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Geometrie - Weiterführende Kenntnisse

Kurs: Geometrie - Weiterführende Kenntnisse > Lerneinheit 5

Lesson 7: Ermitteln eines Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck mit Hilfe der trigonometrischen Beziehungen
Mathematik
Geometrie - Weiterführende Kenntnisse
Rechtwinklige Dreiecke und Trigonometrie
Ermitteln eines Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck mit Hilfe der trigonometrischen Beziehungen
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Einführung in inverse trigonometrische Funktionen

Google Classroom
Lerne über Arkussinus, Arkuskosinus und Arkustangens und wie sie genutzt werden können um nach einem fehlenden Winkel in rechtwinkligen Dreiecken aufzulösen.
Wir schauen uns jetzt eine neue Art von trigonometrischen Aufgaben an. Interessanterweise können diese Aufgaben nicht mit Sinus, Kosinus oder Tangens gelöst werden.
Eine Aufgabe: Wie groß ist in dem folgenden Dreieck der Winkel L?
Was wir wissen: In Bezug zu angle, L kennen wir die Längen der Gegenkathete und der Ankathete. Also können wir schreiben:
tangent, left parenthesis, L, right parenthesis, equals, start fraction, start text, G, e, g, e, n, k, a, t, h, e, t, e, end text, divided by, start text, A, n, k, a, t, h, e, t, e, end text, end fraction, equals, start fraction, 35, divided by, 65, end fraction
Aber das hilft uns nicht dabei, die Größe von angle, L herauszufinden. Wir stecken fest!
Was wir benötigen: Wir benötigen ein neues mathematisches Tool, um Aufgaben wie diese zu lösen. Unsere alten Freunde Sinus, Kosinus und Tangens sind für diese Aufgabe nicht geeignet. Sie berechnen anhand von Winkeln Seitenverhältnisse, aber wir benötigen Funktionen, die aus Seitenverhältnissen Winkel berechnen. Wir benötigen die inversen trigonometrischen Funktionen!

Die inversen trigonometrischen Funktionen

Wir kennen bereits inverse (umgekehrte) Rechenvorgänge. Addition und Subtraktion sind zum Beispiel inverse Rechenvorgänge, genau wie Multiplikation und Division. Jeder Rechenvorgang macht das Gegenteil seiner Umkehrung.
Der gleiche Gedanke steckt in der Trigonometrie dahinter. Inverse trigonometrische Funktionen machen das Gegenteil der “normalen” trigonometrischen Funktionen. Zum Beispiel:
  • Die inverse Funktion des Sinus, der Arkussinus left parenthesis, sine, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis, macht das Gegenteil des Sinus.
  • Die inverse Funktion des Kosinus, der Arkuskosinus left parenthesis, cosine, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis, macht das Gegenteil des Kosinus.
  • Die inverse Funktion des Tangens, der Arkustangens left parenthesis, tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis, macht das Gegenteil des Tangens.
Wenn du das trigonometrische Verhältnis, aber nicht den Winkel weißt, kannst du die entsprechende inverse trigonometrische Funktion verwenden, um den Winkel zu berechnen. Dies wird in den folgenden Aussagen mathematisch ausgedrückt.
Trigonometrische Funktionen berechnen Seitenverhältnis aus WinkelnInverse trigonometrische Funktionen berechnen Winkel aus Seitenverhältnissen
sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, G, e, g, e, n, k, a, t, h, e, t, e, end text, divided by, start text, H, y, p, o, t, e, n, u, s, e, end text, end fractionright arrowsine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, G, e, g, e, n, k, a, t, h, e, t, h, e, end text, divided by, start text, H, y, p, o, t, e, n, u, s, e, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta
cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, A, n, k, a, t, h, e, t, e, end text, divided by, start text, H, y, p, o, t, e, n, u, s, e, end text, end fractionright arrowcosine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, A, n, k, a, t, h, e, t, e, end text, divided by, start text, H, y, p, o, t, e, n, u, s, e, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta
tangent, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, G, e, g, e, n, k, a, t, h, e, t, e, end text, divided by, start text, A, n, k, a, t, h, e, t, e, end text, end fractionright arrowtangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, G, e, g, e, n, k, a, t, h, e, t, e, end text, divided by, start text, A, n, k, a, t, h, e, t, e, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta

Warnung vor einem Missverständnis!

Der Ausdruck sine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis ist nicht das gleiche wie start fraction, 1, divided by, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction. Anders ausgedrückt: Die minus, 1 ist kein Exponent. Stattdessen bedeutet sie einfach nur inverse Funktion.
Es gibt jedoch eine alternative Schreibweise, die diese Falle umgeht! Der Arkussinus kann auch als \arcsin geschrieben werden, der Arkuskosinus als \arccos und der Arkustangens als \arctan. Diese Schreibweise ist in Programmiersprachen üblich, aber nicht in der Mathematik.

Lösung der einleitenden Aufgabe

In der einleitenden Aufgabe hatten wir die Längen der Gegenkathete und der Ankathete gegeben. Wir können also den Arkustangens verwenden, um den Winkel zu berechnen.
m∠L=tan⁡−1( Gegenkathethe Ankathete )Definiere.m∠L=tan⁡−1(3565)Setze Werte ein.m∠L≈28,30∘Berechne mit einem Taschenrechner.\begin{aligned} { m\angle L}&=\tan^{-1} \left(\dfrac{\text{} \blueD{\text{ Gegenkathethe}} }{\text{}\maroonC{\text{ Ankathete} }\text{ }} \right)\quad\small{\gray{\text{Definiere.}}} \\\\ m\angle L&=\tan^{-1}\left(\dfrac{\blueD{35}}{\maroonC{65}}\right)\quad\small{\gray{\text{Setze Werte ein.}}} \\\\ m\angle L &\approx 28{,}30^\circ \quad\small{\gray{\text{Berechne mit einem Taschenrechner.}}}\end{aligned}

Lass uns nun einige Übungsaufgaben in Angriff nehmen.

Aufgabe 1
Gegeben ist triangle, K, I, P, bestimme m, angle, I.
Runde deine Antwort auf das nächste hundertstel Grad.
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
degrees

Aufgabe 2
Gegeben ist triangle, D, E, F, bestimme m, angle, E.
Runde deine Antwort auf das nächste hundertstel Grad.
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
degrees

Aufgabe 3
Gegeben ist triangle, L, Y, N, bestimme m, angle, Y.
Runde deine Antwort auf das nächste hundertstel Grad.
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
degrees

Challengeaufgabe
Löse das komplette Dreieck. Das heißt, berechne alle unbekannten Seiten und unbekannten Winkel.
Runde deine Antwort auf das nächste Hundertstel.
O, E, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
m, angle, O, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
degrees
m, angle, Z, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
degrees

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