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Video-Transkript

Wir wollen ABCDEF als regelmäßiges Sechseck ansehen. Das Wort Sechseck sagt uns schon, dass wir es hier mit sechs Seiten zu tun haben. Man kann sie auch einfach zählen. Man muss nicht erwähnen, dass es ein Sechseck ist. Aber der Begriff "regelmäßig" sagt uns, dass alle sechs Seiten dieselbe Länge und alle Innenwinkel dieselbe Größe haben. So weit, so gut. Die Länge einer Seite ist gegeben. Weil es ein regelmäßiges Sechseck ist, ist damit die Länge jeder Seite bekannt. Sie beträgt zwei mal Wurzel drei. Diese Seite hier hat also die Länge zwei mal Wurzel drei. Diese Seite ist auch zwei mal Wurzel drei lang. Ich könnte um das ganze Sechseck herum gehen. Jede seiner Seiten ist zwei mal Wurzel drei lang. Wir sollen die Fläche des Sechsecks berechnen. Berechne die Fläche von ABCDEF. Der beste Weg, die Fläche zu berechnen, besonders bei regelmäßigen Polygonen, ist, sie in Dreiecke zu zerlegen. Sechsecke sind ein besonderer Fall. In zukünftigen Videos werden wir vielleicht mehr über den allgemeinen Fall bei beliebigen Polygonen nachdenken. Bei einem Sechseck kann man darüber nachdenken, diesen Punkt hier zu nehmen. Wir wollen diesen Punkt G nennen. Er soll der Mittelpunkt des Sechsecks sein. Wenn ich vom Mittelpunkt eines Sechsecks spreche, spreche ich über einen Punkt. Er kann nicht dieselbe Entfernung von allen Punkten hier außen haben, weil es kein Kreis ist. Aber wir können sagen, dass er dieselbe Entfernung von allen Eckpunkten hat. GD ist also gleich GC und gleich GB, was gleich GA ist, was gleich GF ist und dies ist gleich GE. Ich werden einiges davon zeichnen. Das ist GE. Hier ist GD Hier GC. Alle diese Stecken sind gleich lang. Also gibt es hier einen Punkt G, den wir Mittelpunkt des Polygons nennen können. Wir wissen, dass diese Strecke gleich lang ist, wie diese, die gleichlang ist wie diese und diese, die wiederum gleichlang ist wie diese und diese. Wir wissen auch, wenn wir den ganzen Weg im Kreis gehen, haben wir 360 Grad. Und wir wissen, dass alle diese Dreiecke kongruent zueinander sind. Es gibt mehrere Wege, dies zu zeigen. Der einfachste ist, sich zwei Seiten anzusehen. Bei allen sind diese und diese Seite kongruent zueinander, weil G im Mittelpunkt liegt. Und alle haben dieselbe dritte Seite mit der Länge zwei Wurzel drei. Also gilt für alle die Seite-Seite-Seite-Kongruenz. Wenn sie aber alle kongruent sind, dann ist dieser Innenwinkel hier derselbe für alle sechs Dreiecke. derselbe für alle sechs Dreiecke. Ich nenne ihn x. Das ist der Winkel x. Das ist x. Das ist x. Das ist x. Das ist x. Wenn man alle aufsummiert, haben wir den Kreis. Wir haben dann 360 Grad. Da wir sechs von diesen x-Winkeln haben, haben wir 6 mal x gleich 360 Grad. Wir teilen beide Seiten durch sechs und erhalten x gleich 60 Grad. Alle diese Winkel sind 60 Grad groß. Es gibt hier etwas Interessantes. Wir wissen, dass alle diese Dreiecke - z. B. Dreieck GBC - und wir können dies für jedes der sechs Dreiecke tun, es sieht aus wie ein Trivial Pursuit Teil - wir wissen, dass es gleichschenkelige Dreiecke sind, dass also diese Strecke gleich dieser Strecke ist. Wir können diese Information nutzen, um die anderen Winkel herauszufinden. Weil es ein gleichschenkeliges Dreieck ist, diese beiden Seiten sind gleich, sind die beiden Basiswinkel, dieser Winkel und dieser Winkel, kongruent zueinander. Wir nennen sie y. Also haben wir y plus y, das ist 2y, plus 60 Grad gleich 180. Die Innenwinkel jedes Dreiecks ergeben zusammen 180. Wir ziehen 60 von beiden Seiten ab und erhalten 2y gleich 120. Wir teilen beide Seiten durch zwei und bekommen y gleich 60 Grad. Das ist interessant. Ich hätte dies mit jedem dieser Dreiecke machen können. Jedes Dreieck ist ein 60-60-60-Dreieck. Da wir früher schon bewiesen haben, als wir begonnen haben, gleichseitige Dreiecke zu untersuchen, wissen wir: Wenn alle Winkel eines Dreiecks 60 Grad groß sind, dann haben wir es mit einem gleichseitigen Dreieck zu tun, dass heißt, dass alle Seiten die gleiche Länge haben. Wenn diese hier zwei Wurzel drei ist, dann auch diese. Diese ist auch zwei Wurzel drei. Und diese auch. Alle grünen Strecken haben die Länge zwei Wurzel drei. Weil es ein regelmäßiges Sechseck ist, wissen wir schon, das jede Seite des Sechsecks auch die Länge zwei Wurzel drei hat. Wir können diese Information nutzen, um herauszubekommen, um herauszubekommen, wie groß die Fläche jedes Dreiecks ist. Dann multiplizieren wie sie mit sechs. Wir konzentrieren uns auf dieses Dreieck und überlegen uns, wie wir die Fläche finden können. Wir wissen, dass die Strecke DC zwei Wurzel drei lang ist. Wir können hier die Höhe eintragen. Wir können hier die Höhe eintragen. Wir können hier die Höhe eintragen und wir wissen, dass es sich um ein gleichseitiges Dreieck handelt. Wir können sehr einfach zeigen, dass diese beiden Dreiecke symmetrisch sind. Diese beiden sind rechte Winkel. Wir wissen auch schon, dass diese beiden Winkel 60 Grad groß sind. Wenn man jedes der beiden unabhängigen Dreiecke betrachtet, müssen sich die Winkel zu 180 Grad addieren. Also muss dieser Winkel 30 Grad betragen. Dieser muss 30 Grad sein. Alle Winkel sind gleich groß. Die Dreiecke haben auch eine gemeinsame Seite. Also sind beide Dreiecke kongruent. Wenn wir die Fläche dieses kleinen Tortenstücks finden wollen, reicht es aus, die Fläche diese Stücks oder Teilstücks zu finden und dann mit zwei zu multiplizieren. Oder wir multiplizieren diese Fläche mit zwölf und erhalten die Fläche des gesamten Sechsecks. Wie berechnen wir nun die Fläche dieses Stücks? Diese Strecke ist die Hälfte der Grundlinie. Diese Strecke ist die Hälfte der Grundlinie. Ich nenne diesen Punkt H. DH hat die Länge Wurzel drei. Glücklicherweise haben wir schon erkannt, das es sich um ein 30-60-90-Dreieck handelt. Ich zeichne es hier oben. Dies ist ein 30-60-90-Dreieck. Wir wissen, dass diese Strecke Wurzel drei lang ist. Wir haben auch schon berechnet, dass diese Stecke hier zwei Wurzel drei lang ist. Wir brauchen sie allerdings nicht. Was wir aber brauchen, ist die Länge dieser Höhe. Wir wissen, das bei 30-60-90-Dreiecken die gegenüber dem 60-Grad-Winkel liegende Seite Wurzel drei mal so lang ist wie die Seite gegenüber des 30-Grad-Winkels. Also ist sie Wurzel drei mal Wurzel drei lang. Wurzel drei mal Wurzel drei ist natürlich genau drei. Diese Höhe hier hat also die Länge drei. Wenn wir die Fläche dieses Dreiecks berechnen wollen, das diesem Dreieck hier entspricht, ist sie 1/2 mal Grundlinie mal Höhe. Die Fläche dieses kleinen Stücks ist 1/2 mal die Grundlinie, genau wie hier. Aber gehen wir einen Schritt zurück. Wir müssen uns darüber keine Gedanken machen. Wir nehmen uns gleich das größere Dreieck GDC vor. Ich gege ein wenig weiter zurück. Wir haben nun die Grundlinie und die Höhe des Dreiecks. Wenn wir uns mit der Fläche des Dreiecks GDC befassen - ich betrachte jetzt das gesamte Dreieck hier. Die Fläche ist gleich 1/2 mal Grundlänge mal Höhe, also 1/2 - was ist unsere Grundlinie? Wir kennen sie bereits. Es ist eine der Seiten unseres Sechsecks. Sie ist zwei Wurzel drei lang. Es ist die gesamte Strecke hier. Also zwei Wurzel drei. Wir wollen sie mit der Höhe multiplizieren. Diese haben wir unter Verwendung der 30-60-90-Dreiecke erhalten. Unsere Höhe ist drei. Also mal drei. 1/2 und zwei heben sich auf. Wir erhalten drei mal Wurzel drei. Das ist die Fläche eines der kleinen Stücke. Das ist die Fläche eines der kleinen Stücke. Wenn wir die Fläche des gesamten Sechsecks haben wollen, müssen wir sie nur mit sechs multiplizieren, weil wir sechs von diesen Dreiecken haben. Wir haben also sechs mal drei mal Wurzel drei, das ergibt 18 mal Wurzel drei. Damit sind wir fertig.