Lerne über Arkussinus, Arkuskosinus und Arkustangens und wie sie genutzt werden können um nach einem fehlenden Winkel in rechtwinkligen Dreiecken aufzulösen.
Wir schauen uns jetzt eine neue Art von trigonometrischen Aufgaben an. Interessanterweise können diese Aufgaben nicht mit Sinus, Kosinus oder Tangens gelöst werden.
Eine Aufgabe: Wie groß ist in dem folgenden Dreieck der Winkel LL?
Was wir wissen: In Bezug zu L\angle L kennen wir die Längen der Gegenkathete und der Ankathete. Also können wir schreiben:
tan(L)=GegenkatheteAnkathete=3565\tan(L) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \dfrac{35}{65}
Aber das hilft uns nicht dabei, die Größe von L\angle L herauszufinden. Wir stecken fest!
Was wir benötigen: Wir benötigen ein neues mathematisches Tool, um Aufgaben wie diese zu lösen. Unsere alten Freunde Sinus, Kosinus und Tangens sind für diese Aufgabe nicht geeignet. Sie berechnen anhand von Winkeln Seitenverhältnisse, aber wir benötigen Funktionen, die aus Seitenverhältnissen Winkel berechnen. Wir benötigen die inversen trigonometrischen Funktionen!

Die inversen trigonometrischen Funktionen

Wir kennen bereits inverse (umgekehrte) Rechenvorgänge. Addition und Subtraktion sind zum Beispiel inverse Rechenvorgänge, genau wie Multiplikation und Division. Jeder Rechenvorgang macht das Gegenteil seiner Umkehrung.
Der gleiche Gedanke steckt in der Trigonometrie dahinter. Inverse trigonometrische Funktionen machen das Gegenteil der “normalen” trigonometrischen Funktionen. Zum Beispiel:
  • Die inverse Funktion des Sinus, der Arkussinus (sin1)(\sin^{-1}), macht das Gegenteil des Sinus.
  • Die inverse Funktion des Kosinus, der Arkuskosinus (cos1)(\cos^{-1}), macht das Gegenteil des Kosinus.
  • Die inverse Funktion des Tangens, der Arkustangens (tan1)(\tan^{-1}), macht das Gegenteil des Tangens.
Wenn du das trigonometrische Verhältnis, aber nicht den Winkel weißt, kannst du die entsprechende inverse trigonometrische Funktion verwenden, um den Winkel zu berechnen. Dies wird in den folgenden Aussagen mathematisch ausgedrückt.
Trigonometrische Funktionen berechnen Seitenverhältnis aus WinkelnInverse trigonometrische Funktionen berechnen Winkel aus Seitenverhältnissen
sin(θ)=GegenkatheteHypotenuse\sin (\theta)=\dfrac {\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\rightarrowsin1(GegenkathetheHypotenuse)=θ\sin^{-1}\left(\dfrac {\text{Gegenkathethe}}{\text{Hypotenuse}}\right)=\theta
cos(θ)=AnkatheteHypotenuse\cos (\theta)=\dfrac {\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\rightarrowcos1(AnkatheteHypotenuse)=θ\cos^{-1}\left(\dfrac {\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\right)=\theta
tan(θ)=GegenkatheteAnkathete\tan (\theta)=\dfrac {\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\rightarrowtan1(GegenkatheteAnkathete)=θ\tan^{-1}\left(\dfrac {\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\right)=\theta

Warnung vor einem Missverständnis!

Der Ausdruck sin1(x)\sin^{-1}(x) ist nicht das gleiche wie 1sin(x)\dfrac{1}{\sin(x)}. Anders ausgedrückt: Die 1\small{-1} ist kein Exponent. Stattdessen bedeutet sie einfach nur inverse Funktion.
Es gibt jedoch eine alternative Schreibweise, die diese Falle umgeht! Der Arkussinus kann auch als arcsin\arcsin geschrieben werden, der Arkuskosinus als arccos\arccos und der Arkustangens als arctan\arctan. Diese Schreibweise ist in Programmiersprachen üblich, aber nicht in der Mathematik.

Lösung der einleitenden Aufgabe

In der einleitenden Aufgabe hatten wir die Längen der Gegenkathete und der Ankathete gegeben. Wir können also den Arkustangens verwenden, um den Winkel zu berechnen.
mL=tan1( Gegenkathethe Ankathete )Definiere.mL=tan1(3565)Setze Werte ein.mL28,30Berechne mit einem Taschenrechner.\begin{aligned} { m\angle L}&=\tan^{-1} \left(\dfrac{\text{} \blueD{\text{ Gegenkathethe}} }{\text{}\maroonC{\text{ Ankathete} }\text{ }} \right)\quad\small{\gray{\text{Definiere.}}} \\\\ m\angle L&=\tan^{-1}\left(\dfrac{\blueD{35}}{\maroonC{65}}\right)\quad\small{\gray{\text{Setze Werte ein.}}} \\\\ m\angle L &\approx 28{,}30^\circ \quad\small{\gray{\text{Berechne mit einem Taschenrechner.}}}\end{aligned}

Lass uns nun einige Übungsaufgaben in Angriff nehmen.

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