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Studying for a test? Prepare with these 8 lessons on Exponenten, Wurzeln und die Exponentialschreibweise.
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Lass uns versuchen, die Kubikwurzel von 3430 zu finden. Und wenn es dir wie mir geht, dann weißt du auch nicht gerade soeben, welche Zahl drei Mal mit sich selbst multipliziert gleich 3430 ergibt. Deshalb nehme ich nun die Primfaktorzerlegung vor, sodass wir alle Primfaktoren von 3430 finden. Dann prüfen wir, ob diese Primfaktoren zumindest drei Mal auftreten. Dies wird uns dann weiterhelfen. 3430 ist sicher teilbar durch 5 und 2. Oder es ist auch durch 10 teilbar. Zuerst können wir durch 2 teilen. Es sind 2 Mal ... 3430 durch 2 ist 1715. Dann können wir dies durch 5 teilen. Das wären dann 5 und ... Ich rechne dies schriftlich da auf der Seite. Ich habe 1715 und teile diese durch 5. 5 geht nicht in die 1. Es passt in die 17, und zwar 3 Mal. 3 mal 5 ist 15. Wir subtrahieren und erhalten 2. Wir nehmen die 1 runter. 5 geht in die 21 deren 4 Mal. 4 mal 5 ist 20. Subtrahieren. Wir nehmen die 5 runter. 5 geht in 15 gleich 3 Mal. Es passt also exakt 343 Mal. 1715 wird in 5 mal 343 zerlegt. 343, das weiß man vielleicht nicht sofort, da es nicht einfach ist, dies zu zerlegen. Es ist sicher eine ungerade Zahl und demnach nicht durch 2 teilbar. Addiert man die einzelnen Ziffern, ergibt sich 10, was nicht durch 3 teilbar ist. Deshalb kann es nicht durch 3 teilbar sein kann. Auch durch 4 ist es nicht teilbar, weil es schon durch 2 nicht teilbar war. Es ist auch nicht teilbar durch 5. Wenn es weder durch 3 noch durch 2 teilbar war, dann ist es auch nicht durch 6 teilbar. Und nun kommen wir zu 7. Wenn man eine Zahl wie diese sieht, die durch viele Zahlen nicht teilbar ist, dann ist es oft gut, es mit Teilern wie 7 oder 11 oder 13 zu versuchen. Weile diese oft interessante Zahlen konstruieren. Schauen wir also, ob es durch 7 teilbar ist. 343:7. 7 geht nicht in die 3, aber es passt in die 34, und zwar 4 Mal. 4 mal 7 ist 28. Wir subtrahieren. 34 minus 28 ist 6. Wir nehmen die 3 runter. 7 passt in die 63 genau 9 Mal. 9 mal 7 ist 63. Wir subtrahieren. Wir haben keinen Rest. Hier hatte ich noch den letzten Schritt vergessen. 3 mal 5 ist 15. Subtrahieren und es bleibt kein Rest. Es passt also genau. 343 kann in 7 und 49 zerlegt werden. Bei 49 merkst du vielleicht sofort, dass es in 7 mal 7 zerlegt werden kann. Das ist nun interessant. Ich kann all dies hier, die Kubikwurzel von 3430, nun wie folgt umschreiben: Als die Kubikwurzel von ... Ich schreibe es in der zerlegten Form. 2 mal 5 ... Ich könnte nun 7 mal 7 mal 7 schreiben oder aber 7^3. Letzteres würde dann alle drei 7 umfassen. Ich habe drei 7 und multipliziere diese zusammen. Also ist es 7 hoch 3. Von den Exponenten-Eigenschaften wissen wir, dass dies das Gleiche ist wie die Kubikwurzel von 2 mal 5. Und dann mal ... ... ... Die Kubikwurzel von 2 mal 5 ist das Gleiche wie die Kubikwurzel von 10. Das multiplizieren wir mal die Kubikwurzel ... Ich denke du weißt, worauf das hinausläuft. Wir multiplizieren mal die Kubikwurzel von 7^3. ... Hier bei der Kubikwurzel von 10 lassen wir es so, wie es ist. Wir wissen, dass die Primfaktorzerlegung von 10 gleich 2 mal 5 ist. Wir würden hier keine ganze Zahl erhalten, sondern eine mit Nachkommastellen. Aber erhalten wir eine ganze Zahl. Die Kubikwurzel von 7^3 ist nämlich schlicht 7. Das hier ist 7. Wir haben also soweit vereinfacht. Die ist gleich 7 mal die Kubikwurzel von 10. Respektive haben wir soweit vereinfacht, wie es ohne eingehendere Berechnungen geht. Wenn man hier die exakte Zahl erhalten möchte, müsste man wohl am besten einen Taschenrechner beiziehen.