Einführung in Quadratwurzeln

Wir wissen schon ein wenig über Quadratwurzeln. Zum Beispiel, wenn ich dir sage, dass 7 hoch 2 gleich 49 das Gleiche ist, wie 7 gleich Wurzel aus 49. Die Quadratwurzel macht im Prinzip das Quadrat wieder rückgängig. Eigentlich können wir es auch so schreiben. Wir können schreiben: Die Quadratwurzel aus 49 Also welche Zahl mit sich selbst multipliziert 49 ergibt. Wenn ich diese Zahl mit sich selbst multipliziere, ergibt sich 49. Das gilt für jede Zahl, nicht nur 49. Wenn ich Wurzel x aufschreibe und es quadriere, ergibt sich x. Das gilt für jedes x, für das wir die Quadratwurzel berechnen können (die positive Wurzel). Wenn du mehr über Mathematik lernst, wirst du sehen dass sich das ändern wird, aber normalerweise, wenn du die Quadratwurzel ziehst, darf x nicht negativ sein. x darf nicht negativ sein. Das wird sich ändern, sobald wir über imaginäre und komplexe Zahlen nachdenken. Aber normalerweise nehmen wir an, dass, was immer unter der Wurzel steht, nicht negativ sein wird. Denn es ist schwer eine Zahl zu quadrieren... (Die Zahlen die wir kennen) ...schwer sie zu quadrieren und ein negatives Ergebnis zu bekommen. Um das hier sinnvoll zu definieren, sagt man normalerweise, okay wir müssen hier eine nicht negative Zahl eintragen Sowieso, der Schwerpunkt dieses Videos liegt nicht auf der Quadratwurzel, wir wollen hier nur ein bisschen aufarbeiten, damit wir über die Kubikwurzel (cube root) nachdenken können. Wo kommt die Idee, das Quadrat oder die Wurzel zu berechnen eigentlich her?, Es kommt daher, dass man wissen will, wie groß die Fläche eines Quadrates ist. Wenn ich ein Quadrat wie dieses habe und eine Seite ist 7, sind alle Seiten 7, da es ein Quadrat ist. Wenn ich den Flächeninhalt wissen möchte, würde ich 7 mal 7 oder 7² rechnen. Das wäre dann der Flächeninhalt. Oder wenn ich frage, was ist, wenn ich ein Quadrat habe, (das hier sieht nicht so perfekt aus) aber du verstehst es schon, alle Seiten haben die gleiche Länge. Wenn mein Quadrat den Flächeninhalt x hat, Wenn mein Quadrat den Flächeninhalt x hat, Wie lang sind dann die Seiten? Naja, natürlich Wurzel aus x. Alle meine Seiten sind Wurzel x lang Also Wurzel x mal Wurzel x und diese Seite hier ist auch Wurzel x und diese auch. Also daher kommt der Begriff "Quadratwurzel", und der Begriff "Quadrat" (hoch 2). Also was ist mit Kubikwurzel? Gleiche Vorstellung: Ich habe einen Würfel Ich versuche mal schnell, einen zu zeichnen. Bei einem Würfel haben alle Kanten die gleiche Länge, hier 2 mal 2 mal 2. Wie groß ist das Volumen? Das Volumen ist 2 mal 2 mal 2, was gleich 2 hoch 3 ist. (Im Englischen sagt man 2 cubed, das entspricht dem Deutschen 2 hoch 3) Das ist dann das Volumen von dem Würfel, dessen Kanten die Länge 2 haben, was dann 8 ergibt. Aber was, wenn wir es anders herum machen? Wenn wir mit dem Würfel anfangen? Wir starten mit dem Volumen Das Volumen ist 8. Und wir wollen die Kantenlänge berechnen. Wir wollen wissen, was x ist das hier ist alles x. Ist ein Würfel, also sind alle Kanten gleich lang. Das können wir auf 2 Weisen ausdrücken x mal x mal x oder x hoch 3 ist gleich 8 oder wir können das Kubikwurzel-Zeichen (dritte Wurzel) benutzen, eine Wurzel mit Index 3. Oder wir schreiben, dass x gleich... (das wird ähnlich aussehen wie die Quadratwurzel) (das hier wäre die Quadratwurzel aus 8) Aber hier wollen wir die dritte Wurzel aus 8, deshalb schreiben wir hier eine kleine 3. Theoretisch kann man bei der Quadratwurzel eine kleine 2 hinschreiben aber die wäre überflüssig. Wenn keine Zahl dort steht, weiß man schon Bescheid, dass es eine Quadratwurzel ist. Aber wenn du die dritte Wurzel hast, dann musst die 3 hier hinschreiben über die kleine Kerbe hier. Also x ist irgendeine Zahl, die mit 3 potenziert, 8 ergibt. Also lass uns ein paar Beispiele machen. Ich will berechnen... die drite Wurzel aus 27. Was ergibt das? Sagen wir das hier ist gleich x. Das ist das Gleiche als würde ich sagen, dass 27 gleich x hoch 3 ist. Also was ist x? x mal x mal x ist gleich 27 Die Zahl, die mir einfällt ist 3 Also ist x gleich 3. Lass mich eine Frage stellen. Können wir etwas schreiben wie (wechselt Farbe) die dritte Wurzel von -64? Ich habe bei den Quadratwurzeln angesprochen, du schreibst hier keine negative Zahl rein, zumindest, solange wir noch nicht bei den imaginären Zahlen sind. Wir können damit noch nichts anfangen. Aber können wir hiermit etwas anfangen? Wenn ich die dritte Wurzel ziehe, kann das Ergebnis negativ sein? Klar. Also wenn das hier gleich x ist, ist das das Gleiche, wie -64 gleich x hoch 3. Was könnte x sein? Was, wenn du -4 mal -4 mal -4 rechnest? -4 mal -4 ist +16, aber das mal -4 ist -64. Also was könnte x sein? x könnte -4 sein. x könnte -4 sein. Also basierend auf dem, was wir wissen kann man die dritte Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen. Und nur, damit du es weißt, es hört hier nicht auf Du könntest die vierte Wurzel ziehen. Dann hättest du eine 4 hier oder die 5. oder 6. Wurzel und so weiter. Darüber reden wir später in deiner mathematischen Karriere Aber das Häufigste, was du sehen wirst, wird die Quadratwurzel sein und hin und wieder die dritte Wurzel. Jetzt sagst du vielleicht: "Hey sieh mal du (Sal) wusstest doch eh schon, dass 3 hoch 3 gleich 27 ist. Du nimmst die dritte Wurzel und bekommst x. Gibt's da auch einen einfachen Weg?" Ich geb dir jetzt eine beliebige Zahl. Sagen wir dritte Wurzel aus 25. Der einfachste Weg, das rauszufinden, ist die Faktorisierung, Primfaktorzerlegung in diesem Fall. Dann findest du es raus. Also 1250 ist gleich 5 mal 25, 25 ist gleich 5 mal 5. also ist das hier das Gleiche wie die dritte Wurzel aus 5 hoch 3, was 5 ergibt. also ist das hier das Gleiche wie die dritte Wurzel aus 5 hoch 3, was 5 ergibt. also ist das hier das Gleiche wie die dritte Wurzel aus 5 hoch 3, was 5 ergibt. Wenn du hier eine größere Zahl einträgst, da gibt es keinen ganz einfachen Weg, das zu berechnen, was die dritte oder vierte Wurzel oder fünfte Wurzel sein mag, sogar Quadratwurzel kann schon schwierig werden. Es ist nicht so einfach zu berechnen, wie bei mal oder geteilt.