Einführung in Verhältnisse

Wir haben hier Äpfel und Orangen. Und worüber ich nachdenken möchte ist, was ist das Verhältnis von Äpfeln zu Orangen? Und nur um klarzustellen worüber wir gerade sprechen, ein Verhältnis gibt uns die Beziehung zwischen Mengen zweier verschiedener Dinge. Nun gibt es eine einige Wege das anzugeben. Wir können einfach die Zahl der Äpfel zählen: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Wir haben also sechs Äpfel. Und wir können sagen, das Verhältnis wird sein: 6 zu... Und nun, wie viele Orangen haben wir? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Es ist 6 zu 9. Das Verhältnis von Äpfeln zu Orangen ist 6 zu 9. Und man kann verschiedene Schreibweisen verwenden. Man könnte es auch so schreiben: 6:9 Man würde immer noch sagen "6 zu 9". Aber wir müssen damit nicht zufrieden sein. Denn ein anderer Weg, sich Verhältnisse vorzustellen, insbesondere, wenn wir an Äpfel zu Orangen denken, ist: Wie viele Äpfel haben wir für eine bestimmte Anzahl Orangen? Und wenn man so darüber nachdenkt, kann man diese Zahlen vereinfachen, wie ihr euch vielleicht schon gedacht habt. 6 und 9 sind beide teilbar durch 3. Also genauso wie wir Brüche vereinfachen können, können wir genauso Verhältnisse vereinfachen. Wenn man 6 und 9 durch 3 teilt, 6 dividiert durch 3 ist 2, und 9 dividiert durch 3 ist 3. Wir können also auch sagen, dass das Verhältnis von Äpfeln zu Orangen 2 zu 3 ist. Oder, wenn wir es so schreiben wollen, 2:3. Gibt das Sinn? Nun, schau her, wir dividieren jede dieser Gruppen durch 3, also man kann es sich so denken, wenn man alles in drei Gruppen aufteilt, -- also eine Gruppe, zwei Gruppen, drei gleich große Gruppen. Wir sehen, dass in jeder Gruppe auf jeweils zwei Äpfel drei Orangen kommen. Also, wiederum, das Verhältnis von Äpfeln zu Orangen: für jeweils zwei Äpfel haben wir drei Orangen. Wir könnten auch umgekehrt darüber nachdenken. Wir könnten uns auch überlegen, was ist das Verhältnis von Orangen zu Äpfeln? Und hier werden wir einfach die Zahlen vertauschen. (schreibt:) Verhältnis von Orangen zu Äpfeln Hier haben wir gesagt "Äpfel zu Orangen", was 6:9 oder 2:3 ist. Und hier sagen wir "Orangen zu Äpfel", wir haben die beiden also vertauscht, und genauso werden wir die Zahlen vertauschen. Hier haben wir 9 Orangen auf 6 Äpfel. Das Verhältnis ist also 9 zu 6. Oder wenn wir es vereinfachen wollen, dividieren wir das durch 3, für jeweils 3 Orangen haben wir 2 Äpfel. Nun, das ist genau dasselbe, was wir hier hatten, aber als wir Äpfel zu Orangen hatten, war es 6 zu 9, 6 Äpfel auf 9 Orangen. Jetzt haben wir Orangen zu Äpfel, und sagen es ist 9 zu 6. 9 Orangen auf jeweils 6 Äpfel. Oder wir könnten sagen, auf jeweils 3 Orangen haben wir exakt 2 Äpfel.