Nach einer Seite auflösen in einem rechtwinkligen Dreieck mit Hilfe der Trigonometrie

Diesmal wollen wir die Werte für Seiten und Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks herausfinden. Diesmal wollen wir die Werte für Seiten und Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks herausfinden. Die Längenangaben sollen dabei auf eine Kommastelle gerundet werden. Das Dreieck zu "lösen" meint, die Länge jeder Seite herauszufinden. Das Dreieck zu "lösen" meint, die Länge jeder Seite herauszufinden. Das heisst in unserem Fall, herauszufinden, welche Werte a und b haben. Das heisst in unserem Fall, herauszufinden, welche Werte a und b haben. Ausserdem müssen wir alle Winkel des rechtwinkligen Dreiecks berechnen. Zwei der Winkel sind angegeben, wir müssen also den dritten Winkel berechnen. Zwei der Winkel sind angegeben, wir müssen also den dritten Winkel berechnen. Es gibt mehrere Lösungswege. Wir werden zunächst die Strecke XW berechnen. Es gibt mehrere Lösungswege. Wir werden zunächst die Strecke XW berechnen. Lasst mich euch einen kleinen Tipp geben! Lasst mich euch einen kleinen Tipp geben! Ihr könntet die Dreiecksfunktionen eines Taschenrechners verwenden, Ihr könntet die Dreiecksfunktionen eines Taschenrechners verwenden, über die wir schon einiges gelernt haben. Versucht doch zunächst einmal selbst, den Wert für "a" herauszufinden. Versucht doch zunächst einmal selbst, den Wert für "a" herauszufinden. Was wissen wir denn bereits über das Dreieck? Wir kennen die Größe des Winkels "Y" und die Länge einer der anliegenden Seiten. Wir kennen die Größe des Winkels "Y" und die Länge einer der anliegenden Seiten. Die Seite "a" liegt dem Winkel "Y" gegenüber. Die Seite "a" liegt dem Winkel "Y" gegenüber. Welche Dreiecksformel gibt uns ein Verhältnis von Gegenkathete und Ankathete an? Welche Dreiecksformel gibt uns ein Verhältnis von Gegenkathete und Ankathete an? Bezogen auf den Winkel Y ist a die Gegenkathete, Bezogen auf den Winkel Y ist a die Gegenkathete, und 5 ist hier die Länge der Ankathete. Solltet ihr es nicht auswendig wissen, erinnert euch nochmal an Soh Cah Toa. Solltet ihr es nicht auswendig wissen, erinnert euch nochmal an Soh Cah Toa. SOH: Sinus, Gegenkathete (opposite) und Hypothenuse CAH: Cosinus, Ankathete und Hypothenuse TOA: Tangens, Gegenkathete (opposite) und Ankathete In unserem Dreieck ist also Tangens 65°, der Wert des Winkels Y, In unserem Dreieck ist also Tangens 65°, der Wert des Winkels Y, gleich der Länge der Gegenkathete, also a durch die Länge der Ankathete, hier 5 gleich der Länge der Gegenkathete, also a durch die Länge der Ankathete, hier 5, denn 5 war in unserem Dreieck bereits angegeben. Wie finde ich nun a heraus? Dazu müssen wir mit dem Taschenrechner den Wert für Tangens von 5 berechnen, Dazu müssen wir mit dem Taschenrechner den Wert für Tangens von 65° berechnen, und die Gleichung dann nach a auflösen. Um die Gleichung nach a aufzulösen, können wir beide Seiten mit 5 multiplizieren. Um die Gleichung nach a aufzulösen, können wir beide Seiten mit 5 multiplizieren. Das schreibe ich hier in dunkelgrün. Mal 5 auf beiden Seiten. Mal 5 auf beiden Seiten. Auf der rechten Seite heben die beiden Fünfen sich auf, Auf der rechten Seite heben die beiden Fünfen sich auf, damit lautet die Gleichung dann a = 5 tan (65°). Nun können wir den Taschenrechner zur Hand nehmen, und den berechneten Wert für a auf eine Kommastelle runden. Das ist mein TI-85, mit dem ich tan (65) berechne. Das ist mein TI-85, mit dem ich tan (65) berechne. Die Zahl, die meine Berechnung von tan 65 ergibt, muss ich nun noch auf eine Kommastelle runden. Die Zahl, die meine Berechnung von tan 65 ergibt, muss ich nun noch auf eine Kommastelle runden. Das bedeutet, 10,72253... muss ich runden, das ergibt ungefähr 10,7. Die genaue Zahl ist viel länger, mein gerundeter Wert mit einer Kommastelle ist 10,7. Die genaue Zahl ist viel länger, mein gerundeter Wert mit einer Kommastelle ist 10,7. Das heißt, a = 10,7. Das heißt, a = 10,7. a hat also ungefähr (da gerundet) die Länge 10,7. Nun können wir b berechnen, auch dafür gibt es mehrere Möglichkeiten. Versucht doch, b auf eure Art und Weise zu berechnen. Ich zeige euch dann, wie ich b herausfinden würde. Die nächste Frage unseres Dreiecksrätsels lautet: Wie lang ist die Seite WY? Die nächste Frage unseres Dreiecksrätsels lautet: Wie lang ist die Seite WY? Anders ausgedrückt: Welchen Wert hat "b"? Anders ausgedrückt: Welchen Wert hat "b"? Es gibt mehrere Möglichkeiten. Da b in diesem Dreieck die Hypothenuse darstellt, könnten wir mit trigonometrischen Funktionen arbeiten. Da b in diesem Dreieck die Hypothenuse darstellt, könnten wir mit trigonometrischen Funktionen arbeiten. Wir könnten die Beziehung zwischen Ankathete und Hypothenuse, oder die zwischen Gegenkathete und Hypothenuse ausnutzen. Wir könnten auch einfach den Satz des Pythagoras anwenden. Wir könnten auch einfach den Satz des Pythagoras anwenden. Da wir zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks kennen, können wir damit die dritte Seite berechnen. Wir haben uns mit trigonometrischen Formeln beschäftigt, daher werde ich damit arbeiten. Wir haben uns mit trigonometrischen Formeln beschäftigt, daher werde ich damit arbeiten. Die Seite WY ist in unserem Dreieck die Hypothenuse, also suchen wir mit b die Länge der Hypothenuse. Die Seite WY ist in unserem Dreieck die Hypothenuse, also suchen wir mit b die Länge der Hypothenuse. Da wir die Länge der anderen Seiten kennen, könnten wir SOH oder CAH verwenden, das bedeutet Gegenkathete und Hypothenuse, oder Ankathete und Hypothenuse. das bedeutet Gegenkathete und Hypothenuse, oder Ankathete und Hypothenuse. Wir wissen aber, dass XY die Länge 5 hat, und den Wert für a kennen wir nur näherungsweise. Wir wissen aber, dass XY die Länge 5 hat, und den Wert für a kennen wir nur näherungsweise. Lasst uns daher die Seite XY nehmen, dann müssen wir nicht mit der ungenauen Länge a rechnen. Lasst uns daher die Seite XY nehmen, dann müssen wir nicht mit der ungenauen Länge a rechnen. In welcher trigonometrischen Formel kommen Ankathete und Hypothenuse vor? In welcher trigonometrischen Formel kommen Ankathete und Hypothenuse vor? Das CAH von SohCahToa meint Cosinus (Winkel) = Ankathete durch Hypothenuse, Das CAH von SohCahToa meint Cosinus (Winkel) = Ankathete durch Hypothenuse, daher dürfen wir sagen, dass Cosinus 65° der Länge der Ankathete, hier 5 durch die Länge der Hypothenuse, hier "b" entspricht. der Länge der Ankathete, hier 5 durch die Länge der Hypothenuse, hier "b" entspricht. Zusammengefasst: Cosinus 65° = 5 durch b. Zusammengefasst: Cosinus 65° = 5 durch b. Nun müssen wir die Gleichung nach b auflösen. Dazu multiplizieren wir zunächst beide Seiten mit b und erhalten b mal cos 65° = 5. Jetzt teilen wir beide Seiten durch cos 65°, Jetzt teilen wir beide Seiten durch cos 65°, was wir problemlos dürfen, da cos 65° nichts anderes als eine Zahl ist. Wir müssen cos 65° zwar noch berechnen, werden als Ergebnis aber eine Zahl erhalten. Wir müssen cos 65° zwar noch berechnen, werden als Ergebnis aber eine Zahl erhalten. Daher dürfen wir beide Seiten bereits jetzt durch cos 65° teilen. Daher dürfen wir beide Seiten bereits jetzt durch cos 65° teilen. Übrig bleibt folgende Gleichung: b = 5 durch cosinus 65°. Übrig bleibt folgende Gleichung: b = 5 durch cosinus 65°. Ich nehme nun wieder den Taschenrechner, um den Wert zu berechnen. Die so erhaltene Zahl soll ich auf eine Kommastelle runden. Die angezeigte Zahl 11,8310079158 wird abgerundet auf 11,8. Also ist meine Länge b ungefähr 11,8. Also ist meine Länge b ungefähr 11,8. Wenn wir den Satz des Pythagoras verwendet hätten, wären wir auch auf das Ergebnis 11,8 für b gekommen. Wenn wir den Satz des Pythagoras verwendet hätten, wären wir auch auf das Ergebnis 11,8 für b gekommen. Dabei hätten wir die Gleichung 5 Quadrat + 10,7 Quadrat = b Quadrat Dabei hätten wir die Gleichung 5 Quadrat + 10,7 Quadrat = b Quadrat berechnet, und wären (hoffentlich) auf das gleiche Ergebnis gekommen. berechnet, und wären (hoffentlich) auf das gleiche Ergebnis gekommen. Als letztes müssen wir noch das Maß des Winkels W bestimmen. Als letztes müssen wir noch das Maß des Winkels W bestimmen. Ich lasse euch erstmal kurz selbst überlegen, welches Maß unser Winkel W hat. Ich lasse euch erstmal kurz selbst überlegen, welches Maß unser Winkel W hat. Wir müssen uns dazu nur in Erinnerung rufen, dass die Summe aller Winkelmaße in einem Dreieck, zusammen genau 180° ergeben. In unserem Dreieck bedeutet das: Winkel W + 65° + 90° (rechtwinkliges Dreieck) = 180° In unserem Dreieck bedeutet das: Winkel W + 65° + 90° (rechtwinkliges Dreieck) = 180° In unserem Dreieck bedeutet das: Winkel W + 65° + 90° (rechtwinkliges Dreieck) = 180° 65° + 90° = 155°, 65° + 90° = 155°, das bedeutet hier Winkel W + 155° = 180°. das bedeutet hier Winkel W + 155° = 180°. Indem ich nun auf beiden Seiten 155° subtrahiere, erhalte ich die Lösung: Winkel W = 25° Damit ist unser Beispieldreick vollständig gelöst.