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Studying for a test? Prepare with these 8 lessons on Exponenten, Wurzeln und die Exponentialschreibweise.
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Video-Transkript
Mir hilft es immer, wenn ich ein paar Beispiele sehe. Dehalb dachte ich, dass es nicht schlecht sein kann, noch ein paar Beispiele zur Exponentialschreibweise zu machen. Ich schreibe ein paar Zahlen hin, welche wir dann in Exponentialschreibweise setzen. Ich hoffe, das deckt dann so ziemlich jeden möglichen Fall ab, den du schon gesehen hast. Und am Ende des Videos werden wir dann mit diesen Zahlen ein paar Rechnungen machen, um sicherzustellen, dass wir auch dies können. Ich schreibe nun ein paar Zahlen hin. 0,00852. Dies ist meine erste Zahl. Die zweite Zahl ist 7012000000000. Ich habe einfach irgendeine Anzahl Nullen hingesetzt. Die nächste Zahl ist 0,0000000000000500. Die nächste Zahl ist 0,0000000000000500. Die nächste Zahl ist ... ... Die nächste Zahl ist 723. Die nächste Zahl ist ... Ich habe hier schon viele Siebnen. Nehmen wir 0,6. Und nehmen wir noch eines mehr, um sicher zu sein, dass wir jede Basis haben. Nehmen wir 82300000000. Nehmen wir 82300000000. Bei dieser ersten Zahl wollen wir nun den höchsten Exponenten von 10 finden, der passt. Wir suchen also die erst "Nicht-0-Zahl". Diese gesuchte Zahl finden wir hier. Wir zählen nun, wie viele Positionen es von der Kommastelle sind, inklusive dieser Zahl. Wir haben 1, 2, 3. Das wird nun also zu ... Dies ist gleich 8, hier drüben ... 8,52. Jede Ziffer nach dieser 8 steht also hinter dem Komma. 8,52 mal 10 "hoch" die Anzahl Ziffern hier. Es sind 1, 2, 3. Also ist es 10^-3. Ander gesagt: Dies ist ein wenig mehr als 8 und 1/2 Tausendstel, ja? All diese sind Tausendstel, und wir haben 8 und 1/2 davon. Kommen wir zu diesem hier. Schauen wir mal, wie viele "Nullen" es sind. Wir haben 3, 6, 9, 12. Erneut, wir beginnen mit der grössten Ziffer, die wir haben. Der grössten "Nicht-0-Zahl". In diesem Fall ist es die Zahl ganz links. Dies ist unsere 7. Wir nehmen 7,012. Dies ist gleich 7,012 mal 10 "hoch" wie viel? Es ist mal 10 "hoch" 1 mit dieser Anzahl Nullen. Wie viele sind es? Wir hatten 1 hier. Also 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 Nullen. Nur zur Klarheit: Wir zählen nicht nur die Nullen. Wir zählen alles hinter dieser ersten Zahl hier. Das wäre äquivalent zu einer 1 gefolgt von 12 Nullen. Wir haben also 10^12. Nicht allzu schwierig. Kommen wir zu diesem hier. Wir gehen hier hinter die Kommastelle. Wir finden die erste Zahl ausser 0 hier. Das ist diese 5 hier. Wir haben 5 ... Rechts von der 5 kommt nichts mehr. Es wäre 5,00, wenn du so willst. Aber es ist 5 mal ... Wie viele Zahlen haben wir hinter der Kommastelle? Wir haben 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. Und diese hier müssen wir einbeziehen, also 14. 5 x 10^-14. Zu dieser Zahl. Mag ein wenig schwierig sein, dies in Exponentialschreibweise umzuschreiben. Aber es kann zur Übung nicht schlecht sein. Was ist die höchste Potenz von 10, welche hier reinpasst? Nun, es ist 100. Und du kannst diese 100 oder 10^2 herausfinden, indem du hier die grösste Zahl nimmst und dann hast du hier 2 "Nullen" dahinter, Weil wir sagen 100 ginge in die 723. Dies ist gleich 7,23 mal ... Wir könnten nun sagen mal 100, aber wir sollen es in der Exponentialschreibweise ausdrücken. Also schreiben wir 10^2. Nun haben wir diese 0,6 hier. Wo ist die erste Zahl, die nicht 0 ist? Wir finden sie hier drüben, es ist die 6. Also 6 mal ... Wie viele Positionen haben wir rechts von der Kommastelle? Wir haben nur eine. Somit ist es 6 x 10^-1. Und das macht so Sinn, weil es ist eigentlich das Gleiche wie 6 geteilt durch 10 (weil 10^-1 ist 1/10, also 0,6) Noch eine Aufgabe. Lass mich hier ein paar Leerstellen einfügen, um es ein wenig deutlicher zu machen. Wir nehmen unseren höchsten Wert hier drüben. Das ist diese 8. Damit haben wir 8,23 ... Wir haben nicht rechts davon, weil alles, was folgt, sind Nullen ... mal 10^ ... Wir müssen nun zählen, wie viele Stellen wir hinter der 8 haben. Wir haben 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. 8,23 x 10^10. Ich denke, du hast das Prinzip verstanden. Es ist ziemlich logisch. Und es geht hier nicht nur darum, es ausrechnen zu können - was sicher gut ist -, sondern ich möchte, dass du auch verstehst, warum man das so macht. Hoffentlich hat es das vorherige Video gut erklärt. Falls nicht, kannst du mal versuchen, dies hier auszurechnen, also 8,23 mit 10^10 multiplizieren. Du wirst diese Zahl hier erhalten. Vielleicht kannst du es auch mit einem kleineren Exponenten als 10 versuchen. Zum Beispile mit 10^5. Nun, du wirst dann ein anderes Resultat erhalten. In diesem Fall würdest du nur 5 Ziffern hinter der 8 erhalten. Lass uns nun ein paar weitere Übungen machen. Nehmen wir an, wir haben die Zahlen ... Sagen wir eine sehr kleine ... 0,0000064. Dann nehmen wir eine grosse Zahl. Wir haben also diese Zahl und multiplizieren sie mit ... Ich multipliziere es mit 320000000000. ... ... Das könnten wir nun multiplizieren. Das wäre aber ein wenig schwierig. Lass es uns in Exponentialschreibweise stellen. Einerseits ist so einfacher darzustellen und andererseits wirst du hoffentlich auch erkennen, dass auch die Multiplikation einfacher wird. Dies hier oben, wie können wir das in Exponentialschreibweise umschreiben? Es ist 6,4 x 10 hoch was? 1, 2, 3, 4, 5, 6. Die 6 müssen wir miteinrechnen. Wir haben mal 10^-6. Und zu dem. Wie können wir das schreiben? Dies wird zu 3,2. 3,2. Und dann zählen wir, wie viele Ziffern es nach der 3 sind. 1, 2, 3, 4, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11. Also 3,2 x 10^11. Die Multiplikation sieht nun wie folgt aus: ... 6,4 x 10^-6 x 3,2 x 10^11. Wir haben sowas im letzten Video gesehen. Das ist 6,5 mal 3,2 ... Ich ändere die Reihenfolge der Multiplikation ... mal 10^-6 mal 10^11. Was erhalten wir nun? Ich möchte keinen Taschenrechner verwenden. Wir rechnen es also aus. 6,4 mal 3,2. Lass uns die Kommastelle für einen Moment ignorieren. Wir werden wieder darauf zurückkommen. 2 mal 4 ist 8. Dann 2 mal 6 ist 12. Die 1 schreiben wir hin. Wir haben 128. Wir setzen die 0. 3 mal 4 ist 12, behalte 1. 3 mal 6 ist 18. Dann die 1 hier, also 192. Richtig? Ja. Wir zählen zusammen. 8, 4, 1 plus 9 ist 10, behalte 1. Somit hier 2. Nun müssen wir die Ziffern hinter der Kommastelle zählen. Wir haben eine hier und wir haben eine andere hier. Wir haben zwei Ziffern hinter der Kommastelle. Wir zählen: 1, 2. 6,4 mal 3,2 ist gleich 20,48. Wir haben hier neu 20,48 mal 10 hoch ... Wir haben die gleiche Basis hier und können somit die Exponenten addieren. Was ergibt -6 plus 11? Das ergibt 10^5, richtig? Ja. ... Wir haben also 10^5. Nun könnte man meinen, dass man ja bereits alles vereinfacht hat. Und das ist gewissermassen auch richtig. Aber nun sollen wir es ja auch in Exponentialschreibweise schreiben. Und wenn man da genau sein will, dann ist dies eben noch nicht in Exponentialschreibweise, und zwar weil wir hier noch vereinfachen können. Wir könnten es so schreiben ... Wir dividieren hier nun durch 10, müssen aber dafür auf der anderen Seite dann mit 10 multiplizieren. Hier könnten wir 1/10 schreiben und auf der anderen x 10 hinschreiben, ja? Somit wird der Wert nicht verändert. Wir teilen durch 10 und multiplizieren dann mit 10. Genau wie wenn man mit 1 multipliziert und dann durch 1 teilt. Wenn wir auf dieser Seite durch 10 teilen, erhalten wir 2,048. Multiplizieren wir auf dieser Seite mit 10, dann haben wir hier hoch ... mal 10 ist 10^1 ... Wir können die Exponenten nun addieren. Also ist es 10^6. Somit haben wir es also in einer ordentlichen Exponentialschreibweise. Nun habe ich viel multipliziert. Kommen wir deshalb nun zur Division. Teilen wir dies hier durch das. Wir dividieren 3,2 x 10^11 durch 6,4 x 10^-6. Wie könnten wir es umschreiben? Dies ist gleich ... Wir können das nun trennen, da es assoziativ ist. Dies hier mal 10^11 durch 10^-6. Richtig? Wenn man diese zwei Dinge multipliziert, erhält man dies hier drüben. Nun, 3,2/6,4 ... Dies ist gleich 0,5, ja? 32 ist die Hälfte von 64, also ist 3,2 die Hälfte von 6,4. Wir erhalten hier 0,5. Was haben wir hier? Hier haben wir 10^11 durch 10^-6. Wenn man etwas im Nenner hat, kann man es so schreiben:: 10^11 durch 10^-6. Dies ist gleich 10^11(10^-6)^-1. Dies ist gleich 10^11(10^-6)^-1. Oder dies ist gleich 10^11 x 10^6. Was habe ich gerade gemacht? Dies ist 1/10^-6. "1 über etwas ist einfach dieses etwas mit hoch -1". Und dann multipliziere ich die Exponenten. Dies wäre gleich 10^17. Oder man kann es sich auch so vorstellen: Hat man die gleiche Basis, hier 10, und dividiert dann, nimmt man das im Zähler und subtrahiert den Exponenten im Nenner. Das wäre dann 11 - -6, was zu 11 + 6 wird. was 17 ergibt. Bei dieser Division erhalten wir 0,5 x 10^17. Das ist die korrekte Antwort. Aber auch hier müsste man noch genauer werden, da es für die Exponentialschreibweise hier eine Zahl gleich oder grösser als 1 benötigt. Um dies zu bewerkstelligen, lass uns auf dieser Seite mit 10 multiplizieren. Dann müssen wir aber auf dieser Seite durch 10 rechnen (oder mal 1/10). Zur Erinnerung: Es ändert den Wert nicht, wenn man mit 10 multipliziert und dann durch 10 dividiert. Wir machen es nur an unterschiedlichen Stellen des Produktes. Hier erhalten wir 5, da 10 mal 0,5 gleich 5 ... 5 mal ... 10^17 geteilt durch 10 ist das Gleiche wie 10^17 mal 10^-1. Richtig? Das ist 10^-1. Wir haben also 10^16. 5 x 10^16. Dies ist also die Antwort für diese Division. Hoffentlich haben diese Beispiele fast alle möglichen unklaren Szenarios rund um das Thema Exponentialschreibweise umfasst.