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Video-Transkript

Wer sich mit höherer Mathematik beginnt, wird den Professor häufig so etwas an die Tafel schreiben sehen wie dieses R mit diesem extra Strich hier, und vielleicht schreibt er R-2. Oder, wenn man es in einem Buch sieht, ist es vielleicht nur ein fettgedrucktes R mit einer hochgestellten 2. Und wenn man das sieht, bezeichnet das den zweidimensionalen, realen Koordinatenraum. Das klingt sehr ausgefallen, -- realer zweidimensionaler Koordinatenraum-- aber man kann es sich einfach als zweidimensionalen Raum vorstellen, wie wir es schon in der Koordinatenebene verwendet haben. Um es etwas abstrakter zu machen: Das meint nicht notwendigerweise diese visuelle Darstellung. Diese ist nur eine Möglichkeit, sich einen realen Koordinatenraum vorzustellen. Wenn man etwas abstrakter denkt-- -- der wahre R-2, der zweidimensionale, reale Koordinatenraum-- -- ich schreibe das kurz nieder-- -- der zweidimensionale, reale Koordinatenraum-- -- und nur um die Schreibweise zu erklären: die Zwei sagt uns mit wie vielen Dimensionen wir arbeiten, und das R sagt uns, dass das ein realer Koordinatenraum ist. Der zweidimensionale, reale Koordinatenraum sind alle möglichen, realwertigen 2-Tupel. Ich schreibe das nieder. Das sind alle möglichen, realwertigen 2-Tupel. Was ist also ein 2-Tupel? Nun, ein Tupel ist eine geordnete Liste von Zahlen. Und da wir von realen Werten sprechen, wird es eine geordnete Liste realer Zahlen sein. Und ein 2-Tupel ist eine geordnete Liste von zwei Zahlen. Das ist also eine geordnete Liste aus zwei realwertigen Zahlen. Nun, das ist genau das, was wir hier gemacht haben, als wir über zweidimensionale Vektoren sprachen. Das hier ist ein 2-Tupel, und zwar ein realwertiger Tupel. Keines davon hat imaginäre Teile. Wir haben also eine 3 und eine 4. Die Reihenfolge ist wichtig. Wir betrachten das als anderen 2-Tupel als etwa (4,3). Und auch wenn wir sie in unseren Achsen darstellen wollten, wäre dieser Vektor, (4,3), 4 entlang der horizontalen Achse, und 3 entlang der vertikalen Achse, und damit würde es etwa so aussehen, und nicht vergessen, wir müssen es nicht genau hier zeichnen, uns interessiert nur die Größe und Richtung, wir könnten es auch hier zeichnen, das wäre genauso (4,3), der Spaltenvektor (4,3). Wenn wir also über den R-2 sprechen, meinen wir alle möglichen realwertigen 2-Tupel. Also alle möglichen Vektoren, wo jede der Komponenten -- und die Komponenten sind diese Zahlen hier-- wo jede der Komponenten reale Zahlen sind. Man könnte also (3,4) haben, man könnte (-3,-4) haben, also 1, 2, 3; 1, 2, 3, 4, könnte etwa so aussehen wie-- -- ich sollte die Skala etwas vergrößeren, damit es gleich aussieht-- 1, 2, 3, 4, es könnte also etwa so aussehen. Das wäre also der Vektor (-3,-- -- ich schreibe es etwas besser-- (-3,-4). Wenn man nun alle möglichen 2-Tupel nimmt, inklusive den Vektor (0,0), das also keine Größe hat, und man könnte streiten, was seine Richtung ist. Nimmt man alle davon zusammen, dann hat man seinen zweidimensionalen, realen Koordinatenraum geschaffen, und das wird als R-2 bezeichnet. Nun, wie man sich vorstellen kann, da wir hier diese Zwei geschrieben haben-- -- wir mussten das festsetzen- könnte man hier nicht eine Drei hinschreiben? Und ich würde sagen, absolut könnte man hier eine Drei hinschreiben. Also R-3 wäre der dreidimensionale, reale Koordinatenraum. Also 3D realer Koordinatenraum. Das sind also alle möglichen realwertigen 3-Tupel. Also, realwertige 3-Tupel. Zum Beispiel: Das wäre ein Teil des R-3. Und ich beschrifte diese Vektoren, nur damit wir uns daran gewöhnen, nennen wir also diesen Vektor "x". Sagen wir, wir haben einen Vektor b, der so aussieht: (-1,5,3). Beide wären Teile des R-3. Und wenn ihr eine ausgefallene Schreibweise sehen wollt, ein Teil einer Menge --das ist also ein Teil des R-3, es ist ein realwertiger 3-Tupel. Nun fragt ihr, was wäre kein Teil des R-3? Nun dies hier ist kein 3-Tupel, dies hier ist ein Teil des R-2, nun man könnte es um eine Null oder so erweitern, aber formal ist das hier kein 3-Tupel. Was auch kein Teil des R-3 wäre, -- sagen wir, jemand möchte ein Art Vektor machen, der einen imaginären Teil hat, also etwa (i,0,1), das ist nicht mehr realwertig. Wir haben einen imaginären -- diese Zahl hier hat einen imaginären Teil, sie ist also kein realwertiger 3-Tupel mehr. Und was das Schöne an der linearen Algebra ist, wir müssen hier nicht aufhören, den R-3 können wir darstellen, wir können das aufzeichnen. Wir haben bereits-- -- vielleicht in eurer bisherigen mathematischen Karriere-- -- besonders wenn ihr so etwas wie ein Hologramm oder so habt,-- es ist nicht schwer, Dinge in drei Dimensionen darzustellen. Aber das Schöne ist, ist, wir können das weiter ausbauen, wir können auf 4, 5, 6, 7, 20, 100 Dimensionen gehen. Und klarerweise wird es dort viel schwieriger, wenn nicht unmöglich, es darzustellen, aber dann können wir es zumindest mathematisch beschreiben, mit einem n-Tupel aus Vektoren. Wenn wir also über einen realen Koordinatenraum im Allgemeinen sprechen, werden ihr oft die Schreibweise "R-n" sehen, mit n hochgestellt. Das hier ist also ein n-dimensionaler realer Koordinatenraum.