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Geometrie - Weiterführende Kenntnisse
Kurs: Geometrie - Weiterführende Kenntnisse > Lerneinheit 5
Lesson 3: Besondere rechtwinklige Dreiecke- Besondere rechtwinklige Dreiecke - Beweis (Teil 1)
- Besondere rechtwinklige Dreiecke - Beweis (Teil 2)
- Besondere rechtwinklige Dreiecke
- 30-60-90-Dreieck Beispielaufgabe
- Fläche eines regelmäßigen Sechsecks
- Besondere rechtwinklige Dreiecke - Wiederholung
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Besondere rechtwinklige Dreiecke - Beweis (Teil 1)
Lerne wie du die Verhältnisse zwischen den Seiten eines 30-60-90 Dreiecks beweist. Erstellt von Sal Khan
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Video-Transkript
In diesem Video will ich einen Sonderfall von Dreiecken diskutieren, genannt
30-60-90° Dreiecke. Und ich denke, du weisst,
warum sie so genannt werden. Die Maße seiner Winkel
sind 30 Grad, 60 Grad, und 90 Grad. Und was wir
in diesem Video beweisen werden, und dies wird ein sehr nützliches Ergebnis sein, mindestens für für eine Menge von dem, was du im Geometrie-Unterericht und dann später im Trigonometrie-Unterricht sehen wirs, ist das Verhältnis zwischen den Seiten im 30-60-90° Dreieck. Denke daran, die Hypotenuse ist
gegenüber dem 90-Grad-Winkel. Wenn der Hypotenuse
Länge x hat, was wir werden beweisen, dass
die kürzeste Seite, die ist gegenüber dem 30-Grad-
Seite weist Länge x / 2, und daß die 60-Grad-
Seite oder die Seite, die ist Gegenüber dem 60-Grad-
Winkel, würde ich sagen, wird sich Quadratwurzel sein
der 3-fache der kürzesten Seite. So Quadratwurzel von 3 mal x / 2,
das wird seine Länge sein. Also das ist, wo wir hingehen
in diesem Video zu beweisen. Und dann werden wir das in anderen Videos anwenden. Wir werden zeigen,
dass dies tatsächlich ein ziemlich brauchbares Ergebnis ist. Lassen Sie uns nun mit einem Dreieck starten
dass wir sehr vertraut mit. Lassen Sie mich also selbst zu zeichnen
ein gleichseitiges Dreieck. So zeichnen Sie die Dreiecke
ist immer der schwierige Teil. Das ist meine beste Chance auf
ein gleichseitiges Dreieck. So nennen wir dieses ABC. Ich werde einfach
davon ausgehen, dass ich konstruiert ein
gleichseitigen Dreiecks. So gleichseitigen Dreiecks ABC. Und wenn es gleichseitigen,
das bedeutet, dass alle seine Seiten sind gleich. Und lassen Sie uns sagen, gleichseitigen
mit der Seitenlänge x. So, das wird sein,
x, das wird x sein, und das wird x sein. Wir wissen auch,
basierend auf, was wir von gleichseitigen gesehen
Dreiecke vor, daß die Maßnahmen
alle diese Winkel gehen, um 60 Grad. So, das wird
bis 60 Grad, dies sein wird,
60 Grad, und dann das wird 60 Grad betragen. Nun, was ich tun werde, ich werde bis zu einer Höhe von diesen fallen
oberen Punkt rechts hier. Also werde ich zu fallen
eine Höhe hin, und per Definition Ich bin, wenn
Konstruieren einer Höhe, es geht um die Basis schneiden
hier in einem rechten Winkel. Also das ist, zu gehen
ein rechter Winkel sein, und das wird
ein rechter Winkel sein. Und es ist ein hübsches
einfache Beweis um zu zeigen, dass nicht nur
dies ist eine Höhe, es ist nicht nur
senkrecht zu dieser Basis, aber es ist ein hübsches
einfache Beweis zeigen, dass es
durchschneidet die Basis. Und man konnte es zu unterbrechen, wenn Sie
mögen und beweisen Sie sich. Aber es kommt wirklich
aus der Tatsache , dass es einfach zu beweisen,
dass diese beiden Dreiecke kongruent. Lassen Sie mich beweisen es für Sie. So nennen wir diese
Punkt D rechts hier. So Dreiecke ABD und BDC, sie
klar beide teilen diese Seite. Also dieser Seite ist üblich,
beide von ihnen direkt über hier. Dieser Winkel rechts hier
kongruent zu diesem Winkel drüben. Dieser Winkel rechts hier
kongruent zu diesem Winkel hier. Und so, wenn diese beiden sind
kongruent zueinander, dann wird der dritte Winkel zu
kongruent zueinander. So richtig dieser Winkel
hier muss kongruent zu sein
Winkel gleich da drüben. So sind diese beiden deckungsgleich. Und so können Sie
tatsächlich eine Vielzahl unserer Kongruenz postuliert. Wir könnten sagen,
Seitenwinkelseitigen Kongruenz. Wir konnten zu verwenden
Winkel-Seitenwinkel, irgendwelche von denen zu zeigen, dass Dreieck ABD ist
kongruent Dreieck CBD. Und was das für uns tut,
und wir nutzen könnten, wie gesagt, wir könnten Winkel-Seitenwinkel verwenden
oder Seitenwinkel-Seite, was auch immer uns gefällt
um für diesen Einsatz. Was das bedeutet für
Uns ist es uns sagt, dass das entsprechende
Seiten dieser Dreiecke gehen gleich zu sein. Insbesondere ist AD
gehen gleich CD sein. Diese werden entsprechenden Seiten. So werden diese zu gehen
werden zueinander gleich. Und wenn wir wissen, dass sie
einander gleich sind, und sie sich zu
x-- erinnern, diese war ein gleichseitiges
Dreieck der Länge x-- wir wissen, dass diese Seite rechts
hier, sein wird, x / 2. Wir wissen dies wird x 2 sein. Nicht nur, dass wir wissen,
das, wir auch wusste, wenn wir fallen gelassen
Diese Höhe, Wir haben gezeigt, dass dieser Winkel hat
deckungsgleich zu sein, um diesem Winkel, und ihre Maßnahmen
haben bis zu 60 hinzuzufügen. Also, wenn zwei Dinge sind die
gleichen und sie summieren sich auf 60, dies sein wird 30 Grad sein und dies wird 30 Grad sein. So haben wir bereits eine dargestellt habe
der interessantTeile eines 30-60-90 Dreieck, dass, wenn
die hypotenuse-- Mitteilung und ich denke ich nicht weise darauf hin. Durch Fallenlassen dieser
Höhe, ich habe im Wesentlichen aufgeteilt dieses Dreieck
in zwei Dreiecke 30-60-90. Und so haben wir bereits gezeigt haben
dass, wenn die gegenüberliegende Seite Die 90-Grad-Seiten
x ist, daß die Seiten gegenüber dem 30-Grad-
Seite sein wird, x / 2. Das ist, was wir haben gezeigt,
Recht hier. Jetzt müssen wir nur noch zur dritten Seite kommen, die Seite, die gegenüber dem 60-Grad-Winkel ist. Ich werde einfach die Buchstaben verwenden
dass wir bereits hier. Dies ist BD. Und wir können einfach die
Pythagoras hier richtig. BD quadriert und diese
Länge direkt über hier squared plus x / 2
squared wird gleich dem sein
Hypotenuse quadriert. So bekommen wir BD Quadrat
plus x / 2 Quadat-- dies ist aus dem Satz des Pythagoras .-- plus x / 2 quadriert Nahmen
gleich diese Hypotenuse im Quadrat. Es ist gleich x gehen zum Quadrat. Und nur klar zu sein, bin ich
sehen sich gerade dieses Dreieck rechts hier. Ich freue mich auf dieses Dreiecks
Recht hier auf der rechten Seite, und ich bin nur Anwendung
der Satz des Pythagoras. Diese Seite im Quadrat plus diese Seite im Quadrat ist gleich Hypotenuse zum Quadrat. Und jetzt lösen wir nach BD auf. Sie erhalten BD squared
plus x quadriert über 4. x Quadrat als 4 ist
gleich x quadriert. Sie könnten dies anzuzeigen
als 4x Quadrat als 4. Das ist dasselbe,
offensichtlich, quadriert als x. Wenn Sie 1/4 zum Quadrat
von beiden Seiten, oder x quadriert über
4 von beiden Seiten, Sie BD quadriert wird
gleich zu-- 4x squared mehr als 4 minus x mehr als 4 Quadrat ist
sein wird 3x squared über 4. So ist es nur geht, um
sein 3x squared über 4. Nehmen Sie die Haupt
Wurzel beidseitig. Sie erhalten BD entspricht der
Quadratwurzel von 3 mal x. Die Hauptwurzel
von 3 Quadratwurzel der 3. die Hauptwurzel
von x zum Quadrat ist nur x, über den Haupt
Wurzel der 4, die 2 ist. Und BD ist die Seite gegen
die 60-Grad-Seite. Also wir sind fertig. Wenn dieser Hypotenuse
x ist, die Seiten gegenüber dem 30-Grad-
Seite sein wird, x / 2, und die Seite gegenüber der 60-Grad-Seite ist die Quadratwurzel von 3 geteilt durch 2 mal x, oder die Quadratwurzel von
3x geteilt durch 2, je nachdem, wie du das sehen willst.