Überprüfe den Sinussatz und den Kosinussatz, und verwende sie, um Aufgaben mit einem beliebigen Dreieck zu lösen.

Sinussatz

asin(α)=bsin(β)=csin(γ)\dfrac{a}{\sin(\alpha)}=\dfrac{b}{\sin(\beta)}=\dfrac{c}{\sin(\gamma)}

Kosinussatz

c2=a2+b22abcos(γ)c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\gamma)
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Übungsreihe 1: Dreiecke mit Hilfe des Sinussatzes lösen

Dieser Satz ist nützlich, um einen fehlenden Winkel zu bestimmen, wenn ein Winkel und zwei Seiten gegeben sind, oder eine fehlende Seite zu bestimmen, wenn zwei Winkel und eine Seite gegeben sind.

Beispiel 1: Eine fehlende Seite bestimmen

Wir wollen in dem folgenden Dreieck ACAC bestimmen:
Entsprechend dem Sinussatz gilt, ABsin(C)=ACsin(B)\dfrac{AB}{\sin(\angle C)}=\dfrac{AC}{\sin(\angle B)}. Nun können wir die Werte einsetzen auf lösen:
ABsin(C)=ACsin(B)5sin(33)=ACsin(67)5sin(67)sin(33)=AC8,45AC\begin{aligned} \dfrac{AB}{\sin(\angle C)}&=\dfrac{AC}{\sin(\angle B)} \\\\ \dfrac{5}{\sin(33^\circ)}&=\dfrac{AC}{\sin(67^\circ)}\\\\ \dfrac{5\sin(67^\circ)}{\sin(33^\circ)}&=AC \\\\ 8{,}45&\approx AC \end{aligned}

Beispiel 2: Einen fehlenden Winkel bestimmen

Wir wollen in dem folgenden Dreieck mAm\angle A bestimmen:
Entsprechend dem Sinussatz gilt, BCsin(A)=ABsin(C)\dfrac{BC}{\sin(\angle A)}=\dfrac{AB}{\sin(\angle C)}. Nun können wir die Werte einsetzen auf lösen:
BCsin(A)=ABsin(C)11sin(A)=5sin(25)11sin(25)=5sin(A)11sin(25)5=sin(A)\begin{aligned} \dfrac{BC}{\sin(\angle A)}&=\dfrac{AB}{\sin(\angle C)} \\\\ \dfrac{11}{\sin(\angle A)}&=\dfrac{5}{\sin(25^\circ)} \\\\ 11\sin(25^\circ)&=5\sin(\angle A) \\\\ \dfrac{11\sin(25^\circ)}{5}&=\sin(\angle A) \end{aligned}
Wir berechnen mit Hilfe des Taschenrechners und runden:
mA=sin1(11sin(25)5)68,4m\angle A=\sin^{-1}\left(\dfrac{11\sin(25^\circ)}{5}\right)\approx 68{,}4^\circ
Denke daran, dass wenn der fehlende Winkel stumpf ist, wir 180180^\circ nehmen müssen und von dem, was wir mit dem Taschenrechner erhalten haben, subtrahieren.
Möchtest du mehr Aufgaben wie diese lösen? Schau dir diese Übung an.

Übungsreihe 2: Dreiecke mit Hilfe des Kosinussatzes lösen

Dieser Satz ist meistens nützlich, um ein Winkelmaß zu bestimmen, wenn alle Seiten gegeben sind. Er ist auch nützlich, oder eine fehlende Seite zu bestimmen, wenn die anderen Seiten und ein Winkelmaß gegeben sind.

Beispiel 1: Einen Winkel bestimmen

Wir wollen in dem folgenden Dreieck mBm\angle B bestimmen:
Entsprechend des Kosinussatzes gilt:
(AC)2=(AB)2+(BC)22(AB)(BC)cos(B)(AC)^2=(AB)^2+(BC)^2-2(AB)(BC)\cos(\angle B)
Nun können wir die Werte einsetzen und lösen:
(5)2=(10)2+(6)22(10)(6)cos(B)25=100+36120cos(B)120cos(B)=111cos(B)=111120\begin{aligned} (5)^2&=(10)^2+(6)^2-2(10)(6)\cos(\angle B) \\\\ 25&=100+36-120\cos(\angle B) \\\\ 120\cos(\angle B)&=111 \\\\ \cos(\angle B)&=\dfrac{111}{120} \end{aligned}
Wir berechnen mit Hilfe des Taschenrechners und runden:
mB=cos1(111120)22,33m\angle B=\cos^{-1}\left(\dfrac{111}{120}\right)\approx 22{,}33^\circ

Beispiel 2: Eine fehlende Seite bestimmen

Wir wollen in dem folgenden Dreieck ABAB bestimmen:
Entsprechend des Kosinussatzes gilt:
(AB)2=(AC)2+(BC)22(AC)(BC)cos(C)(AB)^2=(AC)^2+(BC)^2-2(AC)(BC)\cos(\angle C)
Nun können wir die Werte einsetzen und lösen:
(AB)2=(5)2+(16)22(5)(16)cos(61)(AB)2=25+256160cos(61)AB=281160cos(61)AB14,3\begin{aligned} (AB)^2&=(5)^2+(16)^2-2(5)(16)\cos(61^\circ) \\\\ (AB)^2&=25+256-160\cos(61^\circ) \\\\ AB&=\sqrt{281-160\cos(61^\circ)} \\\\ AB&\approx 14{,}3 \end{aligned}
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Übungsreihe 3: Textaufgaben zu allgemeinen Dreiecken

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