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Video-Transkript

Willkommen zur Aufführung „45-45-90 Dreiecke“. Ich schreibe das auf... 45-45-90 Dreiecke. Wir können anders sagen: Rechtwinklige 45-45-90 Dreiecke. Das ist aber überflüssig, weil wir wissen, dass der 90°-Winkel „rechter Winkel“ heißt. Und wie Ihr denken könnt, sind 45, 45 und 90 die Winkelgröße eines Dreiecks. Warum sind diese Dreiecke was Besonderes? Im letzten Video habe ich gesagt: Wenn zwei Winkel an der Grundseite des Dreiecks gleich sind (und der dritte Winkel kann einen anderen Wert haben), wenn Ihr so zeichnet, ... Aber In diesem Fall es ist, vielleicht nicht ganz klar, dass sie an der Grundseite liegen, weil diese Winkel oben sind... Also, wenn diese zwei Winkel gleich sind, dann sind die Seiten, die für diese Winkel nicht gemeinsam sind... diese beiden hier, und hier... auch gleich. Interessant ist, dass ein 45-45-90-Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck ist, der diese Eigenschaft hat. Und woher wissen wir, dass ein rechtwinkliges Dreieck eine solche Eigenschaft besitzt? Stellt Euch ein rechtwinkliges Dreieck vor. Das ist 90° Winkel, das ist die Hypotenuse. Richtig, die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt. Wir wissen, dass diese Winkel gleich sind. Aber wie groß sie sind? Bestimmen wir die als x. Wir wissen, dass der Winkelsumme des Dreiecks 180° beträgt. Also, х+х+90=180. Oder 2х+90=180. Oder 2х=90. Oder х=45. D.h. ein rechtwinkliges Dreieck, wo zwei Winkel gleich groß sind, ist ein 45-45-90-Dreieck. Was können wir Interessantes über 45-45-90-Dreiecke erfahren? Ich zeichne das um, was wir eben besprochen haben. Ich zeichne es so. Wir wissen, dass das 90°, das 45°, und das 45° sind. Und davon ausgehend, was wir schon wissen, können wir sagen, dass die Seiten, die für die Winkel von 45° nicht gemeinsam sind, gleich sind. D.h. diese Seite und diese Seite sind gleich. Und wenn wir das aus der Sicht des Satzes des Pythagoras betrachten: Zwei Seiten, die keine Hypotenuse sind, sind gleich. Das ist die Hypotenuse. Nennen wir diese Seite A, und diese Seite B. Nennen wir die Hypotenuse C. Aus dem Satz des Pythagoras wissen wir: А²+В²=С². Wir wissen, dass A gleich B ist, weil das ein 45-45-90-Dreieck ist. Wir können A durch B oder B durch A ersetzen. Lasst uns A durch B ersetzen. Wie bekommen: В²+В²=С². Oder 2В²=С². Oder В²=С²/2. Oder В=√(С²/2). Was ist seinerseits gleich C, ( wir haben Wurzel aus С² gezogen), dann müssen wir durch √2 teilen. Es geht hier zwar über die Dreiecke, aber ich möchte Euch etwas über rationale Nenner erzählen. Also, hier ist alles richtig. Wir haben eben B errechnet, und wir wissen, dass А=В. Und B=С/√2. Und es ist so in der Mathe, dass die Menschen es nicht besonders gern haben, wenn sie im Nenner Wurzel aus 2 sehen. Sie mögen irrationale Zahlen im Nenner überhaupt nicht. Irrationale Zahlen sind solche, deren Dezimaldarstellung nicht abbricht und nicht periodisch ist. Mal sehen, wie wir Irrationalität des Nenners beseitigen können. Da wir С/√2 haben, lasst uns Zähler und Nenner des Bruches mit derselben Zahl multiplizieren, d. h. den Bruch erweitern. Also wenn wir den Bruch erweitern, das ist dasselbe wie Zähler und Nenner mit 1 multiplizieren. √2/√2=1. Wie Ihr seht, √2*√2=2, stimmt’s? Und im Zähler haben wir dann: С√2. Passt auf, С√2/2 ist dasselbe wie С/√2. Wenn Ihr einen Test macht oder eine Klausur schreibt, könnt Ihr viele Antwortvarianten haben, die genauso aussehen. Und Ihr soll verstehen, dass das die richtige Antwort ist, sogar wenn es im Test mehrere Antwortvarianten gibt. Multipliziert den Zähler und den Nenner mit √2/√2, und ihr bekommt √2/2. Aber zurück zur Aufgabe. Was haben wir gelernt? Das ist gleich B, stimmt’s? Und В=(C√2)/2 Ich schreibe das auf. Wir wissen, dass А=В, stimmt es? Und es entspricht auch (√2/2)*С. Ihr wollt Euch diese Zahl merken, sie lässt sich aber aus dem Satz des Pythagoras leicht berechnen. Man muss bloß daran denken, dass die Katheten in dem 45-45-90-Dreieck gleich sind. Und es ist sehr gut, das zu wissen. Wenn Ihr das alles sich einprägt und eine ähnliche Aufgabe bekommt, wo nur die Hypotenuse gegeben ist, könnt Ihr die Länge anderer Seiten des Dreiecks sehr schnell berechnen. Sind aber nur Seiten gegeben, so könnt Ihr die Hypotenuse leicht berechnen. Lasst uns das ausprobieren. Ich lösche das alles. Wir haben eben festgestellt, dass А=В=(√2/2)/С ist. Ich zeichne ein rechtwinkliges Dreieck. Dieser Winkel ist 90° groß. Und dieser hier ist 45° . Diese Seite ist, sagen wir, 8. Ich soll rausfinden, wie lang diese Seite ist. Mal wir sehen, wo die Hypotenuse ist. Die Hypotenuse ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt. Wir versuchen jetzt, die Hypotenuse zu berechnen. Nennen wir das C. Und wir wissen schon, dass das ein 45-45-90-Dreieck ist. Da dieser Winkel 45° ist, ist das auch 45°, weil Winkelsumme gleich 180° ist. Und wir wissen auch, dass diese Seite 8 ist. Das kann Seite A oder B sein. Wir wissen, dass Seite 8=(√2/2)С ist. С sollen wir berechnen. Wenn wir beide Seiten der Gleichung mit 2/√2 multiplizieren, d.h. ich multipliziere mit dem Kehrbruch oder mit dem Koeffizienten C. Wurzel aus 2 wird beim Multiplizieren weggekürzt, diese 2 wird von dieser weggekürzt. Und wir erhalten 2*8=16...16/√2=С. Das soll richtig sein. Ich habe Euch aber mal gesagt, dass manche Leute irrationale Zahlen im Nenner nicht mögen. Wir können das transformieren: С=(16/√2)*(√2/√2). Und das ist gleich (16√2)/2. Und das ist dasselbe wie 8√2. Also, in dieser Aufgabe ist С=8√2. Und wir wissen noch, dass das ein 45-45-90-Dreieck ist. Und diese Seite ist 8. In dem nächsten Video zeige ich euch eine andere Art von Dreiecken. Eigentlich könnte ich weitere Aufgaben lösen, weil wir hier alles ziemlich schnell besprochen haben. Wir sehen uns bei nächster Aufführung.