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Algebra - Vorkenntnisse

Kurs: Algebra - Vorkenntnisse > Lerneinheit 11

Lektion 3: Negative Exponenten
Mathematik
Algebra - Vorkenntnisse
Wurzeln, Exponenten und exponentielle Schreibweise
Negative Exponenten
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Negative Exponenten - Wiederholung

Google Classroom
Wiederhole die Grundlagen von negativen Exponenten und löse ein paar Übungsaufgaben.

Definition für negative Exponenten

Wir definieren eine negative Potenz als den Kehrwert der Basis mit der positiven Gegenzahl des Exponenten:
x, start superscript, minus, n, end superscript, equals, start fraction, 1, divided by, x, start superscript, n, end superscript, end fraction
Willst du mehr über diese Definition lernen? Schau dir dieses Video an.

Beispiele

  • 3, start superscript, minus, 5, end superscript, equals, start fraction, 1, divided by, 3, start superscript, 5, end superscript, end fraction
  • start fraction, 1, divided by, 2, start superscript, 8, end superscript, end fraction, equals, 2, start superscript, minus, 8, end superscript
  • y, start superscript, minus, 2, end superscript, equals, start fraction, 1, divided by, y, squared, end fraction
  • left parenthesis, start fraction, 8, divided by, 6, end fraction, right parenthesis, start superscript, minus, 3, end superscript, equals, left parenthesis, start fraction, 6, divided by, 8, end fraction, right parenthesis, cubed

Übe

Aufgabe 1
  • Aktuell
Wähle den äquivalenten Term.
4, start superscript, minus, 3, end superscript, equals, question mark
Wähle eine Lösung.

Willst du mehr Aufgaben wie diese lösen? Schau dir diese Übung an.

Einige Zusammenhänge verstehen

Warum definieren wir daher negative Exponenten in dieser Weise? Hier sind ein paar Begründungen:

Begründung #1: Schemata

n2, start superscript, n, end superscript
32, cubed, equals, 8
22, squared, equals, 4
12, start superscript, 1, end superscript, equals, 2
02, start superscript, 0, end superscript, equals, 1
minus, 12, start superscript, minus, 1, end superscript, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction
minus, 22, start superscript, minus, 2, end superscript, equals, start fraction, 1, divided by, 4, end fraction
Betrachte, wie 2, start superscript, n, end superscript jedes Mal durch 2 dividiert wird, wenn wir n reduzieren. Dieses Schema geht immer weiter, sogar wenn n Null oder negativ ist.

Begründung #2: Potenzgesetze

Erinnere dich, dass start fraction, x, start superscript, n, end superscript, divided by, x, start superscript, m, end superscript, end fraction, equals, x, start superscript, n, minus, m, end superscript. Also gilt ...
2223=22−3=2−1\begin{aligned} \dfrac{2^2}{2^3}&=2^{2-3} \\\\ &=2^{-1} \end{aligned}
Wir wissen auch, dass
2223=2⋅22⋅2⋅2=12\begin{aligned} \dfrac{2^2}{2^3}&=\dfrac{\cancel 2\cdot\cancel 2}{\cancel 2\cdot\cancel 2\cdot 2} \\\\ &=\dfrac12 \end{aligned}
Und so erhalten wir 2, start superscript, minus, 1, end superscript, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction.
Erinnere dich auch, dass x, start superscript, n, end superscript, dot, x, start superscript, m, end superscript, equals, x, start superscript, n, plus, m, end superscript. Also gilt ...
22⋅2−2=22+(−2)=20=1\begin{aligned} 2^2\cdot 2^{-2}&=2^{2+(-2)} \\\\ &=2^0 \\\\ &=1 \end{aligned}
Und in der Tat, gilt entsprechend der Definition ...
22⋅2−2=22⋅122=2222=1\begin{aligned} 2^2\cdot 2^{-2}&=2^2\cdot\dfrac{1}{2^2} \\\\ &=\dfrac{2^2}{2^2} \\\\ &=1 \end{aligned}

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