Linearkombinationen und Räume

Einen Ausdruck, den ihr in diesen Videos häufig hören werdet und in Linearer Algebra im allgemeinen ist die Idee einer linearen Kombination Eine Lineare Kombination von Vektoren ist genau das, eine lineare Kombination Ich möchte euch zeigen was das bedeutet ? Gehen wir von einer Menge von Vektoren v1 und v2 bis vn aus. Sie sind alle in R^2 oder R^n. Sagen wir sie sind in R^n Sagen wir, sie sind Teil des realen Raumes könnte man sage, das ist aber nur eine Vereinfachung. Eine Linearkombination dieser Vektoren bedeutet, dass ihr die Vektoren addieren könnt. Es ist eine beliebige Zusammensetzung von Summationen der Vektoren , also V1 + V2 + .... bis Vn, aber sie werden dabei durch beliebige Konstanten skaliert. Alle Werte c1 bis cn sind Elemente der Realen Zahlen. Das ist es was eine lineare Kombination ist. Lasst mich euch ein Beispiel geben einer Linearekombination geben Ich erzeuge jetzt einen Beispielvektor. Ich definiere den Vektor a nun mit den Werten, ... und ... Vektoren werden fett notiert. Diese Violetten, werden fett geschrieben, nur um zu zeigen, dass es Vektoren sind. (Das ist teilweise etwas lästig diese Beschriftung) Sagen wir also, Ich definiere den Vektor a. Er hat den Wert 1, 2. Den Vektor b setze ich auf die Werte 0 und 3. Was ist die Linearkombination von a und b ? Nun gut, es könnte irgendeine Konstante multipliziert mit a + eine Konstante b sein. Also, Null mal a also Null sein plus Null mal b, was wiederum, was wäre ? Das wäre Null mal Null - also Null, Null. Das wäre der Nullvektor und auch eine gültige Linearekombination. Wir kennzeichnen den Nullvektor durch eine große fette 0. Ich könnte auch 3 mal a rechnen. Ich wähle nur zufällig irgendwelche Zahlen aus. Dreimal a plus - Ich nehme zum Spaß mal eine negative Nummer. Also addiere ich minus zweimal b Was ist das ? Lasst es uns herausfinden und aufschreiben Es ist 3 minus 2 mal 0, also minus 0, und 3 mal 2 ist ... 6 minus 2 mal 3, also minus 6 Das ist die Linearkombination von den Vektoren a und b. Ich kann eine Gruppe von zufälligen realen Zahlen hier und hier einsetzen, und ich werde eine unterschiedliche Anzahl an verschiedenen linearen Kombination meiner Vektoren a und b bekommen. Falls ich hier einen dritten Vektor hätte, Vektor c zum Beispiel, und vielleicht hätte er die Werte 7 und 2, dann könnte ich ihn dazu addieren und ich könnte 8 mal c hin zu fügen. Das alles sind nur Linearkombinationen. Warum nennen wir sie so ? Warum wird also diese Vorsilbe benutzt ? Weil wir sie nur mit einem konstanten Faktor multiplizieren. Wir multiplizieren die Vektoren nicht miteinander. Wir haben bis jetzt noch nicht einmal geklärt, was das bedeutet, und es gibt verschiedene Wege dies zu tun. Aber, wir können sie noch nicht quadrieren, und wir haben auch bis jetzt noch nicht definiert was das bedeutet, aber das würde es auf die eine oder andere Art nicht linear machen. Also, bis jetzt addieren wir nur Vektoren, und wir skalieren sie mit einem konstanten Faktor, deswegen nennt man es eine Linearkombination. Ich fragt euch jetzt sicherlich, aber Sal, warum stellst du diese Idee der linearen Kombination vor ? Weil Ich eine Einführung in die Idee dahinter geben will, die beim ersten Lernen von vielen Schülern verwechselt wird. Ich denke es liegt in der Natur der Sache das es unterrichtet wird. Hier drüben, habe ich verschieden Zahlen für die Gewichtung, wie man es nennen könnte, eingesetzt. Für c1 und c2, als Kombination von a und b, verstanden ? Lasst c erstmal weg. Ich habe hier nur eine Anzahl verschiedener Zahlen eingesetzt. Es stellt sich aber immer noch die Frage, Was ist die Menge aller Vektoren, die ich erzeugt habe ? Und dies ist nur ein Element der Menge. Aber was wäre die Menge aller Vektoren, die ich durch die Linearkombination von a und b erzeugen könnte ? Lasst mich also a und b zeichnen. Vielleicht können wir sie uns vorstellen und dann vielleicht mathematisch beschreiben. Angenommen wir haben a und b. a ist 1, 2. Sieht also so aus. Das ist Vektor a. Ich zeichne Vektor b in einer anderen Farbe Nehmen wir gelb. Vektor b hat den Wert 0, 3. Sieht also so aus. Null, Drei. Was ist jetzt die Menge aller Vektoren, die ich damit darstellen kann ? Ich darf addieren und subtrahieren. Und wir haben gesagt, dass ich sie Beide mit Null multiplizieren und addieren kann, dann erhalten wir folgendes. Dreimal a, ergibt die Skalierung von a mit dem Faktor 3. Also 1a, 2a, 3a Also 3a, 3 mal a sieht folgendermaßen aus. Also ist dieser Vektor 3a, und dann addieren wir dazu 2b, richtig ? Oh nein, wir haben 2b davon subtrahiert, also sieht b so aus. -2b sieht so aus. Das ist -2b, in Standardform. Standardposition minus 2b. Wenn ihr jetzt von 3a, 2b abzieht, erhalten wir diesen Vektor. 3a minus 2b. und ihr erhaltet diesen Vektor hier, und das ist genau was wir mathematisch betrachtet gemacht haben. Ihr erhaltet den Vektor 3, 0. Also genau den Vektor 3, 0. Aber der Vektor ist nur eine Linearkombination, der Vektoren a und b. Anstatt a mit 3 zu multiplizieren, hätte ich a mit 1 oder 0,5 multiplizieren können. Also 1 und einhalb a minus 2b würden immer noch genauso aussehen. Es würde folgendermaßen aussehen. Es würde so aussehen - Lasst mich sicher gehen, dass ich es richtig mache Es würde so aussehen Und der neue Vektor, den wir erhalten würden, würde so aussehen Ich habe euch also gezeigt, wie ich diesen Vektor, durch lineare Kombination erhalten habe. Ich finde diesen Vektor durch Linearkombination und tatsächlich, kann man ihn als Kombination dieser beiden Vektoren, a und b repräsentieren. Jetzt, lasst uns ein Beispiel ausdenken, oder versuchen wir es mit einem gedanklich anschaulichem Beispiel. Wo auch immer wir zufällig hinwollen, Wir können mit einem frei gewählten Wert skalieren. Also, ist dies ein Gewichtungsfaktor, den wir auf den Vektor a anwenden und dann addieren wir willkürliche Mehrfache von b. B geht gerade nach oben und unten, wir können es also nach Belieben Vielfache von b addieren. Wir erreichen also jeden Punkt auf der Linie hier. Wenn wir also ein bisschen weiter skalieren, und dann dazu irgendein Vielfaches von b addieren, erreichen wir jeden Punkt auf dieser Linie. Falls wir den Vektor a mit einer negative Zahl multipliziert hätten und dann b in einer anderen Richtung addiert hätten, würden wir alles auf dieser Linie hier bekommen. Wir können das fortführen. Es gibt keinen Grund, warum wir nicht ein beliebiges a wählen können, welches diese Lücke schliesst. Falls wir einen Punkt hier wollen, müssen wir nur ein kleineres a nehmen, und dann können wir alle Werte von b addieren, die diese Linie abdecken. Wir erreichen also jeden Punkt in R2 mit der Kombination von a und b.