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Größter gemeinsamer Teiler, Übungsaufgabe Wir werden gefragt: "Was ist der größte gemeinsame Teiler von 20 und 40?" Und sie sagen dazu "eine andere Schreibweise ist: das hier ist der ggT, oder größte gemeinsame Teiler, von 20 und 40, ist gleich, Fragezeigen." 'Größter gemeinsamer Teiler' klingt sehr kompliziert, aber es sagt wirklich nur: was ist die größte Zahl, die sowohl in 20 als auch in 40 hineingeht? Nun, dieses Beispiel scheint recht einfach zu sein, weil 20 schon in 40 hineingeht. Oder anders gesagt: diese 40 kann durch 20 dividiert werden, ohne daß ein Rest bleibt. also die größte Zahl, die ein-- ich glaube, du könntest sagen-- Teiler von sowohl 20 als auch 40 ist tatsächlich 20. 20 ist 20 mal 1, und 40 ist 20 mal 2. Also müssen wir bei diesen Angaben nicht einmal unser Papier hervornehmen. Wir können einfach 20 schreiben. Laß uns noch einige mehr von denen lösen. Wir werden also gefragt: "Was ist der größte gemeinsame Teiler von 10 und 7?" Dafür holen wir jetzt unser Papier hervor. Also unser größter gemeinsamer Teiler von 10 und 7. Also laß mich das aufschreiben. Wir haben 10. Wir wollen überlegen: was ist unser ggT von 10 und 7? Da gibt es zwei Möglichkeiten, wie du an das herangehen kannst. Eine Möglichkeit: du könntest buchstäblich alle Teiler auflisten-- nicht Primfaktoren, nur einfache Teiler-- von jeder dieser Zahlen, und herausfinden, welche größer ist, oder was der größte Teiler von beiden ist. Also zum Beispiel könntest du sagen: gut, ich habe eine 10, und 10 kann man ausdrücken als 1 mal 10, oder 2 mal 5. 1, 2, 5, und 10. All das sind Teiler von 10. All diese sind, könnte man sagen, Divisoren von 10. Und manchmal wird das der größte gemeinsame Divisor genannt. Sieben-- was sind alle ihre Teiler? Also, 7 ist eine Primzahl. Sie hat nur zwei Teiler-- 1 und sich selbst. Was ist also der größte gemeinsame Teiler? Nun, da gibt es nur einen Teiler: 1 ist der einzige gemeinsame Teiler. Also ist der größte gemeinsame Teiler von 10 und 7, oder der größte gemeinsame Divisor, gleich 1. Als schreiben wir das hin. 1. Machen wir noch eines. "Was ist der größte gemeinsame Teiler von 21 und 30?" Und das hier ist nur die andere Schreibweise. Also 21 und 30 sind die zwei Zahlen, um die wir uns hier kümmern. Wir möchten also den größten gemeinsamen Teiler finden-- und ich hätte größter gemeinsamer Divisor schreiben können-- von 21 und 30. Also noch einmal, man kann das auf 2 Arten tun. So habe ich das voriges Mal gemacht, wo ich alle Teiler aufgelistet habe. Laß mich das schnell machen. Also wenn ich sage 21, welche sind alle Teiler? Also, 1 und 21, und 3, und 7. Ich denke, ich habe alle. Und 30 kann man schreiben als 1 und 30, 2 und 15, und 3-- das hat keinen Platz mehr. Laß mich das so schreiben, um mehr Platz zu haben. Also 1 und 30. 2 und 15. 3 und 10. und 5 und 6. Hier sind also alle Teiler von 30. Und welche sind jetzt die *gemeinsamen* Teiler? Nun, 1 ist ein gemeinsamer Teiler. 3 ist auch ein gemeinsamer Teiler. Aber welcher ist der *größte* gemeinsame Teiler, oder der *größte* gemeinsame Divisor? Nun, das ist die Drei. Wir können also 3 schreiben. Jetzt spreche ich die ganze Zeit von einer anderen Methode. Laß mich dir diese andere Methode zeigen, und die verwendet die Primfaktorzerlegung. Wenn du sagst, daß die Primfaktorzerlegung von 21-- laß uns sehen, teilbar durch 3-- ist 3 mal 7. Und die Primfaktorzerlegung von 30 ist gleich 3 mal 10, und 10 ist 2 mal 5. Also welche sind die meisten Teiler, die wir von 21 und 30 nehmen können, um die größtmögliche Zahl zu machen? Wenn du die Primfaktor- zerlegung anschaust, ist das einzige Gemeinsame hier eine 3. Und so können wir sagen, daß der größte gemeinsame Teiler oder der größte gemeinsame Divisor von 21 und 30 drei ist. Würdest du hier nichts Gemeinsames sehen, dann würdest du sagen, daß der größte gemeinsame Teiler eins ist. Laß mich noch ein interessantes Beispiel geben, nur damit wir ein Gefühl dafür bekommen. Also laß uns sagen, die zwei Zahlen seien nicht 21 und 30, sondern laß uns sagen, wir interessieren uns für den größten gemeinsamen Teiler nicht von 21, sondern sagen wir von 105 und 30. nicht von 21, sondern sagen wir von 105 und 30. Wenn wir also die Methode der Primfaktorzerlegung verwenden, könnte das jetzt etwas klarer werden. All die Primfaktoren von 105 zu finden, hey, das ist vielleicht Arbeit, aber wenn du eine Primfaktorzerlegung machst, sagst du, gut, laß uns sehen 105-- ist teilbar durch 5, ganz sicher. Also ist es 5 mal 21, und 21 ist 3 mal 7. Die Primfaktor- zerlegung von 105 ist also gleich-- wenn ich die nach Größe anordne- 3 mal 5 mal 7. Die Primfaktorzerlegung von 30, die haben wir schon gemacht, 30 ist gleich 2 mal 3 mal 5. Welche sind also die meisten gemeinsamen Teiler, oder Primfaktoren, die die gemeinsam haben? Nun, die haben beide eine 3, und beide haben eine 5. Also ist der größte gemeinsame Teiler, oder der größte gemeinsame Divisor ein Produkt dieser beiden. In diesem Beispiel ist der ggT von 105 und 30 ist 3 mal 5, ist gleich 15. Du könntest das also auf beide Arten lösen. Du könntest einfach alle Divisoren oder Teiler auflisten, und herausfinden, welcher von denen gemeinsam ist, und der größte. Oder du kannst alles in seine Grundbausteine zerlegen, die Primfaktoren, und dann herausfinden, welches die größte Menge von gemeinsamen Primfaktoren ist, und das Produkt davon ist dann dein größter gemeinsamer Teiler, also die größte Zahl, die in beide Zahlen ohne Rest hineingeht.