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Analysis - Vorkenntnisse

Kurs: Analysis - Vorkenntnisse > Lerneinheit 5

Lesson 2: Was sind die komplexen Zahlen?
Mathematik
Analysis - Vorkenntnisse
Imaginäre und komplexe Zahlen
Was sind die komplexen Zahlen?
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Einführung in die komplexen Zahlen

Google Classroom
Lerne, was komplexe Zahlen sind und was ihr Realteil und Imaginärteil sind.
Im reellen Zahlensystem gibt es keine Lösung der Gleichung x, squared, equals, minus, 1. In dieser Lektion werden wir ein neues Zahlensystem kennenlernen in dem die Gleichung eine Lösung hat.
Das Rückgrat dieses neuen Systems ist die Zahl i.
i, equals, square root of, minus, 1, end square root
Wenn wir Vielfache dieser imaginäre Einheit nehmen, können wir unendlich viele neue Zahlen erzeugen. Zum Beispiel: 3, i, i, square root of, 5, end square root und minus, 12, i sind alle Beispiele für rein imaginären Zahlen, oder Zahlen der Form b, i, wobei b eine reelle Zahl ungleich Null ist.
Addiert man reelle Zahlen zu diesen rein imaginäre Zahlen resultieren noch mehr Zahlen das Art 2, plus, 7, i oder 3, minus, square root of, 2, end square root, i. Diese Zahlen sind weder rein imaginäre Zahlen noch reelle Zahlen. Stattdessen gehören sie der Menge der komplexen Zahlen.

Definition der komplexen Zahlen

A komplexe Zahl ist eine beliebige Zahl, die als start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i geschrieben werden kann, wobei i die imaginäre Einheit ist und start color #1fab54, a, end color #1fab54 und start color #11accd, b, end color #11accd reelle Zahlen sind.
Der start color #1fab54, start text, R, e, a, l, end text, end color #1fab54teil der Zahl, oder start color #1fab54, a, end color #1fab54, ist die reelle Zahl, die zur rein imaginären Zahl addiert wird.
Der start color #11accd, start text, I, m, a, g, i, n, a, with, \", on top, r, end text, end color #11accdteil der Zahl, oder start color #11accd, b, end color #11accd, ist der relle Koeffizient der rein imaginären Zahl.
Die untenstehene Tabelle zeigt Beispiele von komplexen Zahlen, in denen die Real- und Imaginärteile markiert sind. Viele Leute finden es einfacher, die Real- und Imaginärteile zu identifizieren, wenn die Zahl in Standardform geschrieben ist.
Komplexe ZahlStandardform start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, iBeschreibung der Teile
7, i, minus, 2start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 7, end color #11accd, iDer Realteil ist start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54 und der Imaginärteil ist start color #11accd, 7, end color #11accd.
4, minus, 3, istart color #1fab54, 4, end color #1fab54, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, right parenthesis, iDer Realteil ist start color #1fab54, 4, end color #1fab54 und der Imaginärteil ist start color #11accd, minus, 3, end color #11accd
space, space, space, space, space, space, space, 9, istart color #1fab54, 0, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 9, end color #11accd, iDer Realteil ist start color #1fab54, 0, end color #1fab54 und der Imaginärteil ist start color #11accd, 9, end color #11accd
space, space, space, space, minus, 2start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 0, end color #11accd, iDer Realteil ist start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54 und der Imaginärteil ist start color #11accd, 0, end color #11accd

Überprüfe dein Verständnis

Aufgabe 1

Was ist der Realteil von 13, comma, 2, i, plus, 1?
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Aufgabe 2

Was ist der Imaginärteil von 21, minus, 14, i?
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Aufgabe 3

Was ist der Realteil von 17, i?
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Klassifizieren die komplexe Zahlen

Vielleicht hast du bemerkt, dass oben 9, i und minus, 2 als Beispiel für komplexe Zahlen gegeben wurden. Obwohl sie als rein imaginär b.z.w. reelle Zahlen klassifiziert werden können.
Schauen wir uns das genauer an und versuchen zu verstehen, wie die Zahlenmengen zusammenpassen.
9, i ist eine rein imaginäre Zahl. Wir können diese Zahl auch als start color #1fab54, 0, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 9, end color #11accd, i ausdrücken. Deshalb ist 9, i sowohl eine rein imaginäre Zahl und eine komplexe Zahl! Tatsächlich ist jede rein imaginäre Zahl auch eine komplexe Zahl.
Ebenso ist minus, 2 eine reelle Zahl. Jedoch können wir auch minus, 2 als start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 0, end color #11accd, i aufschreiben. Deshalb ist minus, 2 ist sowohl eine reelle Zahl als auch eine komplexe Zahl! Tatsächlich ist jede reelle Zahl auch eine komplexe Zahl.
Im Allgemeinen werden alle von Null verschiedenen komplexe Zahlen a, plus, b, i auch...
  • ...eine rein imaginäre Zahl, wenn a, equals, 0 ist.
  • ...eine reell Zahl, wenn b, equals, 0 ist.
Das Diagramm zeigt, wie reelle, rein imaginäre und die komplexen Zahlen Mengen zusammenpassen. Beispiele für Zahlen von jedem Typ werden gegeben.

Eine Frage zum Nachdenken

Ist die folgende Aussage wahr oder falsch?
Jede komplexe Zahl ist entweder reell oder rein imaginär.
Wähle eine Lösung.

Beispiele

In der folgenden Tabelle haben wir einige Nummern als reelle, rein imaginäre und/oder komplexe Zahlen eingeordnet.
Reell(b=0)\begin{aligned}&\text{Reell}\\&(b=0)\end{aligned}Rein Imagina¨r(a=0)\begin{aligned}&\text{Rein Imaginär}\\&(a=0)\end{aligned}Komplex(a+bi)\begin{aligned}&\text{Komplex}\\&(a+bi)\end{aligned}
7+8i(7+8i)\begin{aligned}&7+8i\\&(\greenD{7}+\blueD{8}i)\end{aligned}X
3(3+0i)\begin{aligned}&\sqrt{3}\\&(\greenD{\sqrt{3}}+\blueD{0}i)\end{aligned}XX
1(1+0i)\begin{aligned}&1\\&(\greenD{1}+\blueD{0}i)\end{aligned}XX
−1,3i(0+(−1,3)i)\begin{aligned}&-1{,}3i\\&(\greenD{0}+(\blueD{-1{,}3})i)\end{aligned}XX
100i(0+100i)\begin{aligned}&100i\\&(\greenD{0}+\blueD{100}i)\end{aligned}XX
Beachte, dass alle Zahlen in der Tabelle komplexe Zahlen sind. Dies ist generell wahr!

Jetzt versuch du es!

Aufgabe 4

Welcher Zahlentyp ist minus, 2, plus, 3, i?
Wähle alle zutreffenden Lösungen:

Aufgabe 5

Welcher Zahlentyp ist 10, comma, 2?
Wähle alle zutreffenden Lösungen:

Aufgabe 6

Welcher Zahlentyp ist minus, 17, i?
Wähle alle zutreffenden Lösungen:

Warum sind diese Zahlen wichtig?

Warum befassen wir uns dennoch mit komplexen Zahlen? Ob Du es glaubst, oder nicht, komplexe Zahlen kommen oft zur Anwendung, zum Beispiel in der Elektrotechnik oder Quantenmechanik!
Aus rein mathematische Sicht ist es eine coole Sache, dass die komplexen Zahlen es uns erlauben alle Polynomgleichungen zu lösen.
Zum Beispiel hat die Polynomgleichung x, squared, minus, 2, x, plus, 5, equals, 0 weder eine reelle Lösung noch rein imaginäre Lösungen. Aber sie hat zwei komplexe Lösungen: 1, plus, 2, i und 1, minus, 2, i.
Im Lange unseres Studiums der Mathematik werden, wir mehr über diese Zahlen und wo sie benutzt werden lernen.

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