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Studying for a test? Prepare with these 8 lessons on Exponenten, Wurzeln und die Exponentialschreibweise.
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Lasst uns ein paar weitere Beispiele zum Thema Grössenordnungen machen. Die Erde hat einen Durchmesser von ungefähr 1 mal 10 hoch 7 Meter. Welcher der folgenden Vorschläge könnte dieser Durchmesser sein. Es geht hier nur um die Approximation. Wir sollen hier nur schätzen. Und wir sollen herausfinden, welches dieser hier nun ungefähr 1 mal 10 hoch 7 entspricht? Das Zentrale hier ist nun, dass 1 mal 10 hoch 7 das Gleiche ist wie eine 1 gefolgt von sieben Nullen. eins...zwei...drei...vier...fünf...sechs...sieben. Lasst mich hier ein paar Kommas setzen (Deutsch: entweder mit Abstand: 10 000 000 oder mit '-Zeichen: 10'000'000). 1 mal 10 hoch 7 ist das Gleiche wie 10 Millionen. Wenn wir nun schätzen. Welche dieser Zahlen entspricht ungefähr 10 Millionen? Hier sind 1,271 Millionen oder 1'271'543. Wenn wir das nun als ungefähr "etwas" berachten, dann wäre dieses etwas ungefähr 1 Million, aber nicht 10 Millionen. Wir können diesen Vorschlag also aussortieren. Hier haben wir 12'715'430. Wenn wir nun hier ungefähr schätzen, dann -ja- können wir sagen, dass es ungefähr 10 Millionen sind. Wenn wir das jetzt nur mit "einer" Ziffer darstellen wollen respektive wenn wir es in der Exponentialschreibweise ausdrücken wollen, dann ist das hier 1,271543 mal 10 hoch 7. Ich werde das hinschreiben. 12'715'430. In der Exponentialschreibweise ist das 1,271543 x 10^7 (1,271543 mal 10 hoch 7). Und wenn wir es so schreiben, können wir nun sagen, dass wenn man wirklich nur ungefähr schätzt und abrundet, dann wären das 1 mal 10 hoch 7. Es scheint hier also die beste Auswahl zu sein. Lasst es mich prüfen. Dieses hier sind über 100 Millionen respektive 1 mal 10 hoch 8. Das ist zu viel. Und hier haben wir über eine Milliarde respektive 1 mal 10 hoch 9. Dies ist somit auch zu hoch. Wie gesagt, scheint diese Option hier die beste zu sein. Lasst uns weitere Beispiele machen. Hier werden wir gefragt, wie viel mal grösser ist 7 mal 10 hoch 5 als 1 mal 10 hoch 4. Wir könnten nun einfach dividieren. 7 mal 10 hoch 5 geteilt durch 1 mal 10 hoch 4. Das ist das Gleiche wie 7/1 mal 10^5/10^4. Nun hier...7 geteilt durch 1 ist 7. Und 10 hoch 5 bedeutet fünf Zehnen multiplizieren. Und danach teilen wir durch "vier Zehnen multiplizieren" Wir haben also den Unterschied von 1x10 multiplizieren. Vielleicht könnt ihr euch an die Eigenschaften der Hochzahlen erinnern. Das hier wäre das Gleiche wie 10 hoch...5 minus 4, also 10 hoch 1. Das Ganze hier lässt sich also vereinfachen auf 10 hoch 1. Ich könnte es auch so schreiben: Das ist das Gleiche wie 10 hoch...5 minus 4, was wiederum das Gleiche ist wie 10 hoch 1 oder schlicht 10. Hier haben wir 7 mal 10, was gleich 70 ist. 7 mal 10 hoch 5 ist 70 Mal grösser als 1 mal 10 hoch 4. Lasst uns noch ein Beispiel machen. Hier wird gefragt: 3 mal 10 hoch 9 ist 30'000 Mal grösser wie welche Zahl? Wir können nun wieder dividieren. 3 mal 10 hoch 9 ist 30'000 Mal grösser als die gesuchte Zahl. Wir teilen demnach durch 30'000. Und wir haben hier etwas in Exponentialschreibweise geschrieben. Und hier haben wir eine "normale" Zahl. Wir könnten nun entweder das hier ausschreiben und dann die Division vornehmen oder wir können dies hier in Exponentialschreibweise setzen. Lasst es uns auf beide Varianten machen. Wenn wir die obige Zahl ausschreiben, dann ist dies 3 gefolgt von neun Nullen. Eins... zwei...drei...vier...fünf...sechs...sieben...acht...neun. Lasst mich hier Kommas (Deutsch: Abstand oder ') setzen, um es leserlicher zu gestalten. Und dann teilen wir durch 3 gefolgt von vier Nullen. Eins...zwei...drei...vier. Nun können wir Nullen herausstreichen. Zum Beispiel beginnen wir damit, oben und unten durch 10 zu teilen. Dann nochmals durch 10 und nochmals durch 10 und nochmals durch 10. Wir haben bis hierhin also mehrfach durch 10 geteilt. Und nun wollen wir die obere und unter Zahl durch 3 teilen. Hier bekommen wir 1. Und hier ebenfalls 1. Unten haben wir bereits nur 1 übrig. Oben haben wir 1 gefolgt von eins...zwei...drei...vier...fünf Nullen. Dies hier ist also eine 1 mit fünf Nullen respektive 100'000. Lass uns nun beides in die Exponentialschreibweise umschreiben. 3 x 10^9. Wir schreiben es also um als 3 mal 10 hoch 9. Und dies teilen wir nun durch 30'000, was das Gleiche ist wie 3 mal 10 hoch...wie viel? Wir haben eins...zwei...drei...vier Nullen. 3 mal 10 hoch 4. Oder ich sollte eigentlich sagen, dass wir vier Stellen nach der 3 haben. Also eins...zwei...drei...vier. 3 mal 10 hoch 4. Und nun können wir 3 durch 3 teilen, um weiter zu vereinfachen. 3 durch 3 ergibt 1. Dann teilen wir 10 hoch 9 durch 10 hoch 4. Das ergibt sich aus 10 hoch...9 minus 4. Wir erhalten 1 mal 10 hoch 5. Zur Erinnerung: Eine 1 gefolgt von fünf Nullen ist das genau Gleiche wie 100'000. Das ist also 30'000 Mal grösser als 100'000.