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Algebra - Vorkenntnisse

Kurs: Algebra - Vorkenntnisse > Lerneinheit 15

Lektion 2: Gleichungssystem mit Zeichnen
Mathematik
Algebra - Vorkenntnisse
Gleichungssysteme
Gleichungssystem mit Zeichnen
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Gleichungssystem mit Zeichnen

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Ausführliche Beispiele für das Lösen von Gleichungssystemen durch Finden des Schnittpunkts.
Wir können die Lösung für ein Gleichungssystem durch das graphische Darstellen der Gleichungen finden. Wir wollen dies den folgenden Gleichungssystemen tun:
start color #e07d10, y, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x, plus, 3, end color #e07d10
start color #0d923f, y, equals, x, plus, 1, end color #0d923f
Zuerst wollen wir die erste Gleichung start color #e07d10, y, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x, plus, 3, end color #e07d10 graphisch darstellen. Beachte, dass die Gleichung bereits in der Normalform angegeben ist, daher können wir sie zeichnen, indem wir bei dem y-Achsenabschnitt von 3 beginnen und dann aufwärts zu 1 und dann von dort nach rechts zur 2 gehen.
Als nächstes stellen wir die zweite Gleichung start color #0d923f, y, equals, x, plus, 1, end color #0d923f graphisch dar.
Es gibt genau einen Punkt bei dem sich die Graphen schneiden. Dies ist die Lösung des Gleichungssystem.
Dies macht Sinn, weil jeder Punkt auf der goldenen Gerade eine Lösung der Gleichung start color #e07d10, y, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x, plus, 3, end color #e07d10 ist und jeder Punkt auf der grünen Gerade eine Lösung von start color #0d923f, y, equals, x, plus, 1, end color #0d923f ist. Also ist der einzige Punkt, der eine Lösung von beiden Gleichungen ist der Schnittpunkt

Die Lösung prüfen

Also, aus dem graphischen Darstellen der beiden Gleichungen fanden wir heraus, dass das Wertepaar left parenthesis, 4, vertical bar, 5, right parenthesis eine Lösung des Systems ist. Wir wollen dies überprüfen, indem wir x, equals, 4 und y, equals, 5 in jedes Gleichung einsetzen.
Die erste Gleichung:
y=12x+35=?12(4)+3Setze x = 4 und y = 5 ein5=5Ja!\begin{aligned} \goldD{y} &\greenE= \goldD{\dfrac12x + 3} \\\\ 5&\stackrel?= \dfrac12(4) + 3 &\gray{\text{Setze x = 4 und y = 5 ein}}\\\\ 5 &= 5 &\gray{\text{Ja!}}\end{aligned}
Die zweite Gleichung:
y=x+15=?4+1Setze x = 4 und y = 5 ein5=5Ja!\begin{aligned} \greenE{y} &\greenE= \greenE{x+1} \\\\ 5&\stackrel?= 4 + 1 &\gray{\text{Setze x = 4 und y = 5 ein}}\\\\ 5 &= 5 &\gray{\text{Ja!}}\end{aligned}
Schön! left parenthesis, 4, vertical bar, 5, right parenthesis ist in der Tat eine Lösung.

Üben wir!

Aufgabe 1

Das folgende Gleichungssystem ist unten graphisch dargestellt.
y, equals, minus, 3, x, minus, 7
y, equals, x, plus, 9
Bestimme die Lösung des Gleichungssystems.
x, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
y, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Aufgabe 2

Hier ist ein Gleichungssystem:
y, equals, 5, x, plus, 2
y, equals, minus, x, plus, 8
Stelle beide Gleichungen grafisch dar.
Bestimme die Lösung des Gleichungssystems.
x, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
y, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Aufgabe 3

Hier ist ein Gleichungssystem:
8, x, minus, 4, y, equals, 16
8, x, plus, 4, y, equals, 16
Stelle beide Gleichungen grafisch dar.
Bestimme die Lösung des Gleichungssystems.
x, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
y, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Challenge Aufgaben

1) Wie viele Lösungen hat hat unten graphisch dargestellte Gleichungssystem?
Wähle eine Lösung.

2) Wie viele Lösungen hat das unten graphisch dargestellte Gleichungssystem?
(Die zwei Geraden sind parallel, daher schneiden sie sich nicht)
Wähle eine Lösung.

3) Wie viele Lösungen hat das unten graphisch dargestellte Gleichungssystem?
(Die zwei Geraden sind genau gleich. Sie liegen direkt aufeinander, daher haben sie eine unendliche Anzahl von Schnittpunkten.)
Wähle eine Lösung.

4) Ist es für ein System von linearen Gleichungen möglich genau zwei Lösungen zu haben?
Hinweis: Denke über den Graph in der Aufgabe oben nach.
Wähle eine Lösung.

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