Einführung in die komplexen Zahlen

Die meiste Zeit hast du dich in der Mathematik mit reellen Zahlen beschäftigt. Reelle Zahlen beinhalten Zahlen wie z.B. 0, 1, oder 0,3¯ und π, e, und ich könnte weitere reelle Zahlen aufschreiben. Das sind die Zahlen, die du schon kennst. Dann haben wir uns etwas Interessantes angeschaut, und zwar die Frage: Was wäre, wenn es eine Zahl gäbe, die, wenn ich sie zum Quadrat nehmen würde, -1 ergeben würde? Und dieses Ding, das wir zum Quadrat genommen und -1 erhalten haben, haben wir als i definiert. Wir haben eine komplett neue Art von Zahlen definiert, die wir als Vielfache der imaginären Einheit betrachten können. Imaginäre Zahlen sind z.B. i, -i, π ⋅ i, e ⋅ i. Dadurch stellt sich eine weitere interessante Frage. Was, wenn ich imaginäre und reelle Zahlen kombiniere? Was, wenn ich Zahlen hätte, die Summen oder Differenzen von reellen oder imaginären Zahlen wären? Sagen wir, ich hätte z.B. die Zahl z. z ist die am meisten verwendete Variable, wenn es um komplexe Zahlen geht. Sagen wir, dass z = 5 + 3 ⋅ i. Wir haben hier also eine reelle Zahl + eine imaginäre Zahl. Du willst diese beiden Dinge addieren, aber das kannst du nicht. Es würde keinen Sinn ergeben, da du diese Rechnung nicht weiter vereinfachen kannst. Du kannst diese reelle Zahl nicht mit dieser imaginären Zahl addieren. Diese Zahl ist reell, und diese Zahl ist imaginär. So eine Zahl nennen wir komplex. Eine komplexe Zahl. Sie hat einen reellen und einen imaginären Teil. Manchmal steht dort eine Anmerkung, oder jemand fragt, welches der reelle Teil ist. Was ist der reelle Teil unserer komplexen Zahl z? Re(z) = ? Das wäre die 5 hier drüben. Oder jemand fragt nach dem imaginären Teil. Was ist der imaginäre Teil unserer komplexen Zahl z? Im(z) = ? So wie diese Funktion aufgebaut ist, wird meistens danach gefragt, welches Vielfache von i dieser imaginäre Teil hier drüben ist. In diesem Fall haben wir 3. Wir können das in zwei Dimensionen darstellen. Anstatt der traditionellen, zweidimensionalen kartesischen Ebene mit reellen Zahlen auf der horizontalen und der vertikalen Achse, stellen wir die stattdessen die komplexen Zahlen so dar, dass wir den imaginären Teil auf der vertikalen Achse darstellen, und auf der horizontalen Achse den reellen Teil darstellen. Für unser Beispiel z haben wir 5 + 3i. Der reelle Teil ist 5, also zählen wir 1, 2, 3, 4, 5 ab, und markieren die 5. Der imaginäre Teil ist 3. 1, 2, 3. Auf der komplexen Ebene würden wir diese Zahl genau hier darstellen. So würden wir z auf der komplexen Ebene darstellen. +5 in die reelle Richtung, +3 in die imaginäre Richtung. Wir könnten weitere komplexe Zahlen darstellen. Nehmen wir z.B. die komplexe Zahl a = -2 + i. Wo würde ich sie darstellen? Der reelle Teil ist -2, und der imaginäre Teil ist 1, also gehen wir 1 nach oben. Genau hier. Das ist unsere komplexe Zahl. Unsere komplexe Zahl a wäre an diesem Punkt der komplexen Ebene. Machen wir noch ein Beispiel. Nehmen wir die komplexe Zahl b = 4 - 3i. Wo zeichnen wir sie ein? Wir zählen 1, 2, 3, 4, und dann -1, -2, -3. Wir kommen genau hier an. Das hier ist unsere komplexe Zahl b.