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Geometrie - Weiterführende Kenntnisse

Kurs: Geometrie - Weiterführende Kenntnisse > Lerneinheit 5

Lesson 5: Einführung in trigonometrische Beziehungen
Mathematik
Geometrie - Weiterführende Kenntnisse
Rechtwinklige Dreiecke und Trigonometrie
Einführung in trigonometrische Beziehungen
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Trigonometrische Verhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken

Google Classroom
Lerne wie du den Sinus, Kosinus und Tangens von Winkeln in rechtwinkligen Dreiecken bestimmst.
Die Verhältnisse der Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck werden trigonometrische oder Winkelfunktionen genannt. Die drei üblichen trigonometrischen Funktionen sind Sinus (sin), Cosinus (cos), und Tangens (tan). Diese sind definiert für den spitzen Winkel A unten als:
In den folgenden Definitionen beziehen sich die Bezeichnungen Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse auf die Länge der Seiten.

SOH-CAH-TOA: ein einfacher Weg sich an die trigonometrischen Beziehungen zu erinnern

Das Wort sohcahtoa hilft, uns die Definition von Sinus, Cosinus und Tangens zu erinnern. Hier siehst du wie es funktioniert:
AkronymVerbale BeschreibungMathematische Definition
S, start color #11accd, O, end color #11accd, start color #aa87ff, H, end color #aa87ffstart text, S, end textinus ist start text, start color #11accd, O, end color #11accd, end textpposite (Gegenkathete) durch start text, start color #aa87ff, H, end color #aa87ff, end textypotenusesine, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start text, start color #11accd, O, p, p, o, s, i, t, e, space, left parenthesis, G, e, g, e, n, k, a, t, h, e, t, e, right parenthesis, end color #11accd, end text, divided by, start text, start color #aa87ff, H, y, p, o, t, e, n, u, s, e, end color #aa87ff, end text, end fraction
C, start color #ed5fa6, A, end color #ed5fa6, start color #aa87ff, H, end color #aa87ffstart text, C, end textosinus ist start text, start color #ed5fa6, A, end color #ed5fa6, end textnkathete durch start text, start color #aa87ff, H, end color #aa87ff, end textypotenusecosine, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start text, start color #ed5fa6, A, n, k, a, t, h, e, t, e, end color #ed5fa6, end text, divided by, start text, start color #aa87ff, H, y, p, o, t, e, n, u, s, e, end color #aa87ff, end text, end fraction
T, start color #11accd, O, end color #11accd, start color #ed5fa6, A, end color #ed5fa6start text, T, end textangens ist start text, start color #11accd, O, end color #11accd, end textpposite (Gegenkathete) durch start text, start color #ed5fa6, A, end color #ed5fa6, end textnkathetetangent, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start text, start color #11accd, O, p, p, o, s, i, t, e, space, left parenthesis, G, e, g, e, n, k, a, t, h, e, t, e, right parenthesis, end color #11accd, end text, divided by, start text, start color #ed5fa6, A, n, k, a, t, h, e, t, e, end color #ed5fa6, end text, end fraction
Wenn wir zum Beispiel uns die Definition von Sinus in Erinnerung rufen wollen, verweisen wir auf S, start color #11accd, O, end color #11accd, start color #aa87ff, H, end color #aa87ff, da Sinusmit dem Buchstaben S beginnt. Das start text, start color #11accd, O, end color #11accd, end text und das start text, start color #aa87ff, H, end color #aa87ff, end text hilft, uns zu erinnern, dass Sinus start text, start color #11accd, o, p, p, o, s, i, t, e, space, left parenthesis, G, e, g, e, n, k, a, t, h, e, t, e, end color #11accd, end text durch start text, start color #aa87ff, H, y, p, o, t, e, n, u, s, e, end color #aa87ff, end text ist!

Beispiel

Angenommen, wir wollen sine, left parenthesis, A, right parenthesis in dem folgenden triangle, A, B, C bestimmen:
Sinus ist definiert als das Verhältnis von start text, start color #11accd, O, p, p, o, s, i, t, e, space, left parenthesis, G, e, g, e, n, k, a, t, h, e, t, e, right parenthesis, end color #11accd, end text zu start text, start color #aa87ff, H, y, p, o, t, e, n, u, s, e, end color #aa87ff, end text left parenthesis, S, start color #11accd, O, end color #11accd, start color #aa87ff, H, end color #aa87ff, right parenthesis. Daher gilt:
sin⁡(A)= Gegenkathete  Hypotenuse=BCAB=35\begin{aligned}\sin( A)&=\dfrac{\blueD{\text{ Gegenkathete }} }{ \purpleC{\text{ Hypotenuse}} }\\\\ &=\dfrac{\blueD{BC}}{\purpleC{AB}}\\\\\\ &=\dfrac{\blueD{3}}{\purpleC{5}} \\\\\\ \end{aligned}
Hier ist ein weiteres Beispiel in dem Sal ein ähnlichen Beispiel durchgeht:
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Trigonometric ratios in right trianglesVideo-Transkript ansehen

Übung

Dreieck 1: triangle, D, E, F
cosine, left parenthesis, F, right parenthesis, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

sine, left parenthesis, F, right parenthesis, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

tangent, left parenthesis, F, right parenthesis, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Dreieck 2: triangle, G, H, I
cosine, left parenthesis, G, right parenthesis, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

sine, left parenthesis, G, right parenthesis, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

tangent, left parenthesis, G, right parenthesis, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Challengeaufgabe
Welche der folgenden Aussagen entspricht in dem folgenden Dreieck start fraction, a, divided by, c, end fraction?
Wähle alle zutreffenden Lösungen:

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