Trigonometrische Verhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken

Lasst uns noch mehr Aufgaben lösen, um sicherzustellen, dass ihr das gut versteht. Lasst uns also noch ein Paar rechtwinklige Dreiecke zeichnen. Ich möchte, dass es klar ist, dass meine Definition nur bei den rechtwinkligen Dreiecken funktioniert. Um die Winkelfunktionen von den Winkel, die nicht in einem rechtwinkligen Dreieck sind, zu ermitteln, sollen wir sie in die rechtwinkligen Dreiecke transformieren. Aber lasst uns zuerst auf die rechtwinkligen Dreiecke konzentrieren. Nehmen wir an, dass wir ein Dreieck haben. Und eine seiner Seiten ist gleich 7. Die Länge der anderen Seite ist 4. Lasst uns die Länge von der Hypotenuse berechnen. Lasst uns die Hypotenuse als h bezeichnen. Wir wissen, dass h² = 7² + 4² ist. Wir wissen aus dem Satz des Pythagoras, dass das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Katheten ist. h² = 7² + 4² und es ist 49 plus 16. Mal sehen ...49 + 10 = 59, und 59 + 6 = 65 Das heißt, dass h² ... Lasst mich das aufschreiben ... h²... Ich nehme die gelbe Farbe... Also h² ist gleich 65. Habe ich richtig berechnet? 49 plus 10 ist 59, plus 6 ist 65. Wenn wir die Wurzel aus beiden Seiten ziehen, können wir sagen, dass h = √ 65 ist. Wir können das nicht weiter vereinfachen. Das ist das Gleiche, wenn man 13 mit 5 multipliziert. Das sind die Primzahlen, also können wir das nicht vereinfachen. Das ist gleich √ 65. Lasst uns die Werte der Winkelfunktionen von diesem oberen Winkel ermitteln. Nennen wir ihn θ. Ich glaube es lohnt sich das aufzuschreiben... Mir hilft es, wenn ich das vor Augen habe… GAGA HHAG Das fällt mitunter schwer etwas einzuprägen, aber es gibt viele Eselsbrücken, die das Leben leichter machen. Manche Eselsbrücken sind ein wenig albern. Dennoch erfüllen gerade diese besonders gut ihren Zweck. GAGA HHAG... Nehmen wir an, dass wir Kosinus-Werte von unserem Winkel ermitteln wollen. GAGA HHAG... AH sagt uns, wie wir das machen sollen. AH sagt uns, dass Kosinus das Verhältnis der Ankathete zur Hypotenuse ist. Also der Kosinus ist Ankathete durch die Hypotenuse. Sehen wir hier. Welche Seite ist die Ankathete zum Winkel θ? Wir wissen, dass die Hypotenuse diese Seite ist. Also die passt nicht. Die andere Seite, die dem Winkel anliegt und keine Hypotenuse ist, ist die Seite 4. Die ist die Ankathete.... Die ist einer der Seiten, die diesen Winkel bilden. 4 geteilt durch die Hypotenuse. Wir wissen bereits, dass die Hypotenuse gleich √ 65 ist. Es ist also gleich 4 / √ 65. Manchmal ist die Irrationalität im Nenner unerwünscht. Dann kann man durch geeignete Umformungen den Nenner in eine rationale Zahl umwandeln, d.h. wurzelfrei machen. Um den rationalen Nenner zu erhalten, erweitern wir den Bruch mit der Wurzel, die im Nenner steht:√ 65. Es ändert der Zahl nicht, aber zumindest rettet uns vor der Irrationalität im Nenner. Der Zähler ist gleich 4 √ 65 und der Nenner ist √ 65 mal √ 65. Das ist einfach 65. Wir sind die Irrationalität nicht losgeworden. Es ist immer noch da, aber jetzt ist es im Zähler. Lasst uns jetzt die anderen elementaren Winkelfunktionen analysieren. Wie ist der Wert von Sinus von θ? Wenn wir uns auf unsere Eselsbrücke beziehen, sagt uns GA, wie wir die Sinus- Werte ermitteln können. Sinus ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse. Also der Sinus ist gleich die Gegenkathete durch die Hypotenuse. Welche Seite ist die Gegenkathete zum Winkel θ? Wir suchen die Seite, die dem Winkel θ gegenüber liegt... Die gegenüberliegende Seite ist 7. Also die Gegenkathete ist 7. Das ist die Gegenkathete. Die Hypotenuse ist gleich √ 65. Wenn wir auch hier die Irrationalität im Nenner loszuwerden wollen, dann erweitern wir den Bruch mit √ 65. Im Zähler erhalten wir 7 √ 65, und im Nenner erhalten wir wieder 65. Lasst uns jetzt die Tangens-Werte ermitteln. Wenn ich euch über den Tangens von θ frage, bezieht ihr euch wieder auf die Eselsbrücke. GA sagt uns, wie man den Tangens ermittelt. Es sagt uns, dass der Tangens das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete ist. Er ist die Gegenkathete durch die Ankathete. Welche Seite ist die Gegenkathete zum Winkel θ? Wir wissen das bereits. Das ist die Seite 7. Also 7 durch ... Welche Seite ist die Ankathete? Das ist die Seite 4. Also 7 durch 4. Fertig! Wir haben die Werte von allen Winkelfunktionen von θ ermittelt. Lasst uns noch eine Aufgabe lösen. Bis jetzt haben wir gefragt: Wie ist der Wert von Tangens von x? Wie ist der Wert von Tangens von θ? Lasst uns ein konkretes Beispiel nehmen. Lasst mich ein weiteres rechtwinkliges Dreieck zeichnen. Hier ist ein rechtwinkliges Dreieck... Jetzt haben wir bloß mit den rechtwinkligen Dreiecken zu tun. Nehmen wir an, dass, die Länge der Hypotenuse gleich 4 ist. Nehmen wir an, dass die Länge dieser Seite 2 ist. Und diese Seite ist 2√3. Wir können überprüfen, ob es stimmt. Wenn wir das quadrieren… Lasst mich das aufschreiben. (2√3)² + 2² ist gleich…Wie viel ist das? Das ist gleich 4 mal 3 + 4. 12 + 4 ist gleich 16. 16 ist tatsächlich 4². Das genügt dem Satz des Pythagoras. Wenn ihr euch an den Aufgaben mit den 30-60-90 Dreiecken erinnert, könnt ihr erkennen, dass es ein 30-60-90 Dreieck ist. Es ist unser rechter Winkel. Ich sollte schon früher zeigen, dass das ein rechtwinkliges Dreieck ist. Dieser Winkel ist 30°. Und dieser Winkel oben ist 60°. Und die Winkel sind gleich 30, 60 und 90 Grad, weil die Gegenkathete zum 30° Winkel die Hälfte der Hypotenuse ist. Und die Gegenkathete zum 60° ist gleich √ 3 mal die andere Seite. Wir haben gerade den Stoff über die 30-60-90 Dreiecke wiederholt... Lasst uns jetzt die Werte von Winkelfunktionen von den verschiedenen Winkeln ermitteln. Wie ist der Wert von Sinus von 30°? Merkt euch, dass alle 30 °Winkel die gleichen Sinus-Werte haben und ihr könnt diese Werte jedes Mal anwenden, wenn ihr einen 30 °Winkel und ein rechtwinkliges Dreieck habt. Also dieser Winkel beträgt 30 °und ich kann dieses rechtwinklige Dreieck benutzen… ... und wir brauchen uns nur an unsere Eselsbrücke zu erinnern. Lasst mich das noch mal aufschreiben. GAGA/HHAG. GA sagt uns, wie wir die Sinus- Werte ermitteln können. Sinus ist gleich die Gegenkathete durch die Hypotenuse. Sin 30 ° … Das ist die Gegenkathete, die gleich 2 ist, durch die Hypotenuse. Die Hypotenuse ist 4. Das ist 2/4 oder 1/2. Ihr werdet sehen, dass sin 30° immer gleich 1/2 ist. Nun wollen wir den Wert von Kosinus von 30° ermitteln. Beziehen wir uns wieder auf GAGA/HHAG. AH sagt uns, wie wir das machen können. Der Kosinus ist gleich die Ankathete durch die Hypotenuse. Bei dem 30 °-Winkel ist diese Seite die Ankathete. Der Kosinus ist gleich die Ankathete durch die Hypotenuse. Also der ist 2√3 (die Ankathete) durch die Hypotenuse, also durch 4. Wenn wir dieser Bruch kürzen, bzw. den Zähler und den Nenner durch 2 teilen, erhalten wir √3/2. Und zuletzt ermitteln wir den Wert von Tangens von 30°... Wir kommen zu GAGAHHAG zurück ... GA sagt uns, wie man den Tangens ermittelt. Der Tangens ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete. Der Tangens von 30 ° … Die Gegenkathete ist 2. Und die Ankathete ist 2 √ 3. Also 2 √ 3. Und das ist gleich ... Zweier werden weggekürzt ... 1 / √ 3. Wir können diesen Bruch erweitern, d.h. dass wir den Zähler und den Nenner mit √ 3 multiplizieren …. Das ist gleich √ 3 durch 3. Wir sind den irrationalen Nenner losgeworden. Lasst uns nun das gleiche Dreieck benutzen, um die Winkelfunktionen von 60°-Winkel zu ermitteln. Wie ist der Wert von Sinus von 60 °? Ich glaube, ihr beginnt langsam zu verstehen. Laut unserer Wunderformel ist Sinus das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse. Wir suchen die Seite, die dem 60 °-Winkel gegenüber liegt...Die gegenüberliegende Seite ist 2 √ 3. Also, es ist die Gegenkathete durch die Hypotenuse. Oder 2 √ 3 durch 4. 4 ist die Hypotenuse. Wenn wir das vereinfachen, erhalten wir √ 3 / 2. Wie ist der Wert von Kosinus von 60°? Denkt an GAGAHHAG. Der Cosinus ist das Verhältnis der Ankathete zur Hypotenuse. Die Ankathete ist die Seite, die dem 60°-Winkel anliegt. Die ist gleich 2. Es ist also 2 durch die Hypotenuse, die 4 gleich ist. Es ist 1/2. Und zum Schluss ... Wie ist der Wert von Tangens von 60°? GAGA/HHAG Der Tangens ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete. Die Gegenkathete zum 60°-Winkel ist gleich 2 √ 3. Die Ankathete zum 60° ist gleich 2. Der Tangens ist gleich die Gegenkathete durch die Ankathete. 2 √ 3 /2. Das ist gleich einfach √ 3. Sieht nur wie all diese Funktionen miteinander verbunden sind. Der Sinus von 30° ist gleich dem Kosinus von 60°. Der Kosinus von 30°ist das Gleiche wie der Sinus von 60°. Aber diese beiden Tangens sind reziprok. Wir werden das detailliert in den nächsten Videos angehen.