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Einsetzungsverfahren - Wiederholung (Gleichungssysteme)

Das Einsetzungsverfahren ist ein ein Technik um ein lineares Gleichungssystem zu lösen. Dieser Artikel wiederholt die Technik mit mehreren Beispielen und einigen Übungsaufgaben für dich, um dies selbst zu versuchen,

Was ist das Einsetzungsverfahren?

Das Einsetzungsverfahren ist eine Technik lineare Gleichungssysteme zu lösen. Wir wollen ein paar Beispiele durchgehen

Beispiel 1

Wir sollen dieses Gleichungssystem lösen:
3x+y=3x=y+3\begin{aligned} 3x+y &= -3\\\\ x&=-y+3 \end{aligned}
Die zweite Gleichung wird nach x aufgelöst, daher können wir den Term minus, y, plus, 3 für x in die erste Gleichung einsetzen:
3x+y=33(y+3)+y=33y+9+y=32y=12y=6 \begin{aligned} 3\blueD{x}+y &= -3\\\\ 3(\blueD{-y+3})+y&=-3\\\\ -3y+9+y&=-3\\\\ -2y&=-12\\\\ y&=6 \end{aligned}
Setzen wir diesen Wert in unsere Originalgleichung ein, also x, equals, minus, y, plus, 3, lösen wir nach der anderen Variable auf:
x=y+3x=(6)+3x=3\begin{aligned} x &= -\blueD{y} +3\\\\ x&=-(\blueD{6})+3\\\\ x&=-3 \end{aligned}
Die Lösung des Gleichungssystems lautet x, equals, minus, 3, y, equals, 6.
Wir können unsere Lösung überprüfen, indem wir diese Zahlen in den Originalgleichungen einsetzen. Wir versuchen 3, x, plus, y, equals, minus, 3.
3x+y=33(3)+6=?39+6=?33=3\begin{aligned} 3x+y &= -3\\\\ 3(-3)+6&\stackrel ?=-3\\\\ -9+6&\stackrel ?=-3\\\\ -3&=-3 \end{aligned}
Ja, unsere Lösung ist überprüft.

Beispiel 2

Wir sollen dieses Gleichungssystem lösen:
7x+10y=362x+y=9\begin{aligned} 7x+10y &= 36\\\\ -2x+y&=9 \end{aligned}
Um das Einsetzungsverfahren anzuwenden, müssen wir eine der Gleichungen nach x oder y auflösen. Wir lösen die zweite Gleichung nach y auf:
2x+y=9y=2x+9\begin{aligned} -2x+y&=9 \\\\ y&=2x+9 \end{aligned}
Nun können wir den Term 2, x, plus, 9 in für y in die erste Gleichung unseres Systems einsetzen:
7x+10y=367x+10(2x+9)=367x+20x+90=3627x+90=363x+10=43x=6x=2 \begin{aligned} 7x+10\blueD{y} &= 36\\\\ 7x+10\blueD{(2x+9)}&=36\\\\ 7x+20x+90&=36\\\\ 27x+90&=36\\\\ 3x+10&=4\\\\ 3x&=-6\\\\ x&=-2 \end{aligned}
Setzen wir diesen Wert in unsere Originalgleichung ein, also y, equals, 2, x, plus, 9, lösen wir nach der anderen Variable auf:
y=2x+9y=2(2)+9y=4+9y=5\begin{aligned} y&=2\blueD{x}+9\\\\ y&=2\blueD{(-2)}+9\\\\ y&=-4+9 \\\\ y&=5 \end{aligned}
Die Lösung des Gleichungssystems lautet x, equals, minus, 2, y, equals, 5.
Möchtest du mehr über das Einsetzungsverfahren erfahren? Dann schau dir dieses Video an.

Übung

Aufgabe 1
Löse das folgende Gleichungssystem.
5x+4y=3x=2y15\begin{aligned} -5x+4y &= 3\\\\ x&=2y-15 \end{aligned}
x, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
y, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Möchtest du mehr üben? Schau dir diese Übung an.