Starre Transformationen: beibehaltene Eigenschaften

In diesem Video wollen wir uns anschauen, welche Eigenschaften einer Form erhalten bleiben, oder nicht erhalten bleiben, nachdem sie einer Transformation unterzogen wurden. In diesem Video geht es speziell um Drehungen und Spiegelungen. Das sind beides starre Transformationen, was bedeutet, dass sich die Länge zwischen den entsprechenden Punkten nicht ändert. Dieser Kreis A hat z.B. seinen Mittelpunkt bei Punkt A. Nehmen wir an, wir drehen ihn um Punkt P herum, und Punkt P ist unser Drehzentrum. Und wir drehen ihn im Uhrzeigersinn in einem bestimmten Winkel. Wir drehen also in diese Richtung und nehmen an, dass unser Mittelpunkt dann genau hier ist. Unser neuer Kreis sieht nach der Drehung also ungefähr so aus. Ich zeichne ihn mit der Hand, also sieht er leider nicht so gut aus. Aber ungefähr so sieht der Kreis aus. Wir suchen also die Dinge, die bei einer starren Transformation erhalten bleiben. Wie z.B. bei dieser Drehung hier. Es handelt sich eindeutig um eine Drehung. Eine Eigenschaft, die erhalten bleibt, ist z.B. der Radius des Kreises. Oder besser gesagt die Radiuslänge. Der Radius beträgt hier 2. Der Radius hier drüben beträgt ebenfalls 2. Und dann gibt es noch den Umfang. Der Radius bleibt erhalten und der Umfang eines Kreises, den wir Kreisumfang nennen, ist nur eine Funktion des Radius. 2 x π x Radius. Also bleibt der Umfang natürlich erhalten. Das liegt daran, dass die Radiuslänge erhalten bleibt. Und wenn der Radius erhalten bleibt, dann bleibt die Fläche ebenfalls erhalten. Die Fläche ist einfach π mal (Radius)². Sie haben denselben Radius, also sind all diese Eigenschaften gleich. Außerdem fühlt es sich intuitiv richtig an. Was bleibt also nicht erhalten? Generell bleiben bei starren Transformationen die Abstände zwischen den entsprechenden Punkten erhalten, wenn wir eine Form transformieren. Eigenschaften wie Umfang und Fläche bleiben erhalten. Umfang bzw. Kreisumfang. Fläche. Diese Dinge bleiben erhalten. Winkel bleiben erhalten. Wir haben in diesem Bild keine eindeutigen Winkel. Aber Winkel bleiben erhalten. Was nicht erhalten bleibt, sind die Koordinaten der entsprechenden Punkte. Manchmal schon, aber nicht immer. Die Koordinate des Mittelpunkts hier wird sich auf jeden Fall ändern. Und sie ändert sich von (-3|0) auf die Koordinate (-1|2). Die Koordinaten bleiben also nicht erhalten. Koordinaten des Mittelpunkts. Schauen wir uns ein weiteres Beispiel mit einer nicht-kreisförmigen Form an. Und wir führen eine andere Art von Transformation durch. Wir wollen hier eine Spiegelung durchführen. Wir haben hier das Viereck ABCD. Und wir wollen herausfinden, was erhalten bleibt, wenn wir es über die Gerade L spiegeln. Es handelt sich also um eine Spiegelung. Und wir können bereits darüber nachdenken, bevor wir die Spiegelung durchführen. Aber wir führen die Spiegelung jetzt kurz durch. Wir spiegeln entlang der Gerade XY = X. Dadurch werden die X- und Y-Koordinaten getauscht. Aber das musst du nicht wissen. B' wäre also genau hier. A' wäre dann hier. D' wäre hier. Und da C direkt auf der Geraden L liegt, ändert sich sein Abbild C' nicht. Und so sieht es aus, wenn wir entlang der Geraden L spiegeln. Du musst für dieses Video nicht unbedingt wissen, wie ich das so schnell gemacht habe. Ich möchte nur, dass du siehst, wie die Spiegelung aussieht. Es geht eher darum, was bei starren Transformationen passiert. Die Spiegelung sieht also ungefähr so aus. Was bleibt also erhalten? Es ist gut, zu wissen, was bei allen starren Transformationen erhalten bleibt. Die Länge der Seiten. Das ist sogar ein Merkmal, mit dem wir starre Transformationen definiert haben. Eine Transformation, bei der die Länge zwischen den entsprechenden Punkten erhalten bleibt. Winkelmaße. Dieser Winkel A hier ist genauso groß wie der Winkel A' hier oben. Seitenlängen, der Abstand zwischen A und B, sind genauso groß wie der Abstand zwischen A' und B'. Umfang. Wenn du dieselben Seitenlängen und Winkel hast, bleiben Umfang und Fläche auch erhalten. So, wie wir es bei dem Beispiel zur Drehung gesehen haben. Das sind starre Transformationen. Diese Dinge bleiben dabei erhalten. Was bleibt dann aber nicht erhalten? Wir schauen uns einfach das Beispiel von eben an. Koordinaten bleiben nicht erhalten. A' ist eine Spiegelung von A und hat andere Koordinaten als A. B' hat andere Koordinaten als B. C' hat in diesem Fall dieselben Koordinaten wie C, da C sich zufällig auf der Geraden befindet, entlang derer wir spiegeln. Aber D' hat definitiv nicht dieselben Koordinaten wie D. Die Koordinaten von A, B, und D bleiben nicht erhalten. Nach der Transformation haben sie nicht dieselben Koordinaten. Die Koordinaten, die hier zufälligerweise erhalten bleiben, sind die von Punkt C, da er sich direkt auf der Spiegelungsgeraden befindet. Du kannst dir auch andere Eigenschaften anschauen, um zu sehen, wie sich verschiedene Abschnitte zu Geraden verhalten, die nicht transformiert wurden. Hier drüben z.B. war CD vor der Transformation parallel zur Y-Achse. Das kannst du hier drüben sehen. Aber nach der Transformation ist C'D' nicht mehr parallel zur Y-Achse, sondern parallel zur X-Achse. Wenn also Beziehungen zwischen Dingen bestehen, die außerhalb der Dinge sind, die wir transformiert haben, kann es sein, dass diese Beziehungen nach der Transformation nicht mehr bestehen.