If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Wenn du hinter einem Webfilter bist, stelle sicher, dass die Domänen *. kastatic.org und *. kasandbox.org nicht blockiert sind.

Hauptinhalt

Einführung in die imaginären Zahlen

Lerne über die imaginäre Einheit i, über imaginäre Zahlen und über der Quadratwurzel von negativen Zahlen.
Während Du Dir mit Mathematik beschäftigt hast, ist Dir vielleicht aufgefallen, dass einige quadratische Gleichungen keine Lösungen mit reelle Zahl haben.
Mann kann es versuchen, so oft man will, aber man wird nie eine reelle Zahl als Lösung für die Gleichung x, squared, equals, minus, 1 finden, da es unmöglich ist, eine reelle Zahl zu quadrieren und eine negative Zahl bekommen!
Aber die Lösung der Gleichung x, squared, equals, minus, 1 existiert in einem neuen Zahlensystem, dem komplexen Zahlensystem.

Die imaginäre Einheit

Das Rückgrat dieses neue Zahlensystem ist die imaginäre Einheit oder die Imaginärzahl i.
Der folgende Aussage über die Zahl i ist wahr:
  • i, equals, square root of, minus, 1, end square root
  • i, squared, equals, minus, 1
Die zweite Eigenschaft zeigt uns, dass die Zahl i in der Tat eine Lösung für die Gleichung x, squared, equals, minus, 1 ist. Die früher unlösbare Gleichung ist jetzt lösbar mit Hilfe der imaginären Einheit!

Rein imaginäre Zahlen

Die Zahl i ist keineswegs allein! Mit einem Vielfachen dieser imaginären Einheit können wir unendlich viele weitere rein imaginäre Zahlen schaffen.
Zum Beispiel sind 3, i, i, square root of, 5, end square root und minus, 12, i alles Beispiele für rein imaginäre Zahlen oder Zahlen der Form b, i, bei der b eine von Null verschiedene reelle Zahl ist.
Die Quadrate dieser Zahlen beleuchten ihre Verbindung zu den reellen Zahlen. Wir untersuchen dies durch Quadrieren der Zahl 3, i. Die Eigenschaften der ganzzahligen Exponenten bleiben gleich, deshalb können wir 3, i wie gewohnt quadrieren.
(3i)2=32i2=9i2\begin{aligned}(3i)^2&=3^2i^2\\ \\ &=9{i^2}\\\\ \end{aligned}
Mittels der Tatsache i, squared, equals, minus, 1 können wir dies weiter vereinfachen.
(3i)2=9i2=9(1)=9\begin{aligned}\phantom{(3i)^2} &=9\goldD{i^2}\\\\ &=9(\goldD{-1})\\\\ &=-9 \end{aligned}
Die Tatsache, dass left parenthesis, 3, i, right parenthesis, squared, equals, minus, 9 bedeutet, dass 3, i eine Quadratwurzel von minus, 9 ist.

Überprüfe, ob du es verstanden hast

Was ist left parenthesis, 4, i, right parenthesis, squared?
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Welche der folgenden Zahlen ist eine Quadratwurzel von minus, 16?
Wähle eine Lösung.
Wähle eine Lösung.

Auf diese Weise können wir sehen, dass rein imaginäre Zahlen die Quadratwurzeln von negativen Zahlen sind!

Vereinfachung von rein imaginären Zahlen

Die Tabelle unten zeigen Beispiele von rein imaginäre Zahlen in beide unvereinfachter und vereinfachter Form.
unvereinfachte Formvereinfachte Form
square root of, minus, 9, end square root3, i
square root of, minus, 5, end square rooti, square root of, 5, end square root
minus, square root of, minus, 144, end square rootminus, 12, i
Aber wie vereinfachen wir diese rein imaginären Zahlen?
Werfen wir einen genaueren Blick auf das erste Beispiel und wir sehen, ob wir die Vereinfachung durch denken können.
Ursprüngliche GleichungDenk Prozess
9=3i\begin{aligned}\sqrt{-9} = 3i \end{aligned}Die Quadratwurzel von minus, 9 ist eine imaginäre Zahl. Die Quadratwurzel von 9 ist 3. Also ist die Quadratwurzel von minus 9 start text, 3, end text imaginäre Einheiten oder 3, i.
Die folgende Eigenschaft erklärt den oben genannten ,,Denk Prozess'' in mathematischer Form.
Füra, is greater than, 0 gilt square root of, minus, a, end square root, equals, i, square root of, a, end square root
Wenn wir dies mit dem verbinden, was wir schon über radikale Vereinfachung wissen, können wir alle rein imaginären Zahlen vereinfachen. Schauen wir uns ein Beispiel an.

Beispiel

Vereinfache square root of, minus, 18, end square root.

Lösung

Zunächst stellen wir fest, dass square root of, minus, 18, end square root eine imaginäre Zahl ist, da es die Quadratwurzel einer negativen Zahl ist. Also können wir square root of, minus, 18, end square root zu i, square root of, 18, end square root umformen.
Als nächstes können wir square root of, 18, end square root vereinfachen in dem wir annehmen, was wir schon über die Vereinfachung von Radikalen wissen.
Die Aufgabe ist unten dargestellt.
18=i18Fu¨a>0a=ia ist=i929 ist eine Quadratzahl und ein Faktor von 18=i92ab=ab wenn a,b0ist=i329=3=3i2Multiplikation ist kommutativ\begin{aligned}\sqrt{-18}&=i\sqrt{18}&&\small{\gray{\text{Für $a>0$, $\sqrt{-a}=i\sqrt{a}$ ist}}}\\\\ &=i\cdot\sqrt{9\cdot 2}&&\small{\gray{\text{$9$ ist eine Quadratzahl und ein Faktor von $18$}}}\\\\ &=i\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}&&\small{\gray{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} \text{ wenn } a, b\geq0} ist} \\\\ &=i\cdot 3\cdot \sqrt2&&\small{\gray{\sqrt{9}=3}}\\\\ &=3i\sqrt{2}&&\small{\gray{\text{Multiplikation ist kommutativ}}} \end{aligned}
Es folgt, dass square root of, minus, 18, end square root, equals, 3, i, square root of, 2, end square root.

Wir lösen einige Übungsaufgaben

Aufgabe 1

Vereinfache square root of, minus, 25, end square root.

Aufgabe 2

Vereinfache square root of, minus, 10, end square root.

Aufgabe 3

Vereinfache square root of, minus, 24, end square root.

Warum verwenden wir überhaupt imaginäre Zahlen?

Die Antwort ist einfach. Die imaginäre Einheit i erlaubt uns Lösungen für viele Gleichungen zu finden, die keine reellen Lösungen haben.
Das ist vielleicht seltsam, aber es ist tatsächlich sehr häufig, dass Gleichungen in einem Zahlensystem unlösbar sind, in einem anderen, allgemeinere Zahlensystem lösbar sind.
Hier sind einige Beispiele bei denen du vielleicht mehr weißt.
  • Nur mit den natürlichen Zahlen können wir x, plus, 8, equals, 1 nicht lösen. Deshalb brauchen wir die ganzen Zahlen!
  • Nur mit den ganzen Zahlen können wir 3, x, minus, 1, equals, 0 nicht lösen. Deshalb brauchen wir die rationalen Zahlen!
  • Mit den rationalen Zahlen alleine können wir x, squared, equals, 2 nicht lösen. Deshalb brauchen wir die irrationalen Zahlen und das reelle Zahlensystem!
Lässt sich x, squared, equals, minus, 1 nicht nur mit den reellen Zahlen lösen. Dafür brauchen wir die imaginären Zahlen.
Wenn du weiter Mathematik lernst, wirst du sehen, dass wie wichtig diese Zahlen sind.