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Algebra - Vorkenntnisse

Kurs: Algebra - Vorkenntnisse > Lerneinheit 15

Lektion 3: Gleichungssysteme durch Substitution lösen
Mathematik
Algebra - Vorkenntnisse
Gleichungssysteme
Gleichungssysteme durch Substitution lösen
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Gleichungssysteme mit Ersetzung

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Ausführliche Beispiele für das Lösen von Gleichungssystemen durch Substitution.
Lass uns dieses Gleichungssystem lösen:
y, equals, 2, x, space, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, G, l, e, i, c, h, u, n, g, space, 1, end text, end color gray
x, plus, y, equals, 24, space, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, G, l, e, i, c, h, u, n, g, space, 2, end text, end color gray
Das Schwierige ist, dass es zwei Variablen x und y gibt. Wenn wir nur eine der Variablen loswerden könnten...
Hier ist eine Idee! Gleichung 1 sagt uns, dass start color #e07d10, 2, x, end color #e07d10 und start color #e07d10, y, end color #e07d10 gleich sind. Also setzen wir start color #e07d10, 2, x, end color #e07d10 für start color #e07d10, y, end color #e07d10 in Gleichung 2 ein, um die y-Variable in dieser Gleichung loszuwerden:
x+y=24Gleichung 2x+2x=24Setze 2x fur y ein\begin{aligned} x + \goldD y &= 24 &\gray{\text{Gleichung 2}} \\\\ x + \goldD{2x} &= 24 &\gray{\text{Setze 2x fur y ein}}\end{aligned}
Hervorragend! Nun habenwir eine Gleichung mit nur der x-Variable, von der wir wissen, wie wir sie lösen:
x+2x=243x=24 3x3=243Dividiere jede Seite durch 3x=8
Schön! Nun wissen wir also, dass x gleich 8 ist. Aber erinnere dich daran, dass wir nach einem Wertepaar suchen. Wir benötigen auch einen y-Wert. Wir wollen die erste Gleichung benutzen um y herauszufinden, wenn x gleich 8 ist:
y=2xGleichung 1y=2(8)Setze 8 fu¨r x einy=16\begin{aligned} y &= 2\blueD x &\gray{\text{Gleichung 1}} \\\\ y &= 2(\blueD8) &\gray{\text{Setze 8 für x ein}}\\\\ \greenD y &\greenD= \greenD{16}\end{aligned}
Süß! Die Lösung des Gleichungssystems ist also left parenthesis, start color #11accd, 8, end color #11accd, vertical bar, start color #1fab54, 16, end color #1fab54, right parenthesis. Es ist immer eine gute Idee die Lösung in den Originalgleichungen zu überprüfen um sicher zu sein.
Wir wollen die erste Gleichung prüfen:
y=2x16=?2(8)Setze x = 8 und y = 16 ein16=16Ja!\begin{aligned} y &= 2x \\\\ \greenD{16} &\stackrel?= 2(\blueD{8}) &\gray{\text{Setze x = 8 und y = 16 ein}}\\\\ 16 &= 16 &\gray{\text{Ja!}}\end{aligned}
Wir wollen die zweite Gleichung prüfen:
x+y=248+16=?24Setze x = 8 und y = 16 ein24=24Ja!\begin{aligned} x +y &= 24 \\\\ \blueD{8} + \greenD{16} &\stackrel?= 24 &\gray{\text{Setze x = 8 und y = 16 ein}}\\\\ 24 &= 24 &\gray{\text{Ja!}}\end{aligned}
Super! left parenthesis, start color #11accd, 8, end color #11accd, vertical bar, start color #1fab54, 16, end color #1fab54, right parenthesis ist in der Tat eine Lösung. Wir dürften keine Fehler gemacht haben.
Du bist an der Reihe ein Gleichungssystem durch Einsetzen zu lösen.
Benutze das Einsetzen um das folgende Gleichungssystem zu lösen.
4, x, plus, y, equals, 28
y, equals, 3, x
x, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
y, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Nach einer Variable auflösen und dann das Einsetzen benutzen

Manchmal ist das Einsetzen etwas kniffliger. Hier ist eine anderes Gleichungssystem:
minus, 3, x, plus, y, equals, minus, 9, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, G, l, e, i, c, h, u, n, g, space, 1, end text, end color gray
5, x, plus, 4, y, equals, 32, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, G, l, e, i, c, h, u, n, g, space, 2, end text, end color gray
Beachte, dass noch keine dieser Gleichungen nach x oder y aufgelöst sind. Als Ergebnis ist der erste Schritt, zuerst nach x oder y aufzulösen. Hier findest du, wie es geht:
Schritt 1: Löse eine der Gleichungen nach einer der Variablen auf.
Lass uns die erste Gleichung nach y auflösen:
−3x+y=−9Gleichung 1−3x+y+3x=−9+3xAddiere 3x auf jeder Seitey=−9+3x\begin{aligned} -3x + y &= -9 &\gray{\text{Gleichung 1}} \\\\ -3x + y + \maroonD{3x} &= -9 +\maroonD{3x} &\gray{\text{Addiere 3x auf jeder Seite}} \\\\ y &= {-9 +3x} &\gray{\text{}}\end{aligned}
Schritt 2: Setze diese Gleichung in die andere Gleichung ein und löse sie nach x auf.
5x+4y=32Gleichung 25x+4(−9+3x)=32Setze -9 + 3x fu¨r y ein5x−36+12x=3217x−36=3217x=68x=4Dividiere jede Seite durch 17\begin{aligned} 5x + 4\goldD y &= 32 &\gray{\text{Gleichung 2}} \\\\ 5x +4(\goldD{-9 + 3x}) &= 32 &\gray{\text{Setze -9 + 3x für y ein}} \\\\ 5x -36 +12x &= 32 &\gray{\text{}} \\\\ 17x - 36 &= 32 &\gray{\text{}} \\\\ 17x &= 68 &\gray{\text{}} \\\\ \blueD x &\blueD= \blueD4 &\gray{\text{Dividiere jede Seite durch 17}}\end{aligned}
Schritt 3: Setze x, equals, 4 in eine der Originalgleichungen ein und löse sie nach y auf.
−3x+y=−9Die erste Gleichung−3(4)+y=−9Setze 4 fu¨r x ein−12+y=−9y=3Addiere 12 auf jeder Seite\begin{aligned} -3\blueD x + y &= -9 &\gray{\text{Die erste Gleichung}} \\\\ -3(\blueD{4}) +y &= -9 &\gray{\text{Setze 4 für x ein}} \\\\ -12 + y &= -9 &\gray{\text{}} \\\\ \greenD y &\greenD= \greenD3 &\gray{\text{Addiere 12 auf jeder Seite}} \end{aligned}
Daher ist unsere Lösung left parenthesis, start color #11accd, 4, end color #11accd, comma, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis.

Üben wir!

1) Benutze das Einsetzen um das folgende Gleichungssystem zu lösen.
2, x, minus, 3, y, equals, minus, 5
y, equals, x, minus, 1
x, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
y, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

2) Benutze das Einsetzen um das folgende Gleichungssystem zu lösen.
minus, 7, x, minus, 2, y, equals, minus, 13
x, minus, 2, y, equals, 11
x, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
y, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

3) Benutze das Einsetzen um das folgende Gleichungssystem zu lösen.
minus, 3, x, minus, 4, y, equals, 2
minus, 5, equals, 5, x, plus, 5, y
x, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
y, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

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