Wiederhole die Grundlagen von negativen Exponenten und löse ein paar Übungsaufgaben.

Definition für negative Exponenten

Wir definieren eine negative Potenz als den Kehrwert der Basis mit der positiven Gegenzahl des Exponenten:
xn=1xnx^{-n}=\dfrac{1}{x^n}
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Beispiele

  • 35=1353^{-5}=\dfrac{1}{3^5}
  • 128=28\dfrac{1}{2^8}=2^{-8}
  • y2=1y2y^{-2}=\dfrac{1}{y^{2}}
  • (86)3=(68)3\left(\dfrac{8}{6}\right)^{-3}=\left(\dfrac{6}{8}\right)^{3}

Übe

Willst du mehr Aufgaben wie diese lösen? Schau dir diese Übung an.

Einige Zusammenhänge verstehen

Warum definieren wir daher negative Exponenten in dieser Weise? Hier sind ein paar Begründungen:

Begründung #1: Schemata

nn2n2^n
3323=82^3=8
2222=42^2=4
1121=22^1=2
0020=12^0=1
1-121=122^{-1}=\dfrac12
2-222=142^{-2}=\dfrac14
Betrachte, wie 2n2^n jedes Mal durch 22 dividiert wird, wenn wir nn reduzieren. Dieses Schema geht immer weiter, sogar wenn nn Null oder negativ ist.

Begründung #2: Potenzgesetze

Erinnere dich, dass xnxm=xnm\dfrac{x^n}{x^m}=x^{n-m}. Also gilt ...
2223=223=21\begin{aligned} \dfrac{2^2}{2^3}&=2^{2-3} \\\\ &=2^{-1} \end{aligned}
Wir wissen auch, dass
2223=22222=12\begin{aligned} \dfrac{2^2}{2^3}&=\dfrac{\cancel 2\cdot\cancel 2}{\cancel 2\cdot\cancel 2\cdot 2} \\\\ &=\dfrac12 \end{aligned}
Und so erhalten wir 21=122^{-1}=\dfrac12.
Erinnere dich auch, dass xnxm=xn+mx^n\cdot x^m=x^{n+m}. Also gilt ...
2222=22+(2)=20=1\begin{aligned} 2^2\cdot 2^{-2}&=2^{2+(-2)} \\\\ &=2^0 \\\\ &=1 \end{aligned}
Und in der Tat, gilt entsprechend der Definition ...
2222=22122=2222=1\begin{aligned} 2^2\cdot 2^{-2}&=2^2\cdot\dfrac{1}{2^2} \\\\ &=\dfrac{2^2}{2^2} \\\\ &=1 \end{aligned}