen durch die zahl der ergebnisse des insgesamt gibt und es gab genau zwei wochen verschiedene ergebnisse gut also hier habe ich diesen ausdruck für die wahrscheinlichkeit in entwürfen kann man kopf zu erhalten und beispiele dazu haben wir schon einige gerechnet also wenn ihr da ein bisschen in der playlist nachschaut da gibt es einige videos wo wir da genau das hier für bestimmte sonderfälle schon berechnet haben