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Analysis - Vorkenntnisse

Kurs: Analysis - Vorkenntnisse > Lerneinheit 5

Lektion 1: Was sind die imaginären Zahlen?
Mathematik
Analysis - Vorkenntnisse
Imaginäre und komplexe Zahlen
Was sind die imaginären Zahlen?
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Potenz der imaginären Einheit

Google Classroom
Wir lernen, jede Potenz der imaginären Einheit i. zu vereinfachen. Vereinfache zum Beispiel i²⁷ zu -i.
Wir wissen, dass i, equals, square root of, minus, 1, end square root gilt und i, squared, equals, minus, 1 ist.
Aber was ist i, cubed? i, start superscript, 4, end superscript? Andere ganzzahlige Potenzen von i? Wie berechnen wir diese?

Bestimme i, cubed und i, start superscript, 4, end superscript

Die Eigenschaften des Exponenten können uns hier helfen! Wenn wir die Potenz von i berechnen, können wir die Eigenschaften des Exponenten anwenden, von denen wir wissen, dass sie im reelle Zahlensystem zutreffen, solange die Exponenten ganzzahlig sind.
Mit diesem Hintergrundwissen können wir Folgendes bestimmen i, cubed und i, start superscript, 4, end superscript.
Wir wissen, dass i, cubed, equals, i, squared, dot, i gilt. Aber da i, squared, equals, minus, 1 ist, sehen wir, dass:
i3=i2⋅i=(−1)⋅i=−i\begin{aligned} i^3 &= {{i^2}}\cdot i\\ \\ &={ (-1)}\cdot i\\ \\ &= \purpleD{-i} \end{aligned}
Ähnlich: i, start superscript, 4, end superscript, equals, i, squared, dot, i, squared. Mit Hilfe der Tatsache, dass i, squared, equals, minus, 1, bekommt man:
i4=i2⋅i2=(−1)⋅(−1)=1\begin{aligned} i^4 &= {{i^2\cdot i^2}}\\ \\ &=({ -1})\cdot ({-1})\\ \\ &= \goldD{1} \end{aligned}

Weitere Potenzen von i

Aber wir machen noch weiter! Lass uns finden die nächsten 4 Potenz von i mit einer ähnlichen Methode finden.
i5=i4⋅i     Potenzregel=1⋅iWeil i4=1=i\begin{aligned} \Large i^5 &= {i^4\cdot i}~~~~~&&\small{\gray{\text{Potenzregel}}}\\ \\ &=1\cdot i&&\small{\gray{\text{Weil $i^4=1$}}}\\ \\ &= \blueD i \end{aligned}
i6=i4⋅i2Potenzregel=1⋅(−1)Weil i4=1 and i2=−1=−1\begin{aligned}\Large i^6 &= {i^4\cdot i^2}&&\small{\gray{\text{Potenzregel}}}\\ \\ &=1\cdot (-1)&&\small{\gray{\text{Weil $i^4=1$ and $i^2=-1$}}}\\ \\ &=\greenD{-1} \end{aligned}
i7=i4⋅i3Potenzregel=1⋅(−i)Weil i4=1 and i3=−i=−i\begin{aligned}\Large i^7 &= {i^4\cdot i^3}&&\small{\gray{\text{Potenzregel}}}\\ \\ &=1\cdot (-i)&&\small{\gray{\text{Weil $i^4=1$ and $i^3=-i$}}}\\ \\ &=\purpleD{-i} \end{aligned}
i8=i4⋅i4    Potenzregel=1⋅1Weil i4=1 =1\begin{aligned}\Large i^8 &= {i^4\cdot i^4~~~~}&&\small{\gray{\text{Potenzregel}}}\\ \\ &=1\cdot 1&&\small{\gray{\text{Weil $i^4=1$ }}}\\ \\ &=\goldD 1 \end{aligned}
Die Ergebnisse sind in der Tabelle zusammengefasst.
i, start superscript, 1, end superscripti, squaredi, cubedi, start superscript, 4, end superscripti, start superscript, 5, end superscripti, start superscript, 6, end superscripti, start superscript, 7, end superscripti, start superscript, 8, end superscript
start color #11accd, i, end color #11accdstart color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54start color #7854ab, minus, i, end color #7854abstart color #e07d10, 1, end color #e07d10start color #11accd, i, end color #11accdstart color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54start color #7854ab, minus, i, end color #7854abstart color #e07d10, 1, end color #e07d10

Ein auftauchendes Muster

Aus der Tabelle scheint es so zusein, dass die Potenzen von i die Sequenz von start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab und start color #e07d10, 1, end color #e07d10 durchlaufen.
Könnenwir durch Verwendung dieses Musters wir i, start superscript, 20, end superscript bestimmen? Probieren wir es!
Die folgende Liste zeigt die ersten 20 Zahlen in der sich wiederholenden Abfolge.
\quadstart color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10
Folgen wir dieser Logik sollte i, start superscript, 20, end superscript gleich start color #e07d10, 1, end color #e07d10 sein. Wir können, ob wir dies mit Hilfe von Potenzieren bestätigen können. Beachte, dass wir hier die Potenzregel verwenden können, wie wir es mit reellen Zahlen machen!
i20=(i4)5Eigenschaften von Exponenten=(1)5i4=1=1Vereinfache\begin{aligned} i^{20} &= (i^4)^5&&\small{\gray{\text{Eigenschaften von Exponenten}}}\\ \\ &= (1)^5 &&\small{\gray{i^4=1}}\\\\ &= \goldD 1 &&\small{\gray{\text{Vereinfache}}}\end{aligned}
So oder so sehen wir das i, start superscript, 20, end superscript, equals, 1.

Größere Potenzen von i

Angenommen, wir wollten jetzt wir i, start superscript, 138, end superscript bestimmen. Wir können die Sequenz start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10,... bis zum 138, start superscript, start text, end text, end superscript, point Term auflisten, aber das würde zu lange dauern!
Beachte aber, das i, start superscript, 4, end superscript, equals, 1, i, start superscript, 8, end superscript, equals, 1, i, start superscript, 12, end superscript, equals, 1, usw. oder, in anderen Worten, dass i hoch Vielfaches von 4 1 ist.
Wir können dies Tatsache zusammen mit den Eigenschaften der Exponenten verwenden um i, start superscript, 138, end superscript vereinfachen.

Beispiel

Vereinfache i, start superscript, 138, end superscript.

Lösung

Während 138 kein Vielfaches von 4 ist, ist es die Zahl 136 hingegen schon! Mit diesem Wissen können wir vereinfachen i, start superscript, 138, end superscript.
i138=i136⋅i2Potenzregel=(i4⋅34)⋅i2136=4⋅34=(i4)34⋅i2Potenzregel=(1)34⋅i2i4=1=1⋅−1i2=−1=−1\begin{aligned} i^{138} &=i^{136}\cdot i^2 &&\small{\gray{\text{Potenzregel}}}\\\\ &=(i^{4\cdot 34})\cdot i^2&&\small{\gray{136=4\cdot 34}} \\\\ &=(i^{4})^{34}\cdot i^2&&\small{\gray{\text{Potenzregel}}} \\\\ &=(1)^{34}\cdot i^2 &&\small{\gray{\text{$i^4=1$}}}\\\\ &=1\cdot -1&&\small{\gray{\text{$i^2=-1$}}}\\\\ &=-1 \end{aligned}
i, start superscript, 138, end superscript, equals, minus, 1.
Man könne sich fragen warum man i, start superscript, 138, end superscript als i, start superscript, 136, end superscript, dot, i, squared schreibt.
Wenn nun der ursprüngliche Exponent kein Vielfaches von 4 ist, dann können wir, indem wir das nächste Vielfache von 4 finden, die Potenz zu i, i, squared oder i, cubed vereinfachen, wobei wir i, start superscript, 4, end superscript, equals, 1 ausnutzen.
Diese Zahl ist leicht zu bestimmen, in dem du den ursprünglichen Exponenten durch 4 teilst. Es ist nur der Quotient (ohne den Rest) mit 4 multipliziert.

Wir lösen einige Übungsaufgaben

Aufgabe 1

Vereinfache i, start superscript, 227, end superscript.

Aufgabe 2

Vereinfache i, start superscript, 2016, end superscript.

Aufgabe 3

Vereinfache i, start superscript, 537, end superscript.

Challenge Aufgabe

Welche der folgenden ist äquivalent zu i, start superscript, minus, 1, end superscript??
Wähle eine Lösung.

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